20182019学年高中数学第2章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测含解析苏教版选修2220190416350

第2章推理与证明[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“?”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：＝＝·＝×＝.答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.解析：要使x＋y＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y，即2y＝1－x2＋y2.只需使(－y)2＝0，即＝y，∴x2＋y2＝1.答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1；③则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，则当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N*，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r＞0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若＝m＋n(m，n∈R)，则是m2，n2的等差中项；现有一椭圆＋＝1(a＞b＞0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若＝m＋n(m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为________．解析：如图，设P(x，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由＝m＋n可得代入＋＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等差中项为.答案：11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.答案：12．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为________．解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.答案：nn13．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中共有________个顶点．解析：设第n个图形中有an个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an－2＝n＋n·n，an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.答案：n2＋5n＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)＝n2＋n，正方形数 N(n,4)＝n2，五边形数 N(n,5)＝n2－n，六边形数 N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.解析：N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1000.答案：1000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4，又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.∴＋＋≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝n(n∈N*)，若Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn＝6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．解：因为Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，①所以5Tn＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋an－1·5n－1＋an·5n，②由①＋②得：6Tn＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an－1＋an)·5n－1＋an·5n＝1＋×5＋2×52＋…＋n－1×5n－1＋an·5n＝n＋an·5n，所以6Tn－5nan＝n，所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.17．(本小题满分14分)观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝.证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα(cos30°cosα－sin30°sinα)＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin2α＝＋＋sin2α＝＋＋cos2α－sin2α＋sin2α＝.18．(本小题满分16分)已知实数a、b、c满足0<a，b，c<2，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不可能同时大于1.证明：假设(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，则三式相乘：(2－a)b(2－b)c(2－c)a>1①而(2－a)a≤2＝1，同理，(2－b)b≤1，(2－c)c≤1，即(2－a)b(2－b)c(2－c)a≤1，显然与①矛盾，所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由Sn＝2n－an，得，a1＝2－a1，即a1＝1.S2＝a1＋a2＝4－a2，解得a2＝.S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，解得a3＝.S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，解得a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．(2)①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，则ak＋1＝＝＝＝，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n∈N*都成立，即an＝(n∈N*)．20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，(1)证明：an≥2n－1(n