集合市赛一等奖

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合学习要求:1了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、

符号语言列举法或描述法描述不同的具体问题2理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了

解全集与空集的含义3理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解

在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩

Venn图表达集合的基本关系及集合的基本运算必备知识

·

整合

1元素与集合1集合中元素的性质:①

确定性

、互异性、无序性▶提醒元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含

参数的集合问题2集合与元素的关系:若a属于集合A,则记作②

a∈A

;若b不属于集合A,

则记作③

b∉A

3集合的表示方法:④

列举法

、描述法、图示法4常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号⑤

N

⑥

N*或N+

⑦

Z

⑧

Q

⑨

R

▶提醒

研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合

是数集、点集,还是其他集合,然后看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义常见的集合的意义如下表:集合{x|f(x)=0}{x|f(x)>0}{x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)图象上的点集2集合的基本关系

文字语言记法集合的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素⑩

A⊆B

或B⊇A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A

AB

或BA相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B空集空集是

任何

集合的子集⌀⊆A空集是

任何非空

集合的真子集⌀B(其中B≠⌀)▶提醒1“⊆”与“”的区别:A⊆B⇒A=B或AB,若A⊆B和AB同时

成立,则AB更准确2⌀,{0}和{⌀}的区别:⌀是不含有任何元素的集合;{0}含有一个元素0;{⌀}

含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确3在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:

若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况3集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U,则集合A的

补集为

∁UA

图形表示

意义A∪B=

{x|x∈A,或x∈B}

A∩B=

{x|x∈A,且x∈B}

∁UA=

{x|x∈U,且x∉A}

知识拓展1子集的性质:A⊆A,⌀⊆A,A∩B⊆A,A∩B⊆B2交集的性质:A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A3并集的性质:A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A4补集的性质:A∪∁UA=U,A∩∁UA=⌀,∁U∁UA=A,∁AA=⌀,∁A⌀=A5子集的个数:含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个

非空子集6等价关系:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B7∁UA∩B=∁UA∪∁UB,∁UA∪B=∁UA∩∁UB1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1任何一个集合都至少有两个子集 2{|y=21}={y|y=21}={,y|y=21} 3若{2,1}={0,1},则=0或1 4对于任意两个集合A,B,A∩B⊆A∪B恒成立 ✕✕✕√2新教材人教B版必修第一册P9练习BT1改编若集合P={∈N|≤ },a=2 ,则 Aa∈P

B{a}∈PC{a}⊆P

Da∉PD32020课标Ⅱ理,1,5分已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁UA∪B= A{-2,3}

B{-2,2,3}C{-2,-1,0,3}

D{-2,-1,0,2,3}A4易错题已知集合A={m2,2m2m},若3∈A,则m的值为- 

【易错点分析】本题容易因忽视集合中元素的互异性致误5易错题已知集合A={,y|2y2≤3,∈,y∈},则A中元素的个数为9

【易错点分析】本题容易因对集合的表示方法理解不到位致误考点一集合的基本概念关键能力

·

突破

,b∈R,集合{1,ab,a}= ,则b-a= A1

B-1

C2

D-2C解析

由题意知a≠0,因为{1,a+b,a}=

,所以a+b=0,则

=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故选C.={∈R|a2-32=0}中只有一个元素,则a= A 

B C0

D0或 D解析

若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等的实根.当a=0时,x=

,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=

.所以a=0或

.={|2<<,∈N},若集合P中恰有3个元素,则的取值范围是5,6]

解析因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故的取值范围是5<≤6名师点评与集合中的元素有关的问题的求解策略：1用描述法表示集合时,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的

限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合2集合中元素的三个性质中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的

集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性考点二集合的基本关系典例1已知集合A={|-2≤≤5},B={|m1≤≤2m-1},若B⊆A,则实数m的

取值范围为-∞,3]

解析因为B⊆A,所以若B=⌀,则2m-1<m+1,解得m<2;若B≠⌀,则

解得2≤m≤3.故符合题意的实数m的取值范围为m≤3.◆变式1本例中,若将“B⊆A”变为“BA”,求m的取值范围解析因为B

A,所以若B=⌀,则2m-1<m+1,解得m<2;若B≠⌀,则

或

解得2≤m≤3.故m的取值范围为(-∞,3].◆变式2本例中,若将“B⊆A”变为“A⊆B”,求m的取值范围解析若A⊆B,则

即

所以m的取值范围为⌀.◆变式3若将本例中的“集合A={|-2≤≤5}”变为“集合A={|<-2或>

5}”,试求m的取值范围解析因为B⊆A,所以当B=⌀时,2m-1<m+1,解得m<2,符合题意;当B≠⌀时,

或

解得

或

故m>4.综上可知,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).名师点评根据两集合间的关系求参数的方法：求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点的关系,进而转化为参数所满

足的条件,常用数轴、Venn图等来解决这类问题12020安徽安庆模拟已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a1},若B⊆A,则实数a= 

A-1

B2C-1或2

D1或-1或2C解析

因为B⊆A,所以必有a2-a1=3或a2-a1=a①若a2-a1=3,则a2-a-2=0,解得a=-1或a=2当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足条件;当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足条件②若a2-a1=a,则a2-2a1=0,解得a=1,此时集合A={1,3,1},不满足集合中元素

的互异性,所以a=1应舍去综上,a=-1或a=2={1,2},B={|2m1=0,∈R},且B⊆A,则实数m的取值范围为[-2,2

解析若B=⌀,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,符合题意;若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意;若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-

,此时B=

,不符合题意.综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).考点三集合的基本运算典例212020课标Ⅲ理,1,5分已知集合A={,y|,y∈N*,y≥},B={,y|y

=8},则A∩B中元素的个数为A2

B3

C4

D622020天津,1,5分设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,

3},则A∩∁UB=A{-3,3}

B{0,2}C{-1,1}

D{-3,-2,-1,1,3}3已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则M∪

∁RN= A⌀

BM

CN

DRCCB解析(1)由

得

或

或

或

所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的个数为4,选C.(2)因为U={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},所以∁UB={-2,-1,1},又A={-1,0,1,2},

所以A∩(∁UB)={-1,1},故选C.(3)作出Venn图,

由图可知选B.角度二利用集合的运算求参数典例312020课标Ⅰ理,2,5分设集合A={|2-4≤0},B={|2a≤0},且A∩

B={|-2≤≤1},则a= A-4

B-2

C2

D422020河北邯郸二模已知集合A={∈|2-4-5<0},B={|4>2m},若A∩B中

有三个元素,则实数m的取值范围是A[3,6

BBC解析(1)由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=

,又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-

=1,∴a=-2.故选B.(2)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=

,∵A∩B中有三个元素,∴1≤

<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).名师点评1解决集合的基本运算问题一般应注意:先看元素组成,对有些集合是先进行化简,注意数形结合思想的应用集合的

运算常借助于数轴和Venn图解决2关于利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法:①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到;②若集合中的元素能一一列举,则先用观察法得到不同集合中元素之间的关

系,再列方程组求解12020北京,1,4分已知集合A={-1,0,1,2},B={|0<<3},则A∩B= A{-1,0,1}

B{0,1}

C{-1,1,2}

D{1,2}解析

集合A与集合B的公共元素为1,2,由交集的定义知A∩B={1,2},故选DD={|1<<3},B={|2m<<1-m},若A∩B=⌀,则实数m的取值范围是

[0,∞

解析①当2m≥1-m,即m≥

时,B=⌀,符合题意;②当2m<1-m,即m<

时,需满足

或

所以0≤m<

.综上,实数m的取值范围是[0,+∞).数学抽象——集合的新定义问题学科素养

·

提升

1定义集合的商集运算为 = ,已知集合A={2,4,6},B= ,则集合 ∪B中的元素个数为 A6

B7

C8

D9B2给定集合A,若对任意a,b∈A,都有ab∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,

给出如下三个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A={n|n=3,∈}为闭集合;③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合其中正确结论的序号是②

解析(1)由题意知,B={0,1,2},

=

,则

∪B=

,共有7个元素,故选B.(2)①中,-4+(-2)=-6∉A,所以①不正确;②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,

则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=