基于三角的递推公式体系

基于三角的递推公式体系

作为一种通用的保守动力学系统，弹球系统在力学、光学、声音等领域进行了广泛的研究，发现了许多动态行为。一些研究人员使用图像分析方法来验证系统的轴向运动特征。为了更有效地揭示系统的运动规律，本文在三角形球系统的基础上建立了一系列序列参数体系，并在此基础上研究了三角形球系统的独立行为特征。1内角nn一个典型的三角形弹球系统就相当于在封闭的三角形区域内传播的一束光线或者声线,在到达边界之前,射线在空间内沿直线传播,遇到边界时,就按照光线和声线的反射定律——反射角等于入射角发生反射,接着继续沿直线传播.考虑一任意三角形(图1),在建立递推公式之前,我们首先对本系统中所要用到的概念及符号作一些规定:第n次反射的出发边为当前边,如图1中AB边即为当前边;各边的正方向定义为逆时针环绕方向,在图1中由各边上的箭头示出;sn为出射点到出射边左端点之距离与出射边边长之比,图1中sn=AO/AB(0<sn<1);αn为当前边左端之三角形内角,βn为当前边右端之三角形内角;φn为射线与当前边正方向之间的夹角(0<φn,αn,βn<π).由图1a可知,当AE<AD时,反射发生在当前边左侧的边上,相反地,当AE>AD时,反射发生在右侧的边上.利用几何关系可以得到,当sn＜sin(φn-αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1a)sn＜sin(φn−αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1a)时,反射发生在左侧边上(图1b中射线OR).这时有以下递推关系:sn+1=1-snsin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn-αn)‚(2a)φn+1=π+αn-φn‚(3a)αn+1=π-(αn+βn)‚(4a)βn+1=αn.(5a)sn+1=1−snsin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn−αn)‚(2a)φn+1=π+αn−φn‚(3a)αn+1=π−(αn+βn)‚(4a)βn+1=αn.(5a)相反地,当sn＞sin(φn-αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1b)sn＞sin(φn−αn)sinβnsinφnsin(αn+βn)(1b)时,反射发生在右侧边上(图1b中射线OR′).这时有以下递推关系:sn+1=(1-sn)sin(αn+βn)sinφnsinαnsin(φn+βn)‚(2b)φn+1=π-βn-φn‚(3b)αn+1=βn‚(4b)sn+1=(1−sn)sin(αn+βn)sinφnsinαnsin(φn+βn)‚(2b)φn+1=π−βn−φn‚(3b)αn+1=βn‚(4b)βn+1=π-(αn+βn).(5b)(1)—(5)式就是三角形弹球反射系统的递推公式的最终形式.根据这一组公式,可以计算每一次反射的(sn,φn),构成一个时间序列,这实际上也代表了射线的一条轨迹.根据这样的时间序列,就可以考察三角形弹球系统中射线运动的动力学特性.2sn的变化对射线轨迹收敛特性的影响对于具体的三角形弹球反射模型,首先需要知道其运动是否稳定,轨迹收敛还是发散.本文将运用稳定性理论考察三角形弹球系统的稳定性.考虑离散映射:Xn+1=F(Xn).(6)在本节讨论的模型中Xn=(sn,φn,αn,βn)T.(7)对于给定的三角形,αn和βn总是三角形的两个内角,也就是说,αn和βn分别只能取三个固定的离散值.需要考察的是(sn,φn)的稳定性.对Xn取差分有Δn+1=JnΔn.(8)式中Δn为对Xn的差分,Jn为雅可比矩阵.根据递推(1)—(5)式,当反射发生在左侧边上时,有Jn=(-sin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn-αn)0-snsin(αn+βn)sinβnsin(φn-αn)[cosφn-sinφnctg(φn-αn)]-1)Τ‚(9)此时Jn关于sn和φn的特征值分别为λsn=-sin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn-αn)和λφn=-1.(10)当反射发生在右侧边上时,雅可比矩阵为Jn=(-sin(αn+βn)sinφnsinβnsin(φn+αn)0(1-sn)sin(αn+βn)sinαnsin(φn+βn)[cosφn-sinφnctg(φn+βn)]-1)Τ‚这种情况下Jn关于sn和φn的特征值分别为λsn=-sin(αn+βn)sinφnsinαnsin(φn+βn)和λφn=-1.由于λiφn的绝对值为1,因而φn的差分不会被放大.从(10)式可以看出,λsn随着每次反射而变化,因此我们将考察λsn的变化对射线轨迹收敛特性的影响.通过数值计算我们发现,各步迭代中λsn的绝对值小于1和绝对值大于1交替出现,这表明轨迹的收敛特性在跳跃变化.并且各步迭代特征值的乘积|n∏i=1λsi|在经历若干步迭代之后总会重复出现1,也就是说,从长期过程来看,射线轨迹处于某个临界状态,既不收敛,也不发散.对于有理三角形而言,通过数值计算,可以观察到,λsn总是呈现一定的周期性,其特征值乘积在迭代若干步之后重复出现1,见表1.表中所给三角形左底角50°,右底角80°,初始条件s0=0.8,φ0=27°.对于无理三角形而言,λsn一般不存在周期性,特征值绝对值小于1和绝对值大于1交替出现,总乘积在1附近(表2).表中三角形左底角49+√π度,右底角65+√2度,初始条件s0=0.1,φ0=34°.以上观察结果说明,三角形反射系统处于稳定与不稳定之间的临界状态,其轨迹既不收敛,也不发散.这个结论也可以通过观察得到验证.用图解分析的方法来考察任意三角形当初始条件受到扰动之后射线轨迹的变化情况.图2给出一无理三角形,左底角为55+√2π度,右底角为43+√π/2度.图2a为初始入射点位置相差百分之一度的两条相邻射线,经过200次反射之后射线的分离情况,其中φ0=32°,实线对应初始入射点位置s0=0.3°,虚线对应s0=0.31.图2b为初始入射角相差百分之一度的两条相邻射线,经过200次反射之后射线的分离情况,其中s0=0.3,实线对应初始入射角φ0=32°,虚线对应φ0=32.01°.可以看到,当初始条件发生微小偏差时,经过长达200次的反射,射线轨迹的偏差仍然很小,也就是说初始条件的微小扰动没有被放大.有理三角形中的反射具有同样的特点.这进一步证实了上面的断言——三角形反射不发散.同时,我们也看到,射线轨迹没有进一步靠近的趋势,即它也是不收敛的.3基于初始条件