基于功能函数的可靠性分析

基于功能函数的可靠性分析

在基于可靠性理论的结构设计中，目前国家相关部门的设计规范普遍采用结构可靠性指数的概念，即可靠性指数。因此，对研究可靠性指数具有重要意义。在实际工程中为了便于计算β值,往往没有考虑到功能函数的随机变量的分布类型,而不加区别地认为其服从正态分布。然而有学者研究认为可靠度指标与随机变量的分布类型有直接关系,且当其服从某些非正态分布时,而将其非正态分布随机变量简化成正态分布随机变量所计算得到的可靠度指标值误差达20%～30%,对随机变量分布类型较为敏感。文献认为尽管变量的均值和变异系数相同,但概率分布不同,可靠度指标和失效概率的计算结果不同。可靠度指标越大,这种差别就越大。为了进一步研究讨论随机变量的分布类型对可靠度指标以及失效概率的具体影响,本文结合实例利用验算点法(JC法)通过逐步改变均值或方差计算出随机变量在满足不同分布类型条件下功能函数的251组可靠度指标值和失效概率值。1结构可靠度指标结构可靠度是结构可靠性的概率度量,定义为在规定时间内和规定条件下结构完成预定功能的概率,也称可靠概率,表示为Ps;相反地,称结构不能完成预定功能的概率为失效概率,表示为Pf.按定义,显然有Ps+Pf=1.由于结构的失效概率比可靠概率具有更明确的物理意义,再加上计算和表达上的方便,因而习惯上常用结构的失效概率来度量结构的可靠性。按照结构可靠度的定义和概率论的基本原理,设X=(X1,X2,…,Xn)为结构基本随机向量,Xi(i=1,2,…,n)为第i个随机变量,以Z=g(X)表示结构的功能函数,则有Ζ=g(X){＜0对应于结构失效状态=0对应于结构极限状态＞0对应于结构可靠状态称Z=g(X)=0为结构的极限状态方程,事件“Z<0”的概率为结构的失效概率Pf·Pf值原则上可通过求积分的方法得到,计算公式为Ρf=Ρ{Ζ＜0}=∫Ff(x)dx=∫∫∫(x1,x2,⋯xn)∈Ff(x1,x2,⋯,xn)dx1dx2⋯dxn(1)其中,F={x|g(X)<0}表示结构的失效域。由于上述积分在实际计算中相当复杂,对于大多数实际问题不存在解析解,因此必须求助于数值方法。基于这一原因,我们引入结构可靠度指标β这一概念。定义β为功能函数的均值与标准差之比,即β=μz/σz,且有Ρf=∫-μzσz-∞1√2πe-t22dt=Φ(-β)=1-Φβ(2)2xnx面的设定验算点法,又称JC法,是由国际安全度联合委员会(JCSS)推荐采用一种计算可靠度指标的方法,其基本原理介绍如下:设结构的极限状态方程为Z=g(X1,X2,…,Xn)=0(3)式中:X1,X2,…Xn服从正态分布且相互独立。对随机变量Xi(i=1,2,…,n)进行标准化变换,得到标准化正态随机变量—Xi(i=1,2,⋯,n).—Xi=Xi-μXiσXi(i=1,2,⋯,n)(4)则极限状态方程(3)在坐标系—Ο—X1—X2⋯—Xn中表达为Ζ=g(—XiσX1+μX1,—X2σX2+μX2,⋯,—XnσXn+μXn)=0(5)此时的可靠指标β是标准化正态空间坐标系—Ο—X1—X2⋯—Xn中原点—Ο到极限状态曲面的最短距离,也就是P*点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点Ο—的长度,其中P*即为“设计验算点”。将式(5)在设计验算点P*处按泰勒级数展开并取一次项,化简得Ζ=∑i=1n∂g∂Xi|Ρ*(μXi-Xi*)+∑i=1n∂g∂Xi|Ρ*gσXiXi—=0上式两端同除以-∑i=1n(∂g∂Xi|Ρ*gσXi)2得∑i=1n(-∂g∂Xi|Ρ*gσXi)∑i=1n(∂g∂Xi|Ρ*gσXi)2Xi—-∑i=1n∂g∂Xi|Ρ*(μXi-Xi*)∑i=1n(∂g∂Xi|Ρ*gσXi)2=0(6)于是有cosθXi—=cosθXi=-∂g∂Xi|Ρ*gσXi∑i=1n(∂g∂Xi|Ρ*gσXi)2(i=1,2,⋯,n)(7)式中:∂g∂Xi|Ρ*表示功能函数g(X1,X2,…,Xn)对Xi的偏导数在P*处赋值,有∑i=1ncos2θXi=1.由方向余弦的定义可知:Xi*—=βcosθXi—=βcosθXi(i=1,2,⋯,n)(8)将上述关系变换到原坐标系OX1X2LXn中,可得P*在原坐标系中的坐标为Xi*=μXi+Xi*—σXi=μXi+βσXicosθXii=1,2,⋯,n(9)由于P*在极限状态曲面上,当然应满足极限状态方程式(3),即Z=g(X*1,X*2,…,X*n)=0(10)由式(7)、(9)、(10)联立求解β及X*i.当然一般情况下,在结构的极限状态方程中往往含有非正态随机变量,如结构的抗力一般服从对数正态分布,活荷载一般服从极值I型分布或其它分布等。对于这种情况下的可靠度分析,一般要把非正态变量当量化为正态分布随机变量;同时对于具有相关性的随机变量,首先要通过正交变换法转换成相互独立的随机变量,然后再利用式(7)～(10)迭代求解β及X*i.3实例分析3.1型0.6例1:已知非线性极限状态Z=g(X1,X2,X3)=567X1X2-0.5X32=0,X1,X2,X3相互独立且μX1=0.6,σX1=0.0786;μX2=2.18,σX2=0.0654;μX3=32.8,σX3=0.984.求可靠度指标β.例2:已知非线性极限状态方程Z=g(X1,X2,X3)=X1X2-X3=0,X1,X2,X3相互独立且μX1=0.5427,σX1=0.0274,μX2=3.8,σX2=0.304,μX3=1.3,σX3=0.091.求可靠度指标β.3.2考虑把握各分布类型的可靠度指标和失效概率值上述两个例题中涉及到的均是含有3个随机变量的功能函数,由于本文主要目的是研究随机变量的分布类型对可靠度指标和失效概率的具体影响,且为计算方便,故将假设3个随机变量的分布类型为以下四种情况:1)全部为正态分布;2)全部为对数正态分布;3)X1,X2为正态分布,X3为对数正态分布;4)X1为正态分布,X2,X3为对数正态分布;同时为了使计算结果更加具有说服力,通过逐步改变某个变量的均值或者标准差使上述每一种情况都计算得到251组可靠度指标和失效概率值。具体做法如下:1)对于例1,改变随机变量X1的标准差σX1的值,其它五个参数值保持不变。使其在原始值σX1=0.0786的基础上每次增加0.001,共增加125次,得到125个新的σX1;同时又在原始σX1值基础上每次减少0.0005,共减少125次,也得到125个新的σX1,于是我们得到251个从大到小排列σX1的值(包括原始值),即产生了251组新的均值和标准差。利用验算点法(JC法)和公式(1.2)算出功能函数的每一组新的均值和标准差分别在以上四种分布类型情况下得到的可靠度指标值β和失效概率值Pf.2)对于例2,改变随机变量X2的标准差σX2的值,其它五个参数值保持不变。使其在原始值σX2的基础上每次增加0.03,共增加125次,得到125个新的σX2;同时又在原始σX2值基础上每次减少0.0015,共减少125次,也得到125个新的σX2,于是我们得到251个从大到小排列σX2的值(包括原始值),即产生了251组新的均值和标准差。利用验算点法(JC法)和公式(1.2)算出功能函数的每一组新的均值和标准差分别在以上四种分布类型情况下得到的可靠度指标值β和失效概率值Pf.3.3log10pf10-3根据计算结果,我们在二维坐标轴上画出相应的曲线图。图1为可靠度指标β与均值标准差等参数的关系曲线图,为了书写方便,其中纵坐标为β,横坐标则用每组参数值的序号表示;图2为失效概率与均值标准差等参数的关系曲线图,同样为了曲线图便于观察,其中纵坐标为对Pf取以10为底的对数,即log10Pf,横坐标则用每组参数值的序号表示。其中曲线1代表正态分布,曲线2代表对数正态分布,曲线3代表混合分布。通过图1我们发现,当β>1时,曲线2总在曲线1之上;同时通过观察计算结果所得数据我们也发现当β>1时,相比正态分布,对数正态分布所得β值要大。通过图2我们发现,当log10Pf≥-3,即Pf≥10-3(或β≤3.09)时,三条曲线几乎重合;当log10Pf≤-5,即Pf≤10-5(或β≥4.26)时,曲线1和曲线2明显分开。4对于同一功能函数,当可靠度指标β大于1时,随机变量服从对数正态分布比服从正态分布所得可靠度指标要大。当Pf≥10-3