多元函数的二阶方向导数与二阶梯度

多元函数的二阶方向导数与二阶梯度

1高阶方向导数的传统及其性质方向的导数和梯度是人们熟悉的概念。方向导数是偏导数概念在方向上的推广,而高阶偏导数是偏导数概念关于阶数的推广。自然,偏导数概念应能既关于阶数又关于方向两方面进行推广,得到高阶方向导数。隋允康给出的高阶方向导数只是特殊的高阶纯方向导数,不含高阶混合方向导数。本文建立一般二阶方向导数(含纯方向和混合方向)的概念及与其相关的二阶梯度概念,并分析它们的性质。为了简便起见,重点讨论二元函数的情况,其结果不难推广到一般多元函数。2偏导数梯度定义2.1设函数z=f(x0,y0)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,若极限存在,则称z=f(x,y)在点(x0,y0)沿方向l(cosα,sinα)可导,该极限称为z=f(x,y)在点(x0,y0)沿方向l(cosα,sinα)的方向导数。记作,即它刻画出当自变量x,y的改变量Δx,Δy约束在方向l(cosα,sinα)上时函数z=f(x,y)的变化率。方向导数与偏导数有如下关系:定理2.1如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微分,则在此点沿任何方向l(cosα,sinα)存在方向导数,且有一般地说,对于n元函数u=f(x1,x2,…,xn),如果它在点(x1(0),x2(0),…,xn(0))可微,则沿方向l(cos(l,x1),cos(l,x2),…,cos(l,xn))存在方向导数,且有其中(l,xi)表示l的方向与xi轴正方向的夹角。定义2.2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,则称向量为z=f(x,y)在点(x0,y0)的梯度。显然,其中称为梯度范数。沿梯度方向函数的变化率最大,函数值增加最快;沿梯度的反方向函数值减少最快。另外,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的梯度方向即为等值线f(x,y)=f(x0,y0)过点(x0,y0)的单位法向量所以,。沿等值线切线的方向导数为0。3cos2,sin2的方向导数如果函数z=f(x,y)在某区域Ω内每点沿l1(cosα1,sinα1)方向可导,则称它在Ω内沿l1(cosα1,sinα1)方向可导,这时表现为(x,y)的一个函数,称为方向导函数,也可简称为方向导数。对这个方向导函数当然可以再求关于另一个方向l2(cosα2,sinα2)的方向导数,从而得到如下概念。定义3.1设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内点点沿l1(cosα1,sinα1)方向可导,对于方向l2(cosα2,sinα2),若极限存在,则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)先沿l1(cosα1,sinα1)后沿l2(cosα2,sinα2)二阶方向可导。该极限称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)先沿l1(cosα1,sinα1)后沿l2(cosα2,sinα2)的二阶方向导数,记作(x0,y0),即二阶方向导数与二阶偏导数有如下关系:定理3.1如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)二阶可微,则在点(x0,y0)沿任何两个方向l1(cosα1,sinα1)和l2(cosα2,sinα2)二阶方向可导,且有证明:根据二阶方向导数的定义二阶方向导数可用矩阵形式表示为4阶方向导数前面知道一阶梯度即为一阶方向导数取最大值的方向。自然,对于高阶方向导数也有相应的概念。已知在一定条件下,一阶梯度由两个一阶偏导数决定。自然,二阶梯度也应由几个二阶偏导数决定。下面给出二阶梯度及其范数与二阶偏导数之间的关系。引理4.1任给矩阵A=(aij)n×m,向量X,Y∈Rn,有式(12)中,第一个等号成立当且仅当存在α∈R,使得AY=αX;第二个等号成立当且仅当Y是ATA的绝对值最大的特征值(即A的谱范数‖A‖2所对应的特征值)所对应的特征向量。引理4.2若A=(aij)n×m为对称非奇异矩阵,则这里‖A‖2表示A的谱范数,ρ(A)表示A的谱半径。定理4.1如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)二阶偏导连续,二阶梯度为单位向量对(l1g,l2g);那么而且lg为z=f(x,y)在点(x0,y0)的二阶导数矩阵的谱范数所对应的单位特征向量,即二阶梯度中的两个方向相同。证明:由二阶方向导数的矩阵表示式(9)及引理4.1可知式(14)成立。又因为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)二阶偏导连续,所以,从而H为实对称矩阵,再根据引理4.2得式(15)成立。若l1≠l2,则称(x0,y0)为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)先沿l1(cosα1,sinα1)后沿l2(cosα2,sinα2)的二阶混合方向导数。特别地,当l1=l2=l时,记作(x0,y0),称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)沿l(cosα,s