2023学年完整公开课版《角的平分线》

16.3角的平分线一.动手做一做在纸上任意画一个∠BAC，把它对折，使角的两边重合，然后把纸展开铺平，得到一条折痕，你有什么发现？角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.CAOB二.尺规作图观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＭＮＣ作法：１．以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．２．分别以点Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ长为半径在角的内部画弧交于点C．３．作射线OC．射线OC即为所求作的图形．O三.理论依据AＢＭＮＣ

O想一想：为什么OC是∠AOB的平分线？证明：连接CM、CN.在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC.∴∠MOC=∠NOC.即OC平分∠AOB.(SSS)四.角平分线的性质OABAOBEDPC第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD，PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．你能证明PD=PE吗？实验:将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察第二次折叠形成的两条折痕，你能得出什么结论？四.角平分线的性质证明：∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠2.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证:PD=PE.AOBEDPC12性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.（AAS）四.角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.利用此性质怎样书写推理过程？

PAOBCED12∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.五.思考角平分线上的点到角两边距离相等，将题设和结论互换：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.该命题成立吗？请同学们思考：请同学们试着给出证明……五.证明AOBEDPC已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为Ｄ，Ｅ，PD=PE求证:点P在∠AOB的平分线上．证明：经过点Ｐ作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL)∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线上.五.角平分线的判定定理用符号语言表示为：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.AOBEDPC12∴点P在∠AOB的平分线上.六.试一试ABCEFD已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：(1)DE=DF.（）(2)BD=CD.（）(3)AD上任一点到AB、AC的距离相等.（）(4)AD上任一点到点B、C的距离相等.（）√√√√七.应用ＤＦＥ如图：△ABC的角平分线ＢＭ，ＣＮ相交于点Ｐ．求证：AP平分∠BAC．ＡＢＣＰＭＮ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE

同理PE=PF.∴PD=PF.AP平分∠BAC证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F结论：三角形三条内角平分线交于一点，且这点到三角形三边距离相等.九.课堂练习如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF.

求证：AD是△ABC的角平分线.ABCEFD十.小结与评价

这节课我们学到了什么？共同归纳本节课所学主要知识：

(1)用尺规作角的平分线.(2)角平分线的性质定理：(3)角平分线的判定定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.到角的两边距离相等的点在角的平分线上.拓展与延伸已知:如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA八.利用结论，解决问题练一练

如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？想一想在确定度假村的位置时，一定要画出三个角的平分线吗？七.应用-2如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴