appmath2005 18变分应用数学

J[y]

f(x,y, 的定义域为C1[x0,x1]。函数f(x,y,y’)对任意x[x0,x1]和一切y,y’值具有一阶连续偏导数，记作yC1[x0,x1], fC1 fCm是指yCm[x0,x1]且f(x,y,y’)x[x0x1]yy的一切可能值具有m阶连续偏导数。设泛函J[y(x)]在函数y=y(x)C1[x0,x1] 取极值,我们要研究对应的必要条件.函数在某点取极值则其在这点的一阶导数必为零.对泛函极值来说,有类似的结论 y

(xy(xC1[x0x1{y(xy}C1[x0x1],11为任意参数 是变量的函数.yy1xy'(x)y)'所以(Jy(xy

[y(x)y]'y'(x) 从 '()

'(0)

(fy(x,y,y')yfy'(x,y,y' 1J[y(x)y]J[y(x)](1)(0)'(0)''(),0(0)

yd1y1 的一次部分,

关

的高阶部分,记 ''(0)o(y由泛函变分的定义(1.13b)y=y(xJ[y(x)]'(0)

(fyyfy'y' 设泛函J[y(x)]y=y来研究对应的必要条件

C1[xx1]取极值,0对任一确定的函数yy1(x)y(x)C1[x0,x1],有函数集合{y(x)y}C1[x0,x1],为任意参数. 0J[y(x)y]()也在y=y(x)取极值.即函 0取极值根据可微函数取极值的必要条件'(0)0 J[y(x)]'(0)

(fyyfy'y'定理1.所以泛函J[y(x)]y=y(x泛函变分(2.6)为零, [y(x)]

(fyyfy'y')dx y(x0)=y0, 下的极值问题其中y0y1为常数这就是固定端点的变分问题.设这泛函的容许函数类为D{y(x)|y(x)C2[x,x],y(x)y,y(x)y 对任意y(x),y1(x)D, 满足y(x0)y(x1)0.因此,上述固定端点的变分问题转化为在D上泛函J[y(x)]的极值问题.由于DC1[x0x1],对于y(x) ,当定义域为D的泛函J[y(x)]在y=y(x)取值时

y在y=y(xJ[y(x)]

(fyyfy'y')dx y(x)C2[x0,x1],f(x,y,y') J[y(x)](fyyfy'y'

x0

yydx

[ dd

(fy'

fyydx

dx(fy')ydxx0x

[fy (fy'故当定义域为D的泛函J[y(x)]在y=y(x对任意的y(xC2[xx

)

0 dJ[y(x)]

[f

dd

fy

dx(fy')

(2.12)式称为欧拉方程-拉格朗日方程.于是我们有下述 设y(x)C2[x0,x1],f(x,y,y')C2.若在边界条,显然(2.12)导出(2.11只需证明若(2.11)成立必导出用反证法.若(2.12)不成立,则由于y(x)C2[x0, fC2函

fy)

上连续必有一区间[a,bx0(d一个整数0,使 x(a,b),f(d

fy')(

(xa)2(b((

则 J[y(x)]

[f

d(f)]ydx0( yy此式与(2.11)矛盾.故(2.11)成立必有(2.12)成立.对没有边界条件限制的泛函极值,欧拉方程仍然成立.推论.设 y(x)C2[x0,x1], fC2.若y=y(x)使定义域为C2[x0,x1]的泛函取极值,则y=y(x)满足欧拉方程.证明.y=y(xC2[x0,x1]的泛函取极值y0=y(x0y1=y(x1)均为常数定义容许函数集合D为C2[x0,x1]两端点分别取值为y0y1所有函数则DC2[x0,x1y=y(x在D中使泛函取极值.故由定理2,y=y(x)满足欧拉方程.f(xf’(x)=0的情形类似函数y=y(x)满足欧拉方程也不过是泛函极值的必要条件.此时在y=y(x)泛函(2.1)可能取得极值,也可能不取得极值.但是泛函至少处于逗留状态因此称欧拉方程的解函数为逗留函数并称每个解所表示的曲线为逗留曲线.(LeonhardEuler,1707-1783,瑞士数学家,物理学家又由于泛函只可能在这些函数处取得极值,些函数为极值函数.称逗留曲线为极值曲线况下,也可能是一阶常微分方程,或者为一函数方程(无微分项).被积函数f(此时欧拉方 fy')0退化为fy (除fy(x,y)≡0的情形外它的解至多为有限条曲线一般很难满足边界条件(2.8).当fy(x,y)≡0时,f=f(x,y)仅是变量x的函数.故泛函J[y(x)]是常数,此变分问题无意义. 设D为过y0=y(x0),y1=y(x1)的所有光滑曲线y=y(x)成的函数集合D中的任意一条曲线y=y(x绕x轴旋转所得体积V.求V最小和最大之函数y=y(x).解

V

y2dx

其欧拉方程为2y=0,即 显然,无解

被积函数f

fy

0( fy' fy'(x,y') (当上式可以解出y’时,再积分就可得含两个参数的极值曲线族. 在连接点A(0,0)和B(2,1)的所有光滑曲线y=y(x)中,求一条曲线y=y(x使其长度L最短解. yC2[0,2],y(0)0,y(2)1.显 L 0

1(y')2 1(欧拉方程为d(y' 1( (y')2c2(1(y')2) 1 ycx 1 yx/被积函数f((

fy

fy'

f

fy')(fyy'fy'y'')(y'dfy'fy'y'')(fy fy')y' (fy'fy') 例 例5的最速下降曲线问 T解 b1[y'(xTa

oyy(x)y1y

y(1y'2)

c2 (c2 dx c12c1 y

1x dy1

1sin2)c1 2c1

令2θ=tx

2c1c12c1

sint)22y22

2(1cos这是一组旋轮线c1被积函 fy=py+qy fy'dq(x,y)

q pyqx 由于方程(2.19)不含未知函数的导数与第一类型一样它最多表示几条曲线边界条件一般不满足或者碰巧(2.19)式,此时泛函的值为常数,变分问题无意义

J[y(x)] 1x2

x3 yCm[x0, f J[y]

f(x,y,y',,y(m)

(fyyfy'y'

(m)y(m) y1yy1(xy(x),y(k)y(kxy(kx)y)(kk1,2,y1定义函数f的变 ffyy

fy'y'

y(x),yCm[x0,x1]定义关于单变量

(x (x

yy

y'y'

y(m

( '(0) (

yy

y'y'

y(m

证毕而

2J[yy]J[y(x)](1)(0)'(0)1''(),02'(0)是关 ydm(y1,y)的一阶部分,而''()是关 的高阶部分oy定理3. x[x0, f(x,y,y',,y(m))C1y(xCm[x0x1]若泛函(2.20)y=y(x)处取得极值则对任意的y(xCm[x0x1,在函数y=y(x)处有其

J[y]'(0)J[y

固定端点时,即满足如下边界条件y(k)(x)y(k),y(k)(x)y(k),k0,1,,m 0

定理4.D为Cm[x0x1中满足边界条件(2.26)的所有函数集合.泛函(2.20)在y=y(x)处取得极值,则函数y=y(x)必满足下列欧拉－泊松(Euler-Poisson)方程: f

dmm

证明对任意给定的函 ( ( '(0)0

yy

y'y'

y(m

y(k)dx

(kf(kf(k(k

((k

x1

d(

(kx (kx2 d(2

(

y(k

0

y(k(1)k

d

(fy(k

y (fy

fy

d

f)ydx m 29c)类似于一阶情形，对任意给定的函数y(xC(m)[x0且y(k

f f

(1)m

fy(m 例10.长度为L的两端简支弹性梁，承受均匀布载荷q的作用。 y 解y=y(x)，梁的抗弯刚度为EIJ

L

L 2L

0 J

J2

L(EIy''20

1其边界条件 y(0)=y(L)=0,1q qq1234 y1234

24EIx4

x3

x2

y

c2

2Lx2 L3)0x q2J2

Lx)2

L

y(0)=y(L)=0,y’ 其通解不变，代入边界条件得c3c40c1

,c2

y

(x 0xJ

L q

(6x26LxL2)2q2 (xL)2]dx q22 例11.试确定泛函J

(y''2y2x2y(0)y'(0)0,y()0,y'() 解.欧拉－泊松方程 2ydx2(2y'') y(4)y其通解 ycexcexccosxcsin c1c2c40,c3故极值曲线为y=cosx ykCm[x0,x1], k1,2,,l,f(x,y,,

1

J[

,,y]

f(x,

,,

0 0

yk,ykCm[x0, ()J[y1y1,y2y2,,ylyl 定义该泛函的变分为J'(0)

,,

1l1l

f的变量 (x,

y1y

y(1)

yly

y(1)yy

y(m)

yly

y(m) 1ll所以上式对1ll

(

y

y

f(1)y(1)

y1lly1l

1lf(2)y(2) 1l1

(2yly

y(2)

y(m)

y(myl

y(m)

'(0)

(

f

f(1)y(1)

f(2

1(2)f(2

l(2)f(m

1(m)f(m)y(m))dx

f的变量 (x,y,,y,y(1),,y(1),y(2),,y(2),,y(m),,y(m) 设

由Jy1y1,ylylJy1,yl(12'(0)1''( 0 2dd(y,y2 y)d(y,yy)d(y,yy221 2 l即J的变分 为的一阶主部 若泛函(2.31)在函数yyk(x) 任意的ykCm[x0,x1], k1,2,,l, 恒成立J0定理6.条 )A,y(i)(x)B,i0,,m1,k条 d

yyk(x)dmyfy

f

(1)m

f(m

yyk 任意的y(xCm[xx],y(sxy(sx0s0,1,m tk 仍J0J

( y

y(1)

y(m) 0 0

yk ykk

(m ykyd fy

f(m

例12

J[y,

(2yzy'2z'2)dx 解 y”-z=0,z”- y(4)yycexcexccosxcsin

c1c2c30,c4 y=sinx,z=-sinx例13.求泛 J[y,z]

fy 解 fy'y'y''fy'z'z''0,fy'z'y''fz'z'z''若fyy'fz'z'

( (

y’’=0和z’’=0.积分 yc1xc2,zc3x例14J[(s),(t)]K(s,t)[(s)(t)dtds

b(s)[(s)2

asb,at条件为 b K(s,t)(s)ds(t)f(t) 若(t)是泛函的极值。对任意的连续函(xC1[a,b],(a)(b D

b(s)(s)[(s)(s)2

D'(0)[K(s,t)(s)(t)KDb[(s)(s)2a

(s)(s)(s)]ds

b

2b(s)a

或者

K(s,t)(t)dt(s)b

f(s)](s)ds由(s)的任意性可 K(s,t)(t)dt(s)f(s)x J[y]x0

f(x,y, x(t)，则可求得它的 y(t) t0t x0(t0),x1(t1),x(t) dx/dt,dy/ y'dy/dxdy/dt 将上式代入泛函的表达式J[x,y]

f(x,y,y')dx

tt1

0J[x,y] 0g 引理.若 g(x,y,x,y)关于 证 xx(),yy(),(0 其中(t)tt1J g(x,

'(t),dy'(t))1 g(x,y,dx,dy

对任意'(t01反例.泛 J[x,y]1

1 xtn,ytn,0t1对应的泛函

y]

gxgy

dgx dgy g关于x(gxdgx)y(gydgy) 定理7.J[x(t),y1(t),,ym(t)]

gd

d

0,i1,,

例15.求泛函J[x(t),y(t)]

解 1 1解出y/x dy

x dy(y

cos2t)

c2cost

xc2(2tsin2t)/(2c211112例16求泛函J[x(t),y(t2

解 1 1

(c* 1

cc直线y=x

yc*x 4.DJ[u(x,y)]D

f(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy C2(D)是某个平面区距离的拓广2

u(x,y)C2设u(x,y)C(D)，对于任 u(xyu1(x,yu(x,yC2 为函数u(x,y定 M1

|ux(x,y)|,

|uy(x,y)M11M22

|uxx(x,y)|,M12|uyy(x,y)|,

|uxy(x,y)|u(x,y)d0M0,d1max{d0,M1,M2}, d0,d1,d2 分别为函数u(x,y)和u1(x,y)在闭区域D上的零级、一级和二级距离，依次记为d0(u,u1),d1(u,u1),d2(u,u1)泛函的变分对(x,y)D，设函 f(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy)u(x,y)C2(D).对任意函 u(x,y)C2(D)称表达 ffuufuuxfuuy uxx uxy f在u(x,y)DJ[u(x,y)]D

f(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy D2D2

f(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy

穷小。泛函的极值 定理8.对(x,y)D，设函数f(x,y,u,u,u,u )C3;区域D的边界为逐段光滑的曲线。gk(x,y)C(),k0,1,2 u(x, u|g0(x,y),ux|g1(x,y),uy|g2(x,y)若该泛函在f

证明.FC2