齿轮有限元简介

有限元法简介有限元与MARC实现pl有限元法是工程领域应用最为广泛的一种计算方法，它不但可以解决工程中的结构分析问题，而且已成功地解决了热力学、流体力学、电磁学和声学等领域的问题。经过数十年的发展，有限元方法的理论已相当完善。将有限元理论、计算机图形学以及优化技术相结合而开发的各类专用有限元软件。能高速高效地解决各类有限元问题。有限元法的基本思想有限元法是在连续体上直接进行近似计算的一种数值方法。该方法首先是将连续的求解区域离散为一组有限个单元（Element）的组合体，而且认为单元之间只通过有限个节点（Node）连接起来。有限元法利用在每一个单元内假定的近似函数来分片地表示整个求解域上待求的未知场函数（如位移场、应力场）。单元内的近似函数通常由未知场函数（有时包括其导数）在单元内各个节点的数值通过函数插值来表示。这样，未知场函数（有时包括其导数）在单元内各个节点的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一旦求解出这些未知量，就可以通过函数插值计算出各个单元内场函数的近似值，从而求解出整个求解域上场函数的近似值。显然，随着单元数量的增加，也就是单元尺寸的减少，解的近似程度将不断得到改进。那么，单元越多，网格越密，解答就越接近于精确解吗？不一定，对假定的未知场函数进行收敛性分析，使有限元必须研究的一个问题。由于单元可以有不同的形状，所以对几何形状复杂的问题也可以方便的离散化，因此，有限元法可以处理各种复杂因素，如复杂的几何形状、任意的边界条件、不均匀的材料特性，结构中包含不同的几何构件等等，它们都能用有限元法灵活的求解。有限元法在工程中得到了广泛的应用。我们知道，从物理意义上来说，物体是由分子构成。对于常见的金属体，则是由单原子分子构成，因此，从这个意义上来说，有限元法单元划分的极限便是分子，但是，由于经典力学不适用于微观粒子，因而，在此极限情况下，传统的有限元分析不一定适用。此方法有待于分子力学的进一步发展。有限元法的分类有限元法可分为两大类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者要常常引用前者的某些结果。线弹性有限元法以理想的弹性体为研究对象，所考虑的变形建立在小变形假设基础之上。在这类问题中，材料的应力与应变成线性关系，满足广义虎克定律；应变与位移也是线性关系。线弹性有限元问题可归结为求解相信方程组的问题，花费时间较少，效率较高。并且，如果采用高效的代数方程组求解，这将有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元法一般包括线弹性静力分析和线弹性动力分析两个主要内容。学习这些内容需要具备材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的指示。非线性有限元问题与线弹性有限元问题有很大不同，主要表现在如下三个方面：1、 非线性问题的方程是非线性的，因此一般需要迭代求解；2、 非线性问题不能采用叠加原理；3、非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。以上三方面的因素使非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂，时间更长，费用更高且更具有不可预知性。有限元所解的非线性问题可以分为以下三类。1、 材料的非线性问题材料的应力与应变是非线性关系，但应变与位移却很微小，此时应变与位移成线性关系，这类问题属于非线性问题。由于从理论上还不能提供普遍接受的本构关系，所以，一般来说，材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型中有它们的局限性。在工程实践中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性以及蠕变等。2、 几何非线性问题几何非线性是由于位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系，这意味着结构本身会产生大位移或大转动，而单元的应变却可大可小。。研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变成线性关系。这类问题包括大位移大应变问题及大位移小应变问题。如结构的弹性屈伸问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。3、 非线性边界（接触问题）在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、扎制成型、橡胶减振器、紧配合边界等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性问题可能同时出现上述两种或三种非线性问题。有限元法分析过程有限元法分析过程大体分为前处理、分析、后处理上大步骤。对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元模型，这一过程就是有限元前处理的过程。在这一阶段，要构造计算机对象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据。这一步骤是有限元分析的关键。有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为基本未知量；在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适应于编程求解。一般除了板壳问题的有限元法应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。在一般的书籍中，有限元法是指有限元位移法。有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状况、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速评价和校核设计方案。选择位移函数的一般原则有限元法的分析过程都依赖于假定的单元位移函数或位移模式。因此，为了得到满意的解答，必须使假定的位移场尽可能逼近弹性体的真实位移形态，如果假定的单元位移场与真实的位移场完全一致，有限元解便是精确解。如桁架和刚架的单元位移场与弹性杆件的变形是一样的，因而，桁架和刚架的有限元解答是精确的。在连续弹性力学有限元法中，一般找不到真实位移场，所以只能得到近似解答。单元的位移函数一般采用以包含若干待定参数的多项式作为近似函数，称为位移多项式。选取有限项多项式时应考虑以下几点：待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数的个数应与单元的自由度数相等。对于应变由位移的一阶导数确定的场问题，选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中常数项和坐标的一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性，当划分的单元数趋于无穷时，单元趋于无穷小，此时单元趋于常应变。而当节点位移是由某个刚体引起的时，弹性体内不应该有应变，这些特性必须在选择的位移多项式中予以体现。同理，对于应变由位移的二阶导数定义的场问题，常数项、一次项和二次项必须完备。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完整性阶数高的多项式以提高单元精度（称为单元的完备性）。若由于项数限制不能选取完整多项式，选取的应尽可能具有坐标对称性（称为几何不变性）。不同节点、不同形状的单元，其位移函数的表达式不同。收敛性分析有限元法是一种数值方法，因此应考虑该方法的收敛性问题。有限元方法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者，当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就趋于精确解。有限元法的收敛条件包括如下四个方面：单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性要能得到保证。在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和各点位置解决定的变量应变。当单元尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体的形状及体积的改变相联系，刚体位移之改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移向量。又由于一个单元牵连在另一个单元上，其它单元发生变形时必将带动该单元作刚体位移。例如悬臂梁，自由端单元跟随相邻单元作刚体位移。由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。位移函数在单元的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求位移函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对于一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。此外，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样才能保证结构的应变能为有界量。总的来说，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。前三条称为完备性条件，满足完备性条件的单元叫做完备性单元；第四条称为协调性条件，满足协调性条件的单元叫做协调单元。完备性是收敛的必要条件，完备性和协调性都满足，就构成了收敛的充分必要条件。在实际应用中，要使选择的位移函数全部满足完备性和协调性要求是比较困难的，在某些情况下可以放松对协调性的要求。需要指出的是：有时非协调单元比与它对应的协调单元还要好，其原因在于近似解的性质。假定位移函数就相当于给单元施加了约束条件，使单元变形服从所加的约束，这样的替代结构比真实结构更刚一些。但是，这种近似结构由于允许单元分离、重叠，使单元的刚度变软了，或者形成了铰（例如板单元在单元之间的挠度连续，而转角不来连续时，刚节点变为铰节点）。对于非协调单元，上述两种影响有误差相互抵消的可能，所以有时利用非协调单元也会取得很好的结果。在工程实践中，非协调单元必须通过“小片试验”后才可使用。有限元位移解的下限性质在用有限元位移法求解弹性力学问题时，要应用最小势能原理。根据最小势能原理求得的位移近似解，其值将小于精确解。这种位移近似解成为下限解。位移解的下限性质可以解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的整体刚度比实际刚度大，求得的位移近似解在总体上（而不是每一点）将小于精确解。有限元网格划分的基本原则有限元法和其它任何近似数值方法一样，都存在算法的可靠性和有效性问题。有限元分析结果的误差可能来自分析过程的各环节。其中一个主要的误差来源是模型的离散化。它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，有限元网格划分的质量对分析结果的精度有着决定性的影响。1单元的选取在有限元结构分析中，有几百种单元可供选用，在许多情况下，对一个特定问题，最好的单元不是显而易见的。单元的种类，取决于对模型效果的评价，取决于计算费用和精度。许多单元都具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。当分析的结构形状不规划，应力分布或变形复杂时，可选用高阶单元.因为高阶单元的曲线或曲面边界能更好的逼近结构的曲线和典面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数。但高阶单元的节点数较多，在网格数量相同的情况下，由高阶单元组成的模型规模要大得多，在不影响计算精度的前提下，尽可能采用简单的分析模型，以低阶单元代高阶单元。尽量做到能选择点而不选择线，能选择线而不选择平面，能选择平面而不选择壳，能选择壳而不选择三维实体。有限元分析的单元形式非常多，有按模型儿何空间分类，有按单元形式分类。而每种单元类型又依据其节点数，边界描述特性等分作若干种。单元形式的选择主要依赖力学模型、求解精度、软件系统能力及计算机硬件配置等。2单元数量网格密度单元的数量、网格的疏密将影响计算结果的粘度和计算规模的大小，一般来讲，单元数量的增加，计算精度会有所提高，但计算规模也会增加，所以在确定单元数量时，应权衡这两个因数综合考虑。单儿数较少时，增加其数量可以使精度明显提高，而计算时间增加不多，当单元数量增加到一定程度后，再继续增加时，精度提高不大，而计算时间却大幅度增加。在实际应用时，采用试算的方法，比较两种网格划分的计算结果，如果两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。当应力或应变、变形等计算结果随网格的细化而趋于收敛时，才确认其计算结果。网格划分应该正确反映结构的受力和变形情况，网格的细划可以提高计算精度，但不能盲目追求网格的细密，关键在于抓住主要区域进行模拟，要粗划和细划适宜。因此，在保证计算目的和精度的条件下，控制网点规模，在不同阶段选择不同的简化程度，如将轴承孔局部的网格加密，以减少对局部区域应力集中的影响。对结构进行静力分析时，仅计算结构的变形，单元数量可以少一些，若计算应力，则在精度要求相同的情况下，应取相对较多的单元。在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算低阶模态，则可用较少的单元。如计算的模态阶次高，则应用较多的单元。在进行结构分析时，应明确结构的分析目的，可为网格细化提供依据。在分析时，按照实际情况确定哪些位置具有较高的应力水平或应力梯度、哪些位置对构件安全使用可能有威胁，考察这些位置需要较高的计算精度，也就是较细的网格划分。对于应力较低或不需要考察的位置可以使用较粗大的网格以降低工作量和不必'要的浪费。.5齿轮箱体的有限元模型现代工业的进步，使旋转机械向着高转速、大功率的方向发展。有齿轮传动的转子轴承系统获得了广泛的应用并己成为转子轴承系统中重要的一类传动，其中多平行轴齿轮一轴承一转子系统是齿轮转子系统中较为复杂的一类。由于齿轮副的存在，系统中各转子之间的运动相互耦合、相互作用，因而这类轴系的设计和分析不能仅从单轴转子一轴承系统来考虑，而必须从系统的观点出发，以整个齿轮耦合多平行轴转子一轴承系统为对象进行分析和研究。如何更好地利用快速发展的计算机技术，改进和发展对齿轮转子系统的研究更成为大家关注的焦点。齿轮系统的动力学行为包括轮齿动态啮合力和动载系数，以及齿轮系统的振动和噪声特性等。在分析理论方面，齿轮系统动力学起初是以冲击理论为基础，到50年代以后，人们将齿轮系统作为弹性的机械振动系统，以振动理论为基础，分析啮合刚度、传递误差和啮合冲击作用下系统的动力学行为。在齿轮动力学中，考虑轴的扭转变形、轴承的柔度及轴的弯曲变形，这些变形只有在轴和轴承的刚度与有效啮合刚度相比非常高或低的情况下才可以忽略.另外齿轮系统中有旋转部件及转子，转子连同其他部件统称为转子系统。该系统的振动是多样的，它包括转轴的扭转振动和弯曲振动，圆盘的振动或盘上叶片的振动等等，其中转轴的弯曲振动较为复杂，涉及因素也较多。本文研究侧重于多平行齿轮一轴承一转子系中耦合的振动分析。随着转子动力学和齿轮动力学的进一步发展，近年来对齿轮转子动力学的研究越来越多。齿轮转子系统的动力学行为通常表现为扭转振动和弯曲振动的耦合，长期以来，齿轮转子系统中的振动和噪声一直是工程界所关注的焦点。现代工业的发展使齿轮传动的旋转机械向着高速、大功率的方向发展，同时也使转子自身的结构越来越复杂，如多根平行轴齿轮一轴承一转子系统。因此，对齿轮一轴承•转子系统弯扭耦合振动的研究变得十分迫切，并具有明显的实际应用价值。关于齿轮转子系统耦合振动的研究开始于70年代末。Mitchell和Mellen(1975)E'］通过研究弯曲振动与扭转振动的耦合，发现当轴是大柔度时，齿轮啮合产生的弯曲振动和扭转振动的动态藕合对系统的行为有明显的影响。因此，不考虑弯扭耦合影响的数学模型不能为齿轮耦合的高速旋转机械的设计提供必要的信息。Lund(1978)l2］用Holze:方法和Myklested-Prohl方法分别推导出转子的扭转振动和弯曲振动的计算公式，然后用阻抗匹配的方法使两者藕合在一起，得到了系统的力藕合方程。当啮合刚度很小(小于或等于lE4N/m)时，系统除了产生一个频率值很小的藕合频率之外，基本上全部保留了非耦合时的各阶振动模态;随着啮合频率的提高，非耦合时存在的某些频率消失(这是因为藕合