数学建模试题(带答案)大全

数学建模试题（带答案）第一章在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为。和都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，中至少有一个不为零。不妨设。当椅子旋转90°后，对角线互换，。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：已知的连续函数，对任意，。证明存在，使证：令，由的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在（0＜＜π/2）使，即因为，所以8第二章用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。第三章根据最优定价模型考虑成本随着销售量的增加而减少，则设(1)k是产量增加一个单位时成本的降低，销售量x与价格p呈线性关系(2)收入等于销售量乘以价格p:(3)利润(4)将（1）（2）（3）代入（4）求出当给定后容易求出使利润达到最大的定价为6.根据最优定价模型x是销售量p是价格，成本q随着时间增长，为增长率，为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系.利润.假设前一半销售量的销售价格为，后一半销售量的销售价格为。前期利润后期利润总利润由可得到最优价格:前期销售量后期销售量总销售量=在销售量约束条件下U的最大值点为,7.雨水淋遍全身，以最大速度跑步，所需时间顶部淋雨量雨速水平分量,水平方向合速度迎面淋雨量总淋雨量当时，Q最小，L;合速度为总淋雨量若,即,则时Q最小，否则时Q最小，当，最小雨从背面吹来，满足，,Q最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。侧面淋雨，本质没有变化第四章（1）设证券ABCDE的金额分别为由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加0.0298百万元，大于以2.75%的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为11，求解得：证券A，C，E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。由（1）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。证券C的税前收益可减少0.112%，故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。6.设分别是产品A是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为,优化目标是总利润最大，记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度，n=(15,28,21,30)为4种产品的产品的需求量，设第i种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为该模式使用次，即使用该模式切割根原料钢管（i=1,2,3,4)且切割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。第五章（1）SIR模型,s(t)曲线单调递减。若,当时，,i(t)增加；当时，,i(t)达到最大值；当时，,i(t)减少，且若单调递减至0（1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率;（2）提倡晚婚晚育：生育模式取得，意味着晚婚，增加意味着晚育，这里的增大（3）生育第二胎的规定：,生育模式曲线更加扁平。数学建模试题（带答案）一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去?建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i=1，2，3，4，当i在此岸时记xi=1，否则为0；此岸的状态下用s=（x1，x2，x3，x4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d=(u1,u2,u3,u4)，当i在船上时记ui=1，否则记ui=0。(1)写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2)写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3)写出该问题的状态转移率。（3分）(4)利用图解法给出渡河方案.（3分）解：(1)S={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)}及他们的5个反状（3分）(2)D={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)}（6分）(3)sk+1=sk+(-1)kdk（9分）(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。

或:人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。（12分）得分二、(满分12分)在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分解：设体重w（千克）与举重成绩y（千克）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以yIS设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则Sµh2再体重正比于身高的三次方，则wµh3故举重能力和体重之间关系的模型为：（6分）体重中与成年人尺寸无关的重量为a,则一个最粗略的模型为(12分)得分三、(满分14分)某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程?课程编号课程名称学分所属类别先修课要求1微积分5数学2线性代数4数学3最优化方法4数学；运筹学微积分；线性代数4数据结构3数学；计算机计算机编程5应用统计4数学；运筹学微积分；线性代数6计算机模拟3计算机；运筹学计算机编程7计算机编程2计算机8预测理论2运筹学应用统计9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数记i=1，2，…，9表示9门课程的编号。设表示第i门课程选修，表示第i门课程不选,建立数学规划模型(1)写出问题的目标函数(4分)(2)每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此约束条件?(5分)(3)某些课程有先修课要求,如何表示此约束条件?(5分)解(1)(4分)(2)(9分)(3)(14分)得分四、(满分10分)雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的量纲[]=1，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,,,的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.(3分)量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0，即的基本解为y=(-3,-1,1,1)(7分)由量纲PI定理得.，其中是无量纲常数.(10分)得分五、(满分12分)设某种群时刻的数量为,初始数量为,(1)写出种群数量的指数增长模型并求解;(2)设容许的资源环境最大数量为,写出种群数量的阻滞增长模型(logistic),并求其平衡点.解(1)(3分)(6分)(2)(9分)平衡点为和(12分)得分六、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其数量增长服从指数增长规律。现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x1(t),x2(t),x3(t)假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k，（3分）（10分）得分七、（满分15分））经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为a,b,c)中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵已知其最大特征值近似为4.1983.另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你对它们外表的喜欢程度的成对比较阵：其中矩阵的元素是分别是a,b,c三种车型对于四种标准的优越性的比较尺度.假定这些成对比较阵（包括A）都通过了一致性检验，且已知的最大特征值与对应的归一化特征向量（见下表）：矩阵最大特征值对应归一化特征向量C13.009(0.53960.29700.1634)C23.119(0.10560.74450.1499)C33.086(0.62670.27970.0936)C43.065(0.18840.73060.0810)(1)根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(5分)；(2)分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮(5分)；(3)确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）(5分)；解：记4个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为C1，C2，C3，C4，则即的影响稍强即的影响强即的影响稍强所以四项标准在心目中的比重由重到轻的顺序为：价格、耗油量大小、适合程序、外观美观(5分)(2)考虑比较阵C1表明车型a的价格优越性高于车型b，即车型a比车型b便宜表明车型b的价格优越性高于车型c，即车型b比车型c便宜所以最便宜的车型为a.(7分)同理可得最省油的车型为b；(8分)最舒适的车型为a；(9分)最漂亮的车型为b。(10分)(3)车型a的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41车型b的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44车型c的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T=0.15(13分)车型a，b，c的喜欢程度分别为41%，44%，15%（15分）得分八、（满分15分）A,B,C三个厂家都生产某产品，2009年它们在某地区的市场占有率2009年分别为：A厂家:40%,B厂家:40%,C厂家:20%。已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本情况是：A厂家的客户有60%继续用该厂家的产品，20%转为B厂家，20%转为C厂家；B厂家的客户有80%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，10%转为C厂家；C厂家的客户有50%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，40%转为B厂家。（1）预测2010年哪个厂家的市场占有率最大。（6分）（2）经过很长时间以后，哪个厂家的市场占有率最大？（6分）解：状态转移概率矩阵为：（2分）（4分）（6分）2010年B厂家市场占有率最大。（8分）(2)设稳态概率，则（10分）又因为(12分）联立解得（14分）B厂家市场占有率最大.（15分）实验03简单的优化模型（2学时）（第3章简单的优化模型）1.生猪的出售时机p63~65目标函数（生猪出售纯利润，元）：Q(t)=(8–gt)(80+rt)–4t–640其中，t≥0为第几天出售，g为每天价格降低值（常数，元/公斤），r为每天生猪体重增加值（常数，公斤）。求t使Q(t)最大。1.1（求解）模型求解p63(1)图解法绘制目标函数Q(t)=(8–gt)(80+rt)–4t–640的图形（0≤t≤20）。其中，g=0.1,r=2。从图形上可看出曲线Q(t)的最大值。(2)代数法对目标函数Q(t)=(8–gt)(80+rt)–4t–640用MATLAB求t使Q(t)最大。其中，r,g是待定参数。（先对Q(t)进行符号函数求导，对导函数进行符号代数方程求解）然后将代入g=0.1,r=2，计算最大值时的t和Q(t)。要求：①编写程序绘制题(1)图形。②编程求解题(2).③对照教材p63相关内容。相关的MATLAB函数见提示。★要求①的程序和运行结果：程序：t=0:1:30;g=0.1;r=2;Q=(8-g.*t).*(80+r.*t)-4.*t-640;plot(t,Q)图形：★要求②的程序和运行结果：程序：symsgtr;Q=(8-g.*t).*(80+r.*t)-4.*t-640;q=diff(Q,t);q=solve(q);g=0.1;r=2;tm=eval(q)Q=(8-g.*tm).*(80+r.*tm)-4.*tm-640运行结果： 1.2（编程）模型解的的敏感性分析p63~64对1.1中(2)所求得的符号表达式t(r,g)，分别对g和r进行敏感性分析。(1)取g=0.1，对t(r)在r=1.5:0.1:3上求r与t的关系数据，绘制r与t的关系图形（见教材p65）。(2)取r=2，对t(g)在g=0.06:0.01:0.15上求g与t的关系数据，绘制g与t的关系图形（见教材p65）。要求：分别编写(1)和(2)的程序，调试运行。★给出(1)的程序及运行结果：程序：symsgtr;Q=(8-g.*t).*(80+r.*t)-4.*t-640;q=diff(Q,t);q=solve(q);g=0.1;r=1.5:0.1:3;t=eval(q);plot(r,t)[r;t]数值结果：图形结果：★给出(2)的程序及运行结果：程序：symsgtr;Q=(8-g.*t).*(80+r.*t)-4.*t-640;q=diff(Q,t);q=solve(q);r=2;g=0.06:0.01:0.15;t=eval(q);plot(g,t)[g;t]数值结果：图形结果：2.（编程）冰山运输模型求解p77~81按函数调用顺序。(1)每立方米水所需费用u为船速，V0为冰山的初始体积。(2)冰山运抵目的地后可获得水的体积为冰山抵达目的地所需天数。(3)第t天冰山球面半径融化速率：(4)运送冰山费用为冰山抵达目的地所需天数。(5)船的日租金参照教材p81的表4，求不同V0，u下每立方米水的费用。下面是不完整的MATLAB程序：functiony=mainfun()clc;VV0=[10^75*10^610^6];%冰山的初始体积，3种uu=[33.544.55];%船速，5种y=zeros(length(VV0),length(uu));%初始化fori=1:length(VV0)forj=1:length(uu)y(i,j)=Y(uu(j),VV0(i));endendy=round(10000*y)/10000;%四舍五入取整。取小数点后4位数字%以下函数的输入输出均为标量functiony=Y(u,V0)%(1)y=S(u,V0)/W(u,V0);functiony=W(u,V0)%(2)编写该程序functiony=r(t,u)%(3)ift>=0&&t<=1000/6/uy=1.56*10^(-3)*u*(1+0.4*u)*t;elseift>1000/6/uy=0.2*(1+0.4*u);elseerror('k不能小于0！');%显示出错信息并退出运行endfunctiony=S(u,V0)%(4)T=400/u;y=0;fort=1:Trr=(3*V0/4/pi)^(1/3);fork=1:trr=rr-r(k,u);endy=y+log10(rr);endy=400*f(V0)/u+7.2*u*(u+6)*(3*y-151/u);functiony=f(V0)%(5)编写该程序要求：①编写所要求的程序。②运行。注：第一个函数为主函数，没有输入参数，可直接执行③结果与教材p81表4比较。★完整的程序：functiony=mainfun()VV0=[10^75*10^610^6];uu=[33.544.55];y=zeros(length(VV0),length(uu));fori=1:length(VV0)forj=1:length(uu)y(i,j)=Y(uu(j),VV0(i));endendy=round(10000*y)/10000;functiony=Y(u,V0)%(1)y=S(u,V0)/W(u,V0);functiony=W(u,V0)%(2)编写该程序T=400/u;rr=0;fort=1:Trr=rr+r(t,u);endy=3.4*pi/3*(((3*V0)/(4*pi))^(1/3)-rr)^3;functiony=r(t,u)%(3)ift>=0&&t<=1000/6/uy=1.56*10^(-3)*u*(1+0.4*u)*t;elseift>1000/6/uy=0.2*(1+0.4*u);elseerror('k不能小于0！')endfunctiony=S(u,V0)%(4)T=400/u;y=0;fort=1:Trr=(3*V0/4/pi)^(1/3);fork=1:trr=rr-r(k,u);endy=y+log10(rr);endy=400*f(V0)/u+7.2*u*(u+6)*(3*y-151/u);functiony=f(V0)%(5)编写该程序ifV0<=5*10^5y=4.0;elseifV0>5*10^5&&V0<=10^6y=6.2;elseifV0>10^6&&V0<=10^7y=8.0;elseerror('k超出取值范围！');end★程序运行结果：附1：实验提示第1.1题MATLAB函数：@,fplot,syms,sym,diff,solve,eval创建函数句柄符号 @绘制函数图函数 fplot定义多个符号对象命令 syms生成符号对象函数 sym微分函数 diff代数方程的符号求解函数 solve符号表达式赋值函数 eval把表达式或语句表示成一个字符串s，eval(s)先把s转换回表达式或语句，再执行。附2：第3章简单的优化模型3.2生猪的出售时机3.7冰山运输数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：模型假设椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角表示出椅子绕点O旋转后的位置。其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是的函数。由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD是对称中心图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了。因此，记A，B两脚与地面竖直距离之和为，C,D两脚之和为，其中，使得成立。模型求解如果，那么结论成立。如果不同时为零，不妨设这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度后，点A,B分别于与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0，f（π）＝0。令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。又，根据连续函数介值定理，必存在使得；又因为。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。模型讨论用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．2.人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？模型假设人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。符号说明：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0;：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0；：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；:状态向量，代表时刻K左岸的状态；:决策向量，代表时刻K船上的状态；模型建立限制条件：初始状态：模型求解根据乘法原理，四维向量共有种情况根据限制条件可以排除三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知可行决策集仅有五个元素,状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)；目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由表一：时刻左岸状态船上K=0K=1K=2K=3K=4K=5K=6K=7(1，1，1，1)(0，1，1，1）（1，1，0，1）（0，1，0，0）（1，1，1，0）（0，0，1，0）（1，0，1，0）（0，0，0，0）(0，0，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，0，0，1)(1，0，1，0)(1，1，0，0)(1，0，0，0)(1，0，1，0)表二：时刻左岸状态船上K=0K=1K=2K=3K=4K=5K=6K=7(1，1，1，1)(0，1，0，1)(1，1，0，1)(0，0，0，1)(1，0，1，1)(0，0，1，0)(1，0，1，0)(0，0，0，0)(0，0，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，1，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，1)(1，0，0，0)(1，0，1，0)3.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）2.1节中的Q值方法.（3）d’Hondt方法：将各宿舍的人数用正整数相除，其商数如下表：12345…ABC235117.578.358.75…333166.511183.25…43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.解：先考虑N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配结果为：方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：第10个席位：计算Q值为Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为方法三（d’Hondt方法）原理：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）,是每席位代表的人数，取=…，从而得到的中选较大者，可使对所有的i，尽量接近。所以此方法的分配结果为：再考虑的分配方案，类似地可得名额分配结果。现将3中方法两次分配额结果列表如下：宿舍（2）（3）（1）（2）（3）ABC322333455443555667总计1010101515154.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）75648211627374821389652454胸围（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析，再用数据确定参数。模型分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设设鱼的重量为；鱼的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量与身长的立方成正比，为这两者之间的比例系数。即为比例系数。不过常钓得较肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量（g）76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意5.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物体重（g）心率（次/分）田鼠家属兔小狗大狗羊人马256702004202000205500012030000855000070700007245000038解：动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，记动物体重为，则正比于血流量,而，其中是动物每次心跳泵出的血流量，为心率。合理地假设与成正比，于是，综上可得。由所给数据估计得，将实际数据与模型结果比较如下表：动物实际心率（次/分）模型结果（次/分）田鼠家属兔小狗大狗羊人马67071542037520516612012285677057725138276.速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率与，，的关系。解：模型分析设，其量纲表达式为：这里是基本量纲模型求解量纲矩阵为：齐次线性方程组它的基本解为由量纲定理得，其中是无量纲常数7.雨速的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度的表达式。解：模型分析设的关系为.其量纲表达式为：其中是基本量纲模型求解量纲矩阵为齐次线性方程组的基本解为由量纲定理得其中是无量纲数8.在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。解：模型求解设购买单位重量货物的费用为k对于不允许缺货模型，每天平均费用为：令解得由与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果没有变对于允许缺货模型，每天平均费用为：令解得均比不考虑费用时的结果减小9.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数，销售速率为常数，在每个生产周期内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间()只销售不生产，画出贮存量的图形。设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论和的情况。解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：qk-rroTt贮存费为又贮存费变为于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为令易得函数处取得最小值，即最优周期为当，相当于不考虑生产的情况。当，此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量。10.在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。解：模型分析考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小模型假设，分母中的1是防止而加的模型求解总费用函数最优解为11．