概率论与数理统计复习提纲

第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果，用①表示；样本空间：样本点的全集，用0表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件(0)是不包含任何样本点的空集；根本领件就是仅包含单个样本点的子集。事件的四种关系包含关系：AuB，事件A发生必有事件B发生；等价关系：A=B，事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；互不相容〔互斥〕AB=0，事件A与事件B—定不会同时发生。\AuA=0对立关系〔互逆〕A，事件A发生事件A必不发生，反之也成立；互逆满足］AA=0注：互不相容和对立的关系〔对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。事件的三大运算事件的并：AuB，事件A与事件B至少有一个发生。假设AB=0，那么AuB=A+B；事件的交：AcB或AB，事件A与事件B都发生；事件的差：A-B，事件A发生且事件B不发生。事件的运算规律交换律：AuB=BuA,AB=BA结合律：(AuB)uC=Au(BuC),(AcB)cC=Ac(BcC)分配律：Au(BcC)=(AuB)c(AuC),Ac(BuC)=(AcB)u(AcC)④德摩根〔DeMorgan)定律:A④德摩根〔DeMorgan)定律:AuB=AB,AB=AuB对于n个事件，有旦i=1nA=uA.i=1.=1二、随机事件的概率定义和性质1・公理化定义：设试验的样本空间为0，对于任一随机事件A(Au0),都有确定的实值P(A),满足以下性质：非负性：P(A)>0;(2)标准性：P(0)=1;(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件片,A2,Ak，有P(HA)=Hp(a).i=1i=1那么称P(A)为随机事件A的概率.2．概率的性质P(0)=1,P(0)=0P(A)=1-P(A)假设AuB，那么P(A)<P(B),且P(B-A)二P(B)-P(A)P(AuB)二P(A)+P(B)-P(AB)P(AuBuC)二P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)注：性质的逆命题不一定成立的.如假设P(A)<P(B),那么AuB。〔x〕假设P(A)=0,那么A=e。〔x〕三、古典概型的概率计算古典概型：假设随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,k②每个样本点发生的概率相同，那么称该概率模型为古典概型P(A)=。n典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，那么在放回抽样的方式下，取出的n件样品中恰好有m件次品〔不妨设事件A丿的概率为CmMm(N-M)n-mP(A)=n.1Nn在不放回抽样的方式下，取出的n件样品中恰好有m件次品〔不妨设事件A?〕的概率为CmAmAn一mCm.Cn—mP(A)=n'“MN-M=—MNM2AnCnNN四、条件概率及其三大公式1•条件概率：P(B1A)=鬻,P(A1B)=鵲P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB)2乘法公式：P(AAA)=P(A)P(AIA)P(AIAA)・・・P(AIAA)TOC\o"1-5"\h\z12n121312n1n-13.全概率公式：假设B,B，…,B满足口B=0,BB=0,i主j，那么P(A)=2P(B)P(AIB)。i=112niiji=1则P(则P(BIA)=P(B)P(A1B)12P(B)P(AIB)iii=14.贝叶斯公式：假设事件B,B，…,B和A如全概率公式所述，且P(A)>0,12n五、事件的独立1.定义：若P(AB)=P(A)P(B),则称A,B独立.推广：假设A，A，…,A相互独立，P(AA)=P(A”・P(A)12n1n1n2.在{A,b},(A,b},{a,b},!a,B}四对事件中，只要有一对独立，那么其余三对也独立。P(AB)=P(A)P(B)3.三个事件A,B,C两两独立：P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。〔相互独立二两两独立，反之不成立。。4•伯努利概型:P(k)=Ckpkqn—k,k=0,1,2,…,n,q=1-p.TOC\o"1-5"\h\znn1・事件的对立与互不相容是等价的。〔X〕假设P(A)=0,那么A=0。〔X〕若P(A)=0.1,P(B)=0.5,贝IJP(AB)=0.05。(X)—4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为ABC+ABC+ABC。(V)n个事件假设满足Vi,jP(AA)=P(A)P(A)，那么n个事件相互独立。(X)ijij当AuB时，有P(B-A)二P(B)-P(A)。〔V〕第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为0，变量x=x0)为定义在0上的单值实值函数，那么称X为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质定义：设随机变量X，对于任意实数xeR，函数F(x)=P{X<x}称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。注：当x<x时，P(x<X<x)=F(x)-F(x)121221X是离散随机变量，并有概率函数p(x.),i=1,2,…，那么有F(x)=工p(x.).xi<xX连续随机变量，并有概率密度f(x)，那么F(x)=P(X<x)=Jxf(t)dt•—g分布函数性质：〔1F(x)是单调非减函数，即对于任意xi<x2，有F(xi)<F(x2);;1212〔20<F(x)<1;且F(—g)=limF(x)=0，F(+g)=limF(x)=1;xT—gxT+g〔3离散随机变量X，F(x)是右连续函数，即F(x)=F(x+0);连续随机变量X，F(x)在〔-^，+-)上处处连续。注：一个函数假设满足上述3个条件，那么它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布定义.设随机变量X只能取得有限个数值x,x,…,x，或可列无穷多个数值x,x,…,x,…，且12n12nP(X=x)=p(i=1,2,…)，那么称X为离散随机变量，p.(i=1,2,…)为X的概率分布，或概率函数(分布iii律).注：概率函数P.的性质：⑴p.>0,i=1,2,…；(2)工p.=1i几种常见的离散随机变量的分布：Ck.Cn-k〔1〕超几何分布，X~H(N,M,n)，P{X=k}=—mn-mk=0,1,2,…,nCnN

⑵二项分布，X~B(n.,p),P(X=k)=Ckpk(1一p)n-kk=0,1,…,nn当n=1时称X服从参数为p的两点分布〔或0—1分布〕。假设尊心1，2，…,n)服从同一两点分布且独立，那么X仝Xi服从二项分布。i=1尢ke—九*⑶泊松(Poisson)分布,X〜P(九),P{X=k}=(九〉0),k=0,1,2,...k!四、连续随机变量及其分布1•定义•假设随机变量X的取值范围是某个实数区间I,且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间(a,b]uI,有P(a<X<b)=fbf(x)dx,那么称X为连续随机变量；函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。a注1：连续随机变量x任取某一确定值的x0概率等于0,即P(X=x0)=0;注2：P(x注2：P(x1<X<x2)=P(x1<X<x2)=P(x1<X<x2)=P(x112121212•概率密度f(x)的性质：性质1：f(x)>0;性质2：<X<X2)Jx1J*"f(x)dx=1.f(x)dx注1：一个函数假设满足上述2个条件,那么它必是某个随机变量的概率密度函数。注2：当X注2：当X1<x2时,P(x1<X<x2)=F(x2)—F(x1)=J2f(x)dx且在f(x)的连续点x处，有F(X)=f(x).几种常见的连续随机变量的分布：(1)均匀分布X〜U(a,b),(1)均匀分布X〜U(a,b),1f(x)=<b—a0a<x<b其它F(x)=〔0,x—ab—a1,x<a;a<x<b;x>b.⑵指数分布X〜巡),“0f(X)={0e:X<01—e一gx>0,0,x<0.(t-H)22G2dt(t-H)22G2dt,—8<x<+8⑶正态分布X〜N(PQ2),b>0f(x)=e2o2,2冗G概率函数与密度函数是同一个概念。〔X〕当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量，有P(a<X<b)=P(a<X<b)。(X)兀4•假设X的密度函数为f(x)=cosx,xe[0，T，那么P(0<X<兀)=Lcostdt.(X)20第三章随机变量的数字特征一、期望〔或均值〕艺xp,离散型定义：EX,EX=<k=1i+xxf(x)dx,连续型—g⑴E(C)=C,(C为常数)(2)E(CX)=CE(X)期望的性质:(3)e(x+Y)二E(X)土E(Y)(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.为g(x)p,X离散型3•随机变量函数的数学期望E[g(x)]=]k=1kk「gg(x)f(x)dx,X连续型-g计算数学期望的方法(1)利用数学期望的定义；(2)利用数学期望的性质；常见的根本方法：将一个比拟复杂的随机变量X拆成有限多个比拟简单的随机变量Xj之和,再利用期望性质求得X的期望.利用常见分布的期望；1.方差D(X)=E[X—E(X)]2=工[x—E(X)]2p,,离散型f+g1.方差D(X)=E[X—E(X)]2=注：D(X)=E[X-E(X)]2^0；它反映了随机变量X取值分散的程度，如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。方差的性质⑴D(C)=0,(C为常数)D(CX)=C2D(X)若X与Y相互独立，贝则D(X土Y)=D(X)+D(Y)⑷对于任意实数CWR,有E(X-C)2$D(X)当且仅当C=E(X)时，E(X-C)2取得最小值D(X)・(5)(切比雪夫不等式)：设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在，对于任意的正数£，有P(]X-E(X)\>打<•或P(IX-E(X)\<£)>1-.£2£2计算(1)利用方差定义；(2)常用计算公式D(X)=E(X2)—[E(X)卩.(3)方差的性质；(4)常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差假设X〜B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=npq；2.假设X〜P(心,则E(X)=D(X)=入；113.假设X〜U(a,b),那么E(X)=a±b,D(X)=；4.假设X〜e(k),贝l」E(X)=-,D(X)=；212--25.假设X〜N(2),则E(X)=比D(X)=G2.三、原点矩与中心矩

〔总体〕X的k阶原点矩：v(X)=E(Xk)〔总体〕X的k阶中心矩：u(X)=E[X-E(X)]kkk只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X)期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。3)方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X)方差的实质是随机变量函数的期望。(J)对于任意的X,Y,都有D(X-Y)=DX+DY成立。(X)第四章正态分布一、正态分布的定义正态分布1-(x-H)21「—(t^2⑴X~N(HQ2)概率密度为f(x)=e2”，一8<X<+8,其分布函数为F(x)=Ixe2心dt2兀g<2kq一8注：F(H1-正态密度函数的几何特性⑵当X=“时，f(x)取得最大值L；2冗g⑶当⑵当X=“时，f(x)取得最大值L；2冗g⑶当xT±8时，f(x)T0,以x轴为渐近线;(4)1\：2冗g+8e—8(x-H)22g2dx=1nI+8e(x-H)22g2—8⑸当固定e改变“的大小时，f(x)的图形不变，只是沿着y轴作平移变化.(6)当固定“，改变/的大小时，f(x)对称轴不变而形状在改变,/越小，图形越高越瘦；"越大，图形越矮越胖.标准正态分布当h=0,g=1时,X〜N(0,1),其密度函数为9(当h=0,g=1时,X〜N(0,1),其密度函数为9(x)=xl1-8<x<+8.且其分布函数为◎(x)=J"e-2dt.X2兀-80(x)的性质(1)0(0)(2)①(+8)=J+8=e8卞2兀x22dx=1nJ+8e-82dx=、：2兀⑶0(—x)=1-0(x).正态分布与标准正态分布的关系定理：假设X〜N(H,g2),那么Y=兰二上〜N(0,1).g定理：设X〜N(H,g2),那么P(x<X<x)=O(x2-H)-0(仔二).12gg二、正态分布的数字特征1f(x-H)2设X〜N(H,G2),那么1.期望E(X)=HE(X)=J2冗g-8

1r丄_(xT」J2方差D(X)=q2D(X)=—Js(x_p)2e_2小dx=a22冗G_8标准差g(X)=o三、正态分布的性质线性性.设X〜N(P,g2),那么Y=a丄bX〜N(a+bp,b2g2),(b丰0)；可加性.设X〜N(p,g2),Y〜N(p,g2),且X和Y相互独立，那么Z=X丄Y〜N(p+p,g2+c2)；xxyyxyxy线性组合性设X〜N(p,G2),i二1,2,…,n，且相互独立，那么工c.X.〜N(工c.p.,工c2g2).TOC\o"1-5"\h\ziiiiiiiiii=1i=1i=1四、中心极限定理独立同分布的中心极限定理设随机变量X,X，…,X，…相互独立，服从相同的分布，且E(X)=p,D(X)=g2,i=1,2,…,n,…12nii那么对于任何实数x,那么对于任何实数x,有limPns艺X_npi4=1_=vlnff1f_4t_mi=.Jxe2g2dt2兀G定理解释：假设X,X，…,X满足上述条件，当n充分大时，有12nEX-nEX-npi⑴Y*=1〜AN(0,1)；nyjnff(2)Y*=EnX〜AN(np,nG2)；ni=11g2⑶1g2⑶X=—EX〜AN(p,)nini=12.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理/Y_np设Y〜B(n,p),那么limP,nWp(i-p)ns1f_u_miJxe2g2dt_sv/2kg定理解释：假设Y〜B(n,p),当n充分大时，有n⑴n=〜AN(0,1)；⑵Y〜AN(np,np(1_p))<'np(1_p)n1•假设X〜N(0,1),Y〜N(2,1),那么X_Y〜N(_2,2).〔x〕X_p12.假设X〜N(p,g2),那么P(<0)=才.〔V〕G2

3.设随机变量X与Y均服从正态分布：X~N(卩,42),Y~N(卩,52)而p=P(X<^-4);p=P(Y>^+5),贝9(B).12A.对任何实数卩，都有p<p；B.对任何实数卩，都有p二p1212C.只对卩的个别值，才有p=p；D.对任何实数卩，都有p>p.12124•连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=亠e-x乙2x-i那么X的数学期望为_1____;X的方差为__1/2____.兀第五章数理统计的根本知识一、总体个体样本1•总体：把研究对象的全体称为总体(或母体)•它是一个随机变量，记X.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体X,X，…,X,称为总体X的容量为n的样本。12n注：(1)样本(X,X，…,X)是一个n维的随机变量；(2)本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性:12n①代表性：X,X，…,X中每一个与总体x有相同的分布.②独立性：X,X,…,X是相互独立的随机变量.12n12n4•样本(X’,Xo，…,X)的联合分布12n设总体X的分布函数为F(x),那么样本(X’,X。，…,X)的联合分布函数为F(x,，…,x)=HF(x.);12n12nii=1(1)设总体X的概率密度函数为f(x),那么样本的联合密度函数为f(x,X，…,x)=Hf(x);12nii=1(2)设总体X的概率函数为p(x),(x=0,1,2,...),那么样本的联合概率函数为p(xi,x2,…,x”)=Hp(x.);i=1二、统计量定义不含总体分布中任何未知参数的样本函数g(X严2，…,Xn)称为统计量，g(xi,x2,…,xn)是g(X],X2，…,Xn)的观测值.注：〔1〕统计量g(X,X，…,X)是随机变量；〔2〕统计量g(X,X，…,X)不含总体分布中任何未知参数;12n12n〔3〕统计量的分布称为抽样分布.常用统计量〔1〕样本矩：①样本均值X=丄£X；i其观测值ni=1-1£〔1〕样本矩：①样本均值X=丄£X；i其观测值ni=1-1£x=ni=1x.i可用于推断：总体均值E(X).②样本方差S2=£(Xn—1i=1占(£X2—nX2)；i=1其观测值s2=—-—£(x.—x)2n—1i=1n-1—nx2丿可用于推断：总体方差D(X).(X.—X)2③样本标准差S(X.—X)2i=1.ni=1r、中—r、中—乙x2-nx2

i=1丿其观测值1另kv=xkknii=1iy-u=(x.-x)kknii=1其观测值s川=:古y(xi-x)2=:i=1④样本汀介原点矩vk=nyxik,(k=口…)i=1⑤样本k阶中心矩U=丄(X-X)k,(k=1,2,…)其观测值knii=1注：比拟样本矩与总体矩，如样本均值X和总体均值E(X)；样本方差S2与总体方差D(X)；1n样本k阶原点矩VXk,(k二1,2,…)与总体k阶原点矩E(Xk),(k=1,2,…)；样本k阶中心矩knii=11._U=-y(X-X)k,(k=1,2,…)与总体k阶原点矩E[X-E(X)]k,(k=1,2,…).前者是随机变量,后者是常数.knii=1(2)样本矩的性质:设总体X的数学期望和方差分别为EX=卩,DX=◎2，X,S2为样本均值、样本方差，那么3oE(S2)=b2.1oE(X)=P3oE(S2)=b2.n抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.3大抽样分布1.X2分布：定义.设X,X，…,X相互独立，且X〜N(0,1),i=1,2,…,k，那么X2=X2+X2+…+X2~X2(k)12ki12k注：假设X〜N(0,1),那么X2-咒2(1).〔2〕性质〔可加性〕设咒12和吆2相互独立，且X12~X2(k1),X厂X2(k2)，那么X+X2〜X2(k1+k2).t分布：设X与Y相互独立，且X〜N(0,1),Y〜X2(k),那么t=」〜t(k).y>Y/k注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).F分布：定义.设X与Y相互独立，且X〜X2(k),Y〜X2(心),那么F=X/k1〜F(k,k).TOC\o"1-5"\h\z12Y/k122⑵性质.设X〜F(气也),那么1/X〜F陶占).四、分位点定义：对于总体X和给定的a(0<a<1),假设存在x，使得P(X>x)=a那么称x为X分布的a分位点。aOta注：常见分布的分位点表示方法〔1〕X2(k)分布的a分位点X2(k);〔2〕t(k)分布的a分位点t(k),其性质：t(k)=-t(k);11〔3〕F(k,k),分布的a分位点F(k,k),其性质F(k,k)=；12121-12F(k,k)21⑷N(O,1)分布的a分位点u,有P(X>u)=1—p(X<u)=1—①(u),aaaa第六章参数估计―、点估计:设(X,X，…,X)为来自总体X的样本，0为X中的未知参数，(x,x，…,x)为样本值，构造某个统计12n12n量0(X,X，…,X)作为参数0的估计，那么称0(X,X，…,X)为0的点估计量，0(x,x,…,x)为0的估计值.12n12n12n常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法根本思想:用样本矩〔原点矩或中心矩〕代替相应的总体矩.求总体X的分布中包含的m个未知参数0,0,..・,0的矩估计步骤：12m①求出总体矩，即E(Xk)或£区—E(X)]k,k=1,2,…：②用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：TOC\o"1-5"\h\ziyiyXk=E(Xk)或(X.—X)k=E[X—E(X)]k,k=1,2,…ninii=1i=1解上述方程〔或方程组〕得到0,0，…,0的矩估计量为：0=0(X,X，…,X),i=1,2，…