数学人教A版选修1-2教材习题点拨第二章推理与证明

教材习题点拨复习参考题A组1．解：第⑤个图形如下图所示．第②个图形，中心有1个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，每个方向有一个圆圈，共有[(1＋1)2－1]个圆圈；第③个图形，中心有1个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有[(2＋1)2－2]个圆圈；第④个图形，中心有1个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有[(3＋1)2－3]个圆圈；……由上面的变化规律，可猜测，第n个图形中心有1个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，共有[(n－1)＋1]2－(n－1)＝(n2－n＋1)个圆圈．即第n个图形中共有n(n－1)＋1(n∈N*)个圆圈．2．解：(n∈N*)．点拨：∵eq\r(11－2)＝eq\r(9)＝3，eq\r(1111－22)＝33，eq\r(111111－222)＝333，猜测3．解：因为f(2)＝f2(1)＝4，所以f(1)＝2，f(3)＝f(2)f(1)＝8，f(4)＝f(3)f(1)＝16，…，猜想f(n)＝2n.4．证明：如图，设O是四面体A－BCD内任意一点，连结AO、BO、CO、DO并延长交对面于A′、B′、C′、D′，则eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝1.用体积法证明：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝eq\f(VO－BCD,VA－BCD)＋eq\f(VO－CDA,VB－CDA)＋eq\f(VO－DAB,VC－DAB)＋eq\f(VO－ABC,VD－ABC)＝eq\f(VA－BCD,VA－BCD)＝1.5．证明：要证(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，只需证1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2，即证tanA＋tanB＝1－tanAtanB．①由A＋B＝eq\f(5π,4)，得tan(A＋B)＝1.又因为A＋B≠kπ＋eq\f(π,2)，所以eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝1，变形即得①式．所以命题得证．B组1．解：(1)25条线段，16部分；(2)n2条线段；(3)eq\f(n2＋n＋2,2)部分．2．证明：因为∠BSC＝90°，所以△BSC是直角三角形．在Rt△BSC中，有BC2＝SB2＋SC2.类似地，得AC2＝SA2＋SC2，AB2＝SB2＋SA2.在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(SA2,AB·AC)＞0；cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(SB2,AB·BC)＞0；cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(SC2,BC·AC)＞0.因此，A、B、C均为锐角，从而△ABC是锐角三角形．3．证明：要证cos4β－cos4α＝3，因为cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝1－2sin22β－4×(1－2sin22α)＝1－8sin2βcos2β－4×(1－8sin2αcos2α)＝1－8sin2β(1－sin2β)－4×[1－8sin2α(1－sin2α)]，只需证1－8sin2β(1－sin2β)－4×[1－8sin2α(1－sin2α)]＝3.由已知条件，得sinα＝eq\f(sinθ＋cosθ,2)，sin2β＝sinθcosθ.代入上式的左端，得1－8sin2β(1－sin2β)－4×[1－8sin2α(1－sin2α)]＝－3－8sinθcosθ(1－sinθcosθ)＋32sin2α(1－sin2α)＝－3－8sinθcosθ＋8sin2θcos2θ＋2(1＋2sinθcosθ)(3－2