矩阵范数详解

PAGEPAGE4《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。最容易想到的矩阵范数，是把矩阵可以视为一个维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用上的向量范数来作为的矩阵范数。比如在范数意义下，；（1.1）在-范数意义下，，（1.2）注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计的“大小”相对于的“大小”关系。定义1设，对每一个，如果对应着一个实函数，记为，它满足以下条件：（1）非负性：；（1a）正定性：（2）齐次性：；（3）三角不等式：则称为的广义矩阵范数。进一步，若对上的同类广义矩阵范数，有（4）（矩阵相乘的）相容性：，，则称为的矩阵范数。我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们，三角不等式的验证。按列分块，记。对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy不等式，则有（1.3）于是，两边开方，即得三角不等式。再验证矩阵乘法相容性。（这一步用了Cauchy不等式）（1.4）可见，矩阵相容性满足。这样就完成了对矩阵F-范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可以了吗？No!运用-范数于矩阵范数时便出了问题。如果，那么,这样的矩阵范数在下面一个例子上就行不通。设。因此，按上述矩阵∞-范数的定义，，于是但这是矛盾的。所以简单地将-范数运用于矩阵范数，是不可行的。虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。由此，我们必须认识到，不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。为此,我们仅给出矩阵范数的定义是不够的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。当然，你也可以不去考虑构成方法，一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。不过这样做的工作量太大，也很盲目。第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中，所以在考虑构造矩阵范数时，应该使它与向量范数相容。比如要考虑的“大小”，是一个向量，但它由与相乘而得的，它与的“大小”和的“大小”的关系如何？这提出了两类范数相容的概念。定义2对于上的矩阵范数和上的同类向量范数，如果成立（1.5）则称矩阵范数与向量范数是相容的。例1．1可以证明是与向量范数相容。事实上，在（1。2）中，取，那么矩阵算子范数现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容，当然，它也满足定义1规定的4个条件。定义3设上的同类向量范数为，，定义在空间上的矩阵的由向量范数诱导给出的矩阵范数为（2.1）。故这组特征向量构成了一组标准正交基，用它们可表示任一个范数的向量：而且，由，可得到。这样，。由此，也就是由的任意性和算子范数的定义（*）另一方面，由，并且取对应的特征向量，考虑所以（**）综合（*）和（**），由-范数诱导得出的矩阵范数应为。例3．3设，-范数诱导得出的矩阵范数（3.4）证明：设，即。由算子范数，（*）另一方面，选取k，使得令其中，则，从而有，由算子范数。（**）综合（*）和（**），便得。除了上述3种常用的矩阵范数外，Frobenius范数虽然不是算子范数，但也经常所用，在讨论序列收敛等问题上是等价的。设，求其各种矩阵范数。解：最大列和=6；最大行和=7；；由矩阵范数推出的向量范数矩阵范数可由向量范数诱导，反过来，向量范数有时也可从矩阵范数推出。例4．1设是上的矩阵范数，任取中的非零向量，则函数（4。1）是上的向量范数，且矩阵范数与向量范数相容。证明：欲证是一个向量范数，只须验证它满足向量范数得个条件。非负性：当时，由于非零，故；当时，，故。齐次性：对任一常数，有。三角不等式：对任意的，有。因此由向量范数的定义知，是一个向量范数。下面再证两种范数的相容性。如果，那么。可见，矩阵范数与向量范数相容。范数的若干应用范数的应用很广泛，这里只举2例。矩阵奇异性的条件对于矩阵，能否根据其范数的大小，来判别的奇异性？判别一个矩阵的奇异性，并不方便（比如计算的行列式的值是否非零，判断的诸列是否线性无关等，均不大容易），但矩阵的范数的计算，如，还是方便的。定理5.1(Banach引理)设矩阵,且对矩阵上的某种矩阵范数,有,则矩阵非奇异,且有(5.1)证明:假设矩阵范数与向量范数相容。欲证矩阵非奇异，可通过。用反证法。假设，则齐次线性方程组有非零解，即于是，。两边取范数其中最后一个不等号是由于。但上式是矛盾的，假设不成立，从而矩阵非奇异，故有逆。再由可得两边取范数，得再移项，有从而这正是我们要想证明的。在推演分析的直接法的误差分析时起重要的作用。请同学们自行证明下面类似的结果。定理5.2设矩阵,且对矩阵上的某种矩阵范数,有，则2．近似逆矩阵的误差——逆矩阵的摄动在数值计算中，误差无处不在，考虑由于这些误差存在而带来的后果，是一项重要的课题。设矩阵的元素带有误差，则矩阵的真实的值应为，其中称为误差矩阵，又叫摄动矩阵。若为非奇异，其逆阵为。问题是：与的近似程度如何呢？或者说，与的“距离”大小为多少？下面是回答上述问题的摄动定理。定理5.3设矩阵非奇异，，且对上的某种矩阵范数，有，则（1）非奇异；（2）记，那么；（3）。证明：由于，所以。由定理5。1，非奇异，故非奇异。在定理5。2中，将换成，即得（2）。又因为，两边取范数，并利用（2）的结论，可得，即可得到（3）。□3．矩阵谱半径及其性质矩阵谱半径是一个重要的概念，在特征值估计，广义逆矩阵，数值计算（特别在数值线性代数）等理论中，都占有极其重要的地位。定义4设矩阵的n个特征值为（含重根），称为矩阵的谱半径，记为。关于矩阵谱半径的最证明也是最重要的结论是，矩阵的谱半径不超过其任一种矩阵范数。这个结果已经在课堂上证明过了。作为练习，请同学们对验证这个结论。关于矩阵谱半径的第2个重要结论是，如果矩阵为Hermite矩阵，则。证明留给大家。虽然Hermite矩阵的谱半径与其谱范数相等，但是，一般矩阵的谱半径与其谱范数可能相差很大。下面关于矩阵谱半径的第3个重要结论，刻画了谱半径与矩阵范数之间的另一种定量关系。，定理5。4设矩阵，对任意正数，存在一种矩阵范数，使得证明：根据Jordan标准型，对，存在非奇异的，使如果记