北京市海淀十一学校高一数学上学期期中试题(含解析)

北京市海淀十一学校2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)一、填空题(本题共10题，每题2分，共20分).设集合A={%11<%<4)【答案】{%13<%<4},B={%I%2-2%-3≤0},则A∩(B)=r.【解析】:集合B=(I%2—2%—3≤0}={XI-1≤%≤3}.∙.B={%I%<-1或%>3}CR又∙.∙A={%Il<%<4}.∙.A(B)={%I3<%<4}CR∩.命题“VXER,%2≥0"的否定是【答案】3%ER,%2<0【解析】全称命题的否定是特称命题，故命题：“VXER,%2≥0”的否定是“3%ER,%2<0.满足条件{2,3}QA{1,2,3,4}的集合A有个.【答案】3 E【解析】满足条件{2,3}CA{1,2,3,4}的集合A有：(2,3},{1,2,3},{2,3,4}故共有3个. S.函数y=虫±1的定义域为.%【答案】[-1,0)(0,+∞)U 「%+1≥0【解析】要使函数有意义，则必须I C%W0解得%≥-1且%≠0故函数的定义域是[-1,0)(0,+∞).U.已知函数f(%)=%2-6%+8,%E[1,a],并且函数f(%)的最小值为f(a)，贝IJa的取值范围是【答案】(1,3]【解析】函数f(%)=%2-6%+8在(-8,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，•・•函数f(%)在%E[1,a]时的最小值为f(a),・・・1<a≤3即α的取值范围是(1,3].设A={%10≤%≤2},B={y11≤y≤2},能表示从集合A到集合B的函数关系的是一A．B.C.D.【答案】D【解析】A项.当0≤%≤2时，0≤y≤2，故A项错误;B项.当0≤%≤2时，0≤y≤2，故B项错误；C项.当0≤%<2时，任取一个%值，有两个》值与之对应，故C项错误；D项.在0≤%≤2时，任取一个%值，在1≤y≤2时总有唯一确定的》值与之对应，故D项正确.综上所述.故选D.函数f(%)=%2—1+1的零点有个.%【答案】1【解析】函数f(%)=%2-1+1的零点个数等价于方程%2+1=1解的个数,%%分别作出y=%2+1和y=1的图象，%由图可知,两函数图象有且只有1个交点,故函数f(%)=%2--+1的零点有且只有一个.%.2log2—log32+log8-5ι+ι°g5ɜ=33 3【答案】-15【解析】2log2-log32+log8-5ι+iog5333 3=log4-log32+log8-5X5log5333 34=log—χ8-5χ3332=log1-153=-15..已知条件P:%≤1，条件q:-<1，则「P是q的x【答案】充分不必要条件【解析】由题意，「P:%〉1q:%<0或%>1故」P是q的充分不必要条件.%.函数f(%)= (%≥2)的最大值为%-1.【答案】2%1【解析】函数f(%)=--=1+一-,%-1 %-1・•・函数f(%)在［2,+∞)上单调递减，故当%≥2时，f(%)的最大值为f(2)=2.二、填空题(本题共10题，每题3分，共30分).写出函数f(%)=-%2+21%I的单调递增区间【答案】(-8,-1)和(0,1)|一％2+2X,X≥0【解析】由题意，函数f(X)=-X2+21X1=〈[-X2-2X,X<0作出函数f(X)的图象如图所示：由图象知，函数f(X)的单调递增区间是(-8,-1)和(0,1)..若命题“mXER，使得X2+(1-a)X+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为.【答案】[-1,3]【解析】若命题“mXER,使得X2+(1-a)X+1<0"是假命题，则对VXER,都有X2+(1-a)X+1≥0,・•・A=(1-a)2-4≤0即a2-2a-3≤0解得-1≤a≤3即实数a的取值范围为[-1,3].13.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为.,. X(X-5) 一，. . : y= ,y=X-5；(2)y=√%+1、：％-1,y=√(x+1)(X-1);X 2 1 2(3)f(X)=X,g(X)=-CX2；(4)f(X)=3X4-X3,F(X)=X3X-1【答案】(4)【解析】对于(1),函数y=XX二5)的定义域是{XIXW0},函数y=X-5的定义域是R，两个函数定义1X 2域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于(2),函数y=√T+1∙√T一T的定义域是{XIX≥1},函数y=Y(X+1)(x-1)的定义域是{XIX≤-1或1 2X≥1},两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于(3),函数f(X)=X,g(X)=VX2=IXI，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一1个函数;对于(4),函数f(x)=3x4-x3=x-3x-1,定义域为R,函数F(x)=x-3x—1定义域为R，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数.综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是(4)..若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数，且它的值域为(-8,41，则该函数的解析式f(x)=.【答案】f(x)=-2x2+4【解析】:函数f(X)=(X+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)X+2a2是偶函数，・•・2a+ab=0，即a(b+2)=0；.a=0或b=—2又「函数f(x)的值域为(-∞,4］/.2a2=4,a2=2故该函数的解析式f(x)=-2x2+4.已知奇函数f(x)，当X≤0时，有f(x)=X2+X，贝IJX>0时，函数f(x)=【答案】-X2+X【解析】•・•当X≤0时，有f(X)=X2+X,/.当X>0时，-X<0,有f(-X)=(-X)2+(-X)=X2-x,又•・•f(X)是奇函数，/.当x>0时，f(x)=-f(-x)=-x2+x.16.已知偶函数f(X)在区间［。,+8)上单调增加，则满足f(2X-1)>ff3］的X的取值范围是,\√【答案】f12]13,3J【解析】丁f(x)是偶函数,・•.f(x)=f(IxI),不等式f(2x-1)<f3I3(1A等价于f(I2x-1I)<f-13√,又•・•f(X)在区间［。,+∞)上单调递增,一..1.一1 2/∙12x-11<,解得<x<一,3， 3 31』I3√故满足f(2x-1)<f的X的取值范围是112][3,3)(x2+4x,x≥017.已知函数f(x)=\ ，若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 (4X-X2,X<0【答案】(-2,1)(X2+4x,X≥0【解析】作出函数f(x)=| 的图象，如图所示,(4x-x2,x<0可知函数f(x)是定义在R上的增函数,•・•f(2-a2)>f(a),；•2-a2>a即a2+a-2<0,解得一2<a<1即实数a的取值范围是(-2,1).18.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0,则不等式f(X)-f-)<0的解集为X【答案】(-1,0)(0,1)【解析】•・,函数f(x)是奇函数，.・.f(-X)=-f(X),f(X)-f(-X) -C ∖X>0 ∖X<0...不等式八X)八X)<0等价于Xf(X)<0,即J 或JX 〔f(X)<0 [f(X)>0根据条件可作出一函数f(X)的大致图象，如图所示：故不等式"“)—ff)<0的解集为(-1,0)(0,1).XU.下列几个命题①方程x2+(a-3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0;②函数y=√XT-1+<1-X2是偶函数，但不是奇函数；③命题“若x2〉1,则IJX>1”的否命题为“若χ2〉1,贝IJX≤1"；④命题'FX∈R，使得X2+X+1<0”的否定是”VX∈R，都有X2+X+1≥0"；⑤“X>1”是“X2+X-2>0”的充分不必要条件.正确的是.【答案】①④⑤【解析】对于①，若方程X2+(a-3)X+a=0有一个正实根，一个负实根，贝IJ]ʌ=3)2-4°>0,解得a<0,[a<0故①正确；对于②，要使函数y=√χT-Γ+√1-X2有意义，则X2-1≥0,1-X2≥0，解得X=±1,因此y=0(X=±1),所以，函数既是偶函数，又是奇函数，故②错误；对于③，命题“若X2>1,则X>1"的否命题为"若X2≤1,则X≤1”.故③错误；对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题“3R，使得X2+X+1<0”的否定是”VX∈R，都有X2+X+1≥0”，故④正确.对于⑤，X2+X-2>0等价于X<-2或X>1,所以“X>1”是“X2+X-2>0”的充分不必要条件，故⑤正确.综上所述，正确的命题是①④⑤..设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k-1史A,且k+1史A,贝IJ称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.【答案】6【解析】要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，故不含“孤立元”的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},6,6,7},{6,7,8)共有6个.三、解答题：(本题共6个解答题；共50分).(本题满分6分)2-x≥03+x已知集合A=<X,B=LIx2-2x-3<0},C={xIx2-(2a+1)X+a(a+1)<0}(1)求集合A,B及AB(2)若CQ(AB),求实数a的取值范围.【答案】见解析.X-【解析】解：(1)∙∙∙一X≥0+X.∙.(2—X)(3+X)≥0且X≠-3解得：-3<X≤2故集合A={XI-3<X<2}「X2-2X-3<0・•.(X+1)(X-3)<0解得-1<X<3故集合B={XI-1<X<3}/.AB={XI-3<X<3}(2)由(1)可得集合A={XI-3<X≤2},集合B={XI-1<X<3},AB={XI-1<X≤2}「X2-(2a+1)X+a(a+1)<0, 「/.(X-a)[X-(a+1)]<0解得a<X<a+1./集合C={XIa<X<a+1}•・•C⊂(AB),a≥-。a+1≤2,解得-1≤a≤1，故实数a的取值范围是[-1,1].22.（本题满分6分）已知m∈R，命题P:对任意XG[0,1]，不等式2X-2≥m2-3m恒成立；命题q:存在X∈[-1,1]，使得m≤aX成立.1）若P为真命题，求m的取值范围.（2）当a=1，若P且q为假，P或q为真，求m的取值范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）若P命题为真，则对任意X∈[0,1]，不等式2X-2≥m2-3m恒成立，即当X∈[0,1]时，m2-3m≤（2X-2）恒成立，min∙.∙当X∈[0,1]时，2X-2∈[-2,0],./m2-3m≤-2,即m2-3m+2≤0解得1≤m≤2即m的取值范围是［1,2］.(2)当a=1时，若q命题为真，则存在％G［~1,1］,使得m≤%成立，即m≤x成立,max故m≤1若P且q为假命题，P或q为真命题，则P,q一真一假，1≤m≤2若P真q假假贝IJ〈λ，得1<m≤2.m〉1m<1或m〉2若P假q真，则< ，得m<1，【注意有文字】m≤1综上所述，m的取值范围是(-∞,1)(1,2］U23.(本题满分10分)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=31)求f(%)的解析式.(2)若f(x)在区间［2a,a+1］上不单调，求实数a的取值范围.．．．(3)在区间［-1,1］上，y=f(x)的图象恒在y=2X+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围.【答案】见解析.【解析】解：(1)由已知f(%)是二次函数，且f(0)=f(2)得f(x)的对称轴为x=1又f(%)的最小值为2故设f(%)=a(%-1)2+1•・,f(0)=3.∙.α+1=3，解得a=2.∙.f(%)=2(%-1)2+1=2%2-4%+3(2)要使f(%)在区间［2a,a+1］上不单调，则2a<1<a+1.∖0<a<—,2,- …m，n即实数a的取值范围是0,-.I2√(3)若在区间［-1,1］上，y=f(%)的图象恒在y=2%+2m+1的图象上方，贝2%2-4%+3〉2%+2m+1在［-1,1］上恒成立,即m<%2-3%+1在［-1,1］上恒成立，设g(%)=%2-3%+1，则g(%)在区间［-1,1］上单调递减，・•・g(%)在区间［-1,1］上的最小值为g(1)=-1；.m<-1,故实数m的取值范围是(-8,-1).24.(本小题满分10分)b∈R，亍己max{a,b}=<对a、a≥b ʃ 1,函数f(x)=maxNXI,-x2-2X+4}(X∈R).a<b‘一' ' '11)求f(0),f(-4).(2)写出函数f(x)的解析式，并作出图像.3)若关于X的方程f(x)=m有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围.(只需写出结论)【答案】见解析.「11a,a≥b ʃ 1【解析】解：(1);max1a,b}=\ ,，函数f(x)=max<lxI,一x2—2x+4j,b,a<b；.f(0)=max{0,4}=4,f(—4)=max{4,-4}=4.12)13)m=5或m='"十2.ax+b25.(本题满分10分)已知函数f(x)= X2+1 Y1、2是定义在R上的奇函数，且f-=\2.(1)求函数f(x)的解析式.(2)用函数单调性的定义证明f(x)在(0,1)上是增函数.(3)判断函数f(x)在区间(1,+8)上的单调性；(只需写出结论)(4)根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上,作出f(x)在定义域R上的示意图.【答案】见解析．_ _ ax+b .【解析】解：(1)•・•f(x)= 是定义在R上的奇函数，x2+1b・•・f(0)=-=0,；.b=01J1∖5α 2 儿又:f~=~Γ=~，解得a=1,V2√ 5 54xf(x)=x2+1(24明：设0V5<x2<1则f(XI)T(X2)=xx 1 2—x2+1 x2+112(x-x)(1-xx)=-1 2 (x2+1)(x2+1)12，∙.∙0<X<X<112/.x-x<0,1-xx>0

1 2 12(x2+1)(x2+1)>0，12••・f(XI)T(X2)<0，即f(xI)<f(x2),x/f(x)=——在(0,1)上是增函数.x2+1(3)函数f(x)在区间(1,+8)上单调递减.426.(本小题满分8分)已知定义域为［0,1］的函数f(x)同时满足以下三个条件：①对任意的XG［0,1］，总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若X≥0,X≥0且X+X≤1，贝崎f(X+X)≥f(X)+f(X