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#/372013年北京大学保送生考试数学试题详解【第1题】AABC内点M满足/CMB=100。，线段BM的中垂线交边AB于P,线段CM的中垂线交边AC于Q，已知：P、M、Q三点共线，求/CAB.解：如图./PBM+/QCM=/PMB+/QMC=180。一/BMC=80。/MBC+/MCB=180。—/BMC=80。于是/ABC+/ACB=(/PBM+/QCM)+)(/MBC+/MCB)=160。,/BAC=20。正数a,b,c满足a<b+c，求证:a1 1b+cbcbc解： = <—： = = + < + 解：1+a1+1 +1b+c+1b+c+1b+c+11+b1+cab+c因此原不等式得证.【第3题】是否存在两两不同的实数a,b,c，使直角坐标系中的三条直线y=ax+b,y=bx+c,y=cx+a共点.解：原问题即方程组ax+b=bx+c=cx+a有解(a,b,c,x)，其中a,b,c两两不同.c一ba一cax+b=bx+c=cx+aox= = a一b b一cc-b a-c整理 = ，得a2+b2+c2=ab+bc+ca，与a,b,c两两不同矛盾.a-bb-c于是不存在符合题意的实数对(a,b,c).【第4题】对{1,2,9}的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数解：设M,={1,3,5,7,9},N={2,4,6,8}，则奇子集由M中的个、个或个元素以及N中的任意个元素组成因此奇子集共有(C1+C3+。).24=256个5 5 5【第5题】在一个2013x2013的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积解：下面证明对nxn的数表，n>3,neN*,n是奇数，命题均成立(ab+cd\=(a2+c2)6

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