matlab算法第12章回归分析

第十二章yx1x2Lxm之间的回归模型（经验公式xi(i1,2,Lmy 在本章中，我们所涉及的均是样本点×变量类型的数据表。如果有m，得到(xi1,xi2,L,xim)，i=1,2,L,1n式中ei(xi1xi2L,xim)T˛Rmi1,2,Lnei被称为第i1nx=(x1,x2,L,xm)，xj=xij，j=1,2,L,n S=(sij)m·m=n-1(ek-x)(ek-

kR=(r ij sij (xki-xi)(xkj-xjkx*=x-x，i=1,2,L,n；j=1,2,L, 行所谓的压缩处理，即使每个变量的方差均变成1，即x*=x/1nn11nn1(xij-xj2其中sj x*=x/max{x}，x*=x/min{x x*=x/x，x*=x/(max{x}-min{x x*xij-xji1,2,Lnj1,2,Lm j b0b1为回归系数，是随机误差项，总是假设e~N(0,s2y~N(b0b1x,s2(yi,xi)，i=1,2,L,这nyi=b0+b1x+ei，i=1,2,L,

的观测，当ijei 用最小二乘法估计b0b1的值，即取b0b1的一组估计值

b，使yi 0101Q(b,b)=(y-b-bx 则

1n b0,b1

1¶Q=

(y-b-bx)=inn

1¶Q=

x(y-b-bx)=

1 nb0+b1xi=

bx+bx2=x

i bˆ=i=1(xi-x)(yi-

b0=y-b ˆ bbbbxyxy x1xi in

，y

1ninin(xi-x)(yi-n2ˆ12

i=1

(yi- (xi-x)(yi- = =y

ii

(ii

sxn-1(xi

，sy (yi-

n-1xiyix0y0sx1sy1有10ˆ=0，bˆ=1011

n

nxi

证明n

(xi-x) (xi-x)(yi- (xi-x)yi-y(xi-bˆ= = n

ii

y(xi-x)=y(nx-nx)=n xi-n1=

11

E(bˆ)=Eky=kE(y

ii

nn

n=n

xi-

i=1

n x- (xi-x)(xi-kixi=

x= ini

i=1(xi

ii

11111n(xi-21n(xi-2

22

nky

2 =

Var(y)=k

=s i

nk2=n( x- 2

n(x-x)2

=

i=1

(x-x)2i i

11 1=ci E(b1)=ciE(yi)= ci=0，cixi=

ki

)=s2c2=s

k2+

d2+k i

kd=k(c-k)= x- -kinin

cixi-x ni -k2 ni 而

ii

ii

1s2ki1

bVar(~b

nn

2n2

n

~时，即c”k时，才 0 体参数b00 E(bˆ)= Var(bˆ)=s2[1 x

00

ei=yi-yˆi，i=1,2,L,ne=n(y-

-bˆx)=

1

ˆi n ni(y-bˆ-bˆx)=inn

1yi

+bˆx)nin

0 0nxiei=nn这个结论由第二个正规方程

x(y-

当第i即nnnnn

ˆi

(bˆ+bˆx)e= e+ xe= i 1最小二乘回归线总是通过观测数据的重心(xy的。事实上，当自变量取值为x时，由式（5）1ˆ000

1 1（或者说解释）yi值的取值变化？回归方程的质量如何？误差多大？对这些，都必须ei=yi-yˆi，i=1,2,L,1en

ˆinMSEn

(e-e)2

ne2

(y-yˆn-

n-2i=1

n-2 由于有ei0和xiei0的约束，所以，残差平方和有(n2)n

以证明，在对

e2除以其自由度(n2)后得到的MSE，是总体回归模型中1n1niSe 0101 y的变异呢？又有多大部分是无法用这个回归方程来解释y1y2L,yn s (yi-（10sˆ2= n-1

ˆi

iiiinnnn

(

-y)2

(ii

-yˆ)2

(

-y)2+

(yi

ˆ

ˆ

(y-yˆ)(yˆ-y)=

1 1

(y-

x(y-bˆ-bˆx)-

i0

1 (yi-y)2=(yˆi-y)2+(yi-yˆi 2记n

SST=(

y)2yidfTn-nnin

1SSE=(

SST=SSR+SSE，dfT=dfR+给y带来的系统性变异；另一个是由除x以外的其它因素的影响。，R2=SSR=(1-SSE （1）0£R2£合值的变异来解释，并且残差为零（SSE0，即拟合点与原数据完全吻合；SSESST量y的相关度越大，拟合直线的优良度就越高。

(

y)( (ˆ

+

=r2(y,ˆ) R =i n

(n

n

(

(ˆ

11

yi=b0+b1

~N(0,s2)，i=1,2,L,样本测度指标具有一定的随机因素，还不足以肯定y与x的线性关系。yi=b0+b1xi+ei，i=1,2,L,nSSE=(

yi=b0+1ˆ=1b00ˆ=y-bˆx=b00因此，对所有的i1,2,Lnn(

y)2=

SSE£认为总体参数b1显著不为零。F=SSRSSE/(n-

MSR=SSR/dfR=SSRMSE=SSE/dfE=SSE/(n-SSE/s2~c2(n-2)，SSR/s2~c2F=MSR~F(1,n-H0b10H1b10F= 对于检验水平，按自由度（n11n2n2）F分布表，得到拒绝域的临Fa(1,n2)。决策规则为系式来解释y。线性关系来解释y。习惯上说，线性回归方程的F检验通过了。yi=b0+b1xi+x。与因变量之间的关系能否用一个线性模型来表示，这是由F检验来完成的；另一个检的影响程度是否显著。这就是下面要讨论的t检验。在一元线性分析中，由于自变量的在多元线性回归分析中，这两个建议的意义是不同的。从逻辑上说，一般常在F检验通过后，再进一步进行t建议。 n(xi-22bˆ~N(b n(xi-22 s

2 (xi-2ˆ-1 ~t(n-2)Sbˆ-b(bˆ-b) 1= 1111n MSE/(xi-

s2/(xi-1ˆ1~t(n-S t1

b1b11检验统计量t1b10假设为真时，服从自由度为(n2)的t对于给定的检验水平，则通过t分布表可查到统计量t1的临界值ta(n2)222 <ta(n-2)=1- 小二乘估计量bˆ0的抽样分布为正态分布，即bˆ~N(b,s2[1 x i (x-i2002

x

S(b0)=MSE[nˆ0ˆb0~t(n-

nn

H0:b0=0，H1:b0„t0

ˆb0b00b00时，检验统计量t0服从自由度为(n2)的t对于给定的检验水平，则通过t分布表可查到统计量t0的临界值ta(n2)2

22 S(b0ˆP

<ta(n-2)=1- bˆ-t(n-2)S(bˆ)£b£bˆ+t(n- y=b0+b1x1+L+bmxm+ bb,Lb,s2xx,Lxbb,Lb

现得到n个独立观测数据yixi1Lximi1,Lnnm，由（20）yi=b0+b1xi1+L+bmxim+ i=1,L,M记M

1 x1m X=

，Y

xnm

e= Len]T，b=Y=Xb+e~N(0,s2E

b1 bm

bjbˆj时，j0,1,2,Lm Q=e2=(y-b-bx-L-bx i

1 m得

=0，j=0,1,2,L,

(y-b-bx-L-bx)=

1 mi n=-2(yi-b0-b1xi1-L-bmxim)xij= j=1,2,L, +bx+L+b =

i

x+

x2+bx

+L+bmx =x

n

1i1n

2

i1in

i1im

i1in0 +bxx+bxx+L+bx2=x0

im

imi

im

yˆ=bˆ+bˆx+L+bˆ 1 m而这组数据的拟合值为YˆXbˆ，拟合误差eY-Yˆ称为残差，可作为随机误差的 Q=e2=(y-yˆ i i)

·记XTX)-1(cijnn·Q~c2(n-m-

s2

n

y)2nSST=Q+U，U=(ˆi

反映自变量对y的影响。上面的分解中利用了正规方程组。yx1Lxm之间是否存在如模型（20）

j1,Lmyx1LxmH0:bj=0(j=1,L,H0成立时由分解式（34）定义的UQF U/

~F(m,n-m- 在显著性水 下有 分位数Fa(m,n-m-1)，若F<Fa(m,n-m-1)，接注意H0yx1Lxm的线性关系不明显，可能存在非线性关系，yx1LxmR2=S

R Ryx1LxmR一步作如下m个检验(j0,1,LmH(j):b= 0由（31）~（33）式，当H(j)成立时0bˆj/ctj ~t(n-m-Q/(n-m-

对给定的，若|tj|2

0 0

QQ。

cjj,bˆ+t(n-m-2

+L+bˆ

1 m给定可以算出y0的预测区间（区间估计，结果较复杂，但当nx0i接近平均值xi时，y0的预测区间可简化为 a2 分位数22)ei服从均值为零的正态分布，所以若某个ei的置信区间不包含零点，则认为这个§4Matlab

0.05，b,bint它们的置信区间，r,rint为残差（向量）及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统Fpp

例1 数据如下表1。xy解先画出散点图：y=b0+regress和rcoplot编程如下：

b bint stats 间是[75.7755,199.2245]R20.7985F27.7469p0.0012s24.0883含零点，第8个点应视为异常点，将其剔除后重新计算，可得bbintstats x1x2y2yx1x2有yx1yx2yx2有较明显的线性yx1x1=[120140125145180x2=[100110250270300y=[102100120774693266965

b -bint=-stats 例3 以考察年龄对这种运动能力的影响。现得到一组数据如表3。

y=a2x2+a1x+

y0=[20.4825.1326.1530.0 20.324.3528.1126.331.426.9225.7p=- 即a20.2003a18.9782a072.215020

图1曲线，它两侧的红线是y的置信区间。你可以用鼠标移动图中的十字线来改变图下方xy的预测值及其置信区间。通过左下方的其中输入数据x,y分别为n·m矩阵和n维向量，alpha为显著性水平（0.05，model：linear(线性)：yb0b1x1+Lbmxmpurequadratic(纯二次)ybbx+Lbxbx 11 mm jjjj=1interaction（交叉yb0b1x1+Lbmxm+bjkxjquadratic(完全二次)yb0b1x1+Lbmxm+bjkxjy=b+bx+bx+bx2+bx 1 2 11 22x1=[120140190145180x2=[10011090270300y=[1021001206965x=[x1x2];0

图2x2（=188）yx2及其置信区间。用鼠标移动图中的十residuals(beta=-312.58717.2701-1.7337-0.0228rmsey=b+bx+bx+bxx+bx2+b 1 2 31 4 5 5.1yb1,Lbm（而不是自变量）是非线性的。 --b4 y 区间。b1,L,b5的参考值为（0.1，0.05，0.02，1，2。表123456789 function123456789beta=[0.1,0.05,0.02,1,2]';%回归系数的初值,任意取的[betahat,r,