复解析带通滤波器复调制细化谱分析

复解析带通滤波器复调制细化谱分析

在工程信号分析中，需要在特定频率附近发现编码信号，以具有足够的频率分辨率。例如,齿轮箱的故障诊断要求准确分辨齿轮各阶啮合振动的主频和边频等,其频谱图上的频率间隔很细,但频带分布又较宽,为了识别谱图的细微结构,必须要求信号分析系统既要有高的频率分辨率,又要有较宽的频率范围。分析这类信号最有效方法是复调制细化谱分析方法,它是基于复调制移频的高分辨率傅里叶分析法,一般简称为ZOOMFFT(或ZFFT)方法。传统ZOOMFFT的细化倍数都比较低,而采用基于复解析带通滤器的复调制细化谱分析方法可以大大地提高细化倍数和运算速度。设采样原信号的采样频率为fs,N为一段FFT分析点数,D为细化倍数,基于复解析带通滤波器的复调制细化谱分析方法主要有以下三种方法:(1)采用复解析带通滤波器的宽度为fs/D,隔D点选抽一点、移频和作N点谱分析,频带(f1～f2)用N条独立谱线表示;(2)采用复解析带通滤波器的宽度为fs/2D,隔D点选抽一点、移频和作N点谱分析,其中只有N/2条谱线值反映频带(f1～f2)的频谱,其它N/2条谱线的值为零;(3)采用复解析带通滤波器的宽度为fs/2D,隔2D点选抽一点、移频、作N/2点谱分析,频带(f1～f2)用N/2条独立谱线表示。第2种方法具有计算量小、速度快、需要存放中间数据的内存空间小,由于复解析带通滤波器负频率部分的幅值为零,所以对滤波器的精度要求可以大大放宽,滤波阶数少,过渡带宽度甚至可以延升一倍,仍可以获得很高的滤波精度,具有不需要进行复杂的频率调整等优点,因而本文将详细讨论该方法的算法。1样频率的确定基于复解析带通滤波器的复调制细化谱分析第2种方法的原理在参考文献中已有详细论述,这里只研究其具体算法。设模拟信号为x(t),经抗混滤波、A/D转换以后,得到采样时间序列为x0(n)(n=0,1,…,DN+2M-1),M为滤波器半阶数,D为细化倍数,N为FFT分析点数,fs为采样频率,下面讨论具体算法:(1)确定分析频带。细化分析频带为(f1～f2),现将频带拓宽一倍。(2)为了保证选抽后不致于产生频混现象,须构造带宽为(f1～f2)的复解析带通滤波器,对选抽信号进行滤波。滤波器的冲击响应为h0(k)=h0R0R(k)+jh0Ι(k),宽度为fs/2D。(3)选抽滤波。为了提高速度,减少计算量,算法中将滤波和选抽有机地合为一体,先确定选抽点的位置为{m=M,M+D,M+2D,…,M+(N-1)D},用实部为偶对称、虚部为奇对称复解析带通滤波器h0(n)对样本信号x0(n)的选抽点作复解析带通滤波,选抽出N点。(4)复调制移频。将细化的起始频率移到零频处,移频量为ωe。(5)作N点FFT和谱分析,取正频率部分,不需要进行频率调整就可以得到具有N/2条独立谱线的细化频谱。经过几个处理步骤,分析所得最终结果,完全能反映出原数字序列在分析频带为(f1～f2)的频率范围内的频谱特性。2菲尔伯茨-复分析带的设计和影响因素2.1基于复解析带通带的过渡带设计复解析滤波器的理想幅频特性如图1所示,其中π对应采样频率fs的一半,通带为ω2-ω1,ωe为通带的中心频率。带通滤波器的设计思想是将带宽为ω2-ω1的低通滤波器通过移频ωe而得到的,其冲击响应函数通常需加Hanning窗(或其它窗函数)以改善通带的平坦度和止带的波纹效应,加Hanning窗之后冲击响应函数为h0R(k)w(k)=12πk[1-cos2πk/(Μ+1)]⋅[sin(2πf2fsk)-sin(2πf1fsk)]k=0‚±1‚±2‚⋯‚±Μ(1)h0l(k)w(k)=12πk[1-cos2πk/(Μ+1)]⋅[cos(2πf2fsk)-cos(2πf1fsk)]k=0‚±1‚±2‚⋯‚±Μ(2)移频前加Hanning窗的低通滤波器的频谱如图2所示,为看图方便,对通带和止带的波纹作了放大处理,且只画出通带区间(-ωc,ωc)的一半,另一半是对称的,其中,A点为通带内第一个上冲点,其值为1.006,B点为止带内第一个谷点。C点为理想通带边界,其幅值为0.5。AB段为过渡带,宽度为ωp,其中AC为内过渡带,CB为外过渡带,其宽度分别为ωpA=ωpB,B点开始止带滤波。第一瓣峰顶a1=-44dB,表示B点右边的最大幅值<0.01;a3=-62dB,表示D点右边的最大幅值<0.001,这可近似认为取绝对值后(图2虚线)第一个止带瓣的宽度都等于ωpB/2,D点以后完全不通,由ωc到B再外延一倍的外过渡带到D点,应可获良好的止带效果。滤波器的长度(阶数)为2M+1,也应是窗函数的长度,而窗函数长度与窗波主瓣宽度成反比,这样,滤波器半阶数M与过渡带宽度ωp的关系就是窗长与主瓣宽度的关系。在作N点加窗频谱分析时,汉宁窗窗长2M+1=N,归一化的频率分辨率Δω=2π/N,主瓣宽度为4Δω,旁瓣宽为Δω。现以2M代替N,则得到半窗长M(滤波器半阶数)与主瓣宽度ωp的关系式为ωp=4Δω=4⋅2πΝ=4⋅2π2Μ+1≈4πΜ(3)基于复解析带通滤波器的方法二是采用的宽度为fs/2D复解析带通滤波器,隔D点选抽一点,将分析带宽的起始频率f1移频至零点,作N点谱分析的方法,其中只有前N/2条谱线有值反映频带(f1～f2)的频谱,其它N/2条谱线的值为零。图3为此法D选抽后的过渡带设计示意图,为看图方便,将过渡带AB画成直线,且只画一侧,由周期性可知,0点与2π点的情形是一样的。B′B为频混区,由于滤波器设计边界在过渡带中点C,故需将通带设计边界由A延伸到D点,这称为通带设计边界外扩。如π≤ωa≤1.5π,则可使细化带(0,π)区间全在通带平直段内,这样可以省去细化谱两端的幅值修正。2.2滤波器的半阶数与细化个数的关系设选抽后的过渡带宽为ˉωp,对应于D选抽之前的过渡带宽度为ωp,由于选抽前的横坐标ω相对于选抽后的横坐标ˉω扩展D倍,对应过渡带值会压缩D倍(D细化倍数),有ωp=ˉωpD(4)令ˉωp=aπ(a＞0)(5)一般情况可取a=2/3～1。a为滤波器过渡带宽系数,也等于通带外扩系数。由式(4)、(5)和(3)得Μ=4Da(6)选定滤波器的外扩系数a,由式(6)即可得到滤波器的半阶数M与细化倍数D的关系。从以上的讨论可以看出,半阶数M与细化倍数D成正比,当D较小时,计算速度还比较理想,但当D较大时,计算量大幅度增加,此时应用二级滤波器算法。3基于算法的两级滤波器设计图4为二级选抽示意图,令细化倍数D=D1D2,D1、D2分别为第一、二级滤波器的选取抽比,图4(b)为D1选抽后的情形,为尽量减小第1级半阶数M1,将过渡带设计成极限状态,相当于D=D1单数选抽时外扩100%(即外扩系数a=1),由图4(a)可知,第1级滤波器过渡带宽度为ωp1=2πD1-ωA=2πD1-πD(7)由式(3)得第一级滤波器的滤波半阶数为Μ1={4πωp1}(8)上式中符号{x}为取不小于x的整数(上取整)。第一级滤波器通带外扩后的半宽度(图4(a))为ωD1=12(ωA+ωp1)=12(πD+2πD1-πD)=πD1(9)第二级滤波器设计(图4(c))中,取a=2/3,由式(6)并参照式(9)的推导有Μ2=6D2(10)ωD2=π2D2(1+23)(11)由图4(a)可知,第一级滤波器选抽时过渡带ωp1可以很宽,滤波器半阶数M1随ωp1的增大而下降,但是,第一级的选抽点数也要增加,为了第二级能输出N点,第二级输入点数也即第一级的输出点数就是ND2(暂不考虑滤波时两端的出头点数),为了和单级选抽进行工作量的比较,令归一化半阶数为ˉΜ=Μ1D1+Μ2(12)这表示二级选抽过程中要作ˉΜ次复数乘法才输出一点,以此作为计算量的数据,并令ˉΜ与D之比为Κm=ˉΜD(13)当总细化倍数给定时,可能有多种不同的D1D2组合,采用穷举搜索法进行优化组合,对不同的D1D2组合算出归一化半阶数ˉΜ,取ˉΜ为最小时的一对组合。如果D为质数不能分解,可将D+1后再行分解。表1是按式(7)～(13)对部分D值进行的选抽比优化组合。由表1可看出,D1与D2之比大约在2～10之间,随着D值的增大,系数M1/D1与ˉΜ/D2都趋近2,这就比单数选抽时的M/D=4～6要优越得多,而且滤波器长度更是大幅下降。以D=100为例,单级选抽(M=4D)时,M=400,在二级选抽时(表1)Μ1=45‚Μ2=30‚ˉΜ=255,由ˉΜ与M相比,二级选抽可提高速度近一倍,滤波器长度M1与M2的大幅下降可节省内存空间,这就是二级选抽的优点,其缺点是实现过程较复杂。由上述求得M1、D1与M2、D2,根据单级选抽中所述方法构造两个复解析带通滤波器。4模拟示例4.1fft测频算法利用计算机生成的理论信号为x(t)=cos(2π487t)+cos(2π489t)+cos(2π491t)+cos(2π493t)+cos(2π495t)+5cos(2π497.3t)(14)分析时采样频率为2048Hz,加Hanning窗,进行整型FFT变换,FFT点数N=1024,并进行三点卷积幅值校正,细化前、后的频率分辨率分别为2Hz和0.02Hz。图5(a)为不细化的频谱,由图可以看出,几个谱峰完全叠在一起形成了两个谱峰,加Hanning窗并进行三点卷积幅值校正,由于各频率成分的间隔小于2个频率分辨率,幅值也有很大的误差。图5(b)为采用本文提出算法,细化100倍,中心频率为491Hz,采用一级FIR滤波器,滤波半阶数为500,滤波频带外扩70%时的频谱,显然各频率成分与理论完全一致,其幅值误差都小于1%,幅值为5的497.3Hz频率成分产生混频成分的幅值也小于1%。4.2点卷积幅值校正利用计算机生成的理论信号为x(t)=cos(2π499.78t)+cos(2π499.92t)+cos(2π500t)+cos(2π500.12t)+cos(2π500.24t)+5cos(2π500.36t)(15)分析时采样频率为2048Hz,加Hanning窗,进行整型FFT变换,FFT点数N=1024,并进行三点卷积幅值校正,细化前、后的频率分辨率分别为2Hz和0.001Hz。图6(a)为未细化的频谱,由此图可以看出,几个谱峰完全叠加在一起形成了一个谱峰,加Hanning窗并进行三点卷积幅值校正,由于各频率成分的间隔小于0.5个频率分辨率,幅值也有很大的误差。图6(b)为采用本文提出的第二种方法,细化2000倍,中心频率为500Hz,采用二级FIR滤波器,一级滤波半阶数为206,滤波频带外扩100%,细化100倍,二级滤波半阶数为120,滤波频带外扩70%,细化20倍时的频谱。显然不考虑频率分辨率产生的误差时各频率成分与理论完全一致,其幅值误差都小于或等于1%,离得相当近的500.3Hz频率成分产生的混频成分的幅值也小于1%。根据上面的分析结果可知,采用一级滤波器细化100倍和采用二级滤波器细化2000倍时,甚至细化频带的边缘频率的幅值误差都小于1%,如不考虑频率分辨率产生的误差时细化后频谱的频率与计算机生成的理论信号频率完全相等,从而验证了本文提出的细化方法的正确性。在CPU主频为200MHz的微机上进行仿真,采用一级滤波器细化100倍时,进行一级细化分析仅需400ms;采用二级滤波器细化2000倍时,进行一段细化分析仅需4s,速度非常快。5复解析带频谱分析方法(1)深入细致地研究了采用复解析带通滤波器宽度为fs/2D、隔D点选抽一点、移频和作N点谱分析方法进行细化谱分析的算法,详细地阐述了实现算法和误差产生原因。与传统复调制细化谱分析方法相比,基于复解析带通滤波器的复制细化选带频谱分析方法具有节省内存、大幅度减少复调制移频计算量,可以有效克服滤波器过渡带带来的谱线精度的问题等特点。(2)设计合理