数学归纳法课件高二下学期数学人教A版选择性

4.4数学归纳法人教A版（2019）选择性必修第二册新知导入情景1：

有人看到树上有一只乌鸦，感慨道“天下乌鸦一般黑”这个结论正确吗？

情景2：

《田舍翁之子学书》（明朝刘元卿的《贤弈篇·应谐录》）即财主的儿子学写字.文中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”这个结论是否正确呢？

新知导入情景3：如果{}是一个等差数列，怎样得到

？

归纳可得

以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确。如何解决不完全归纳法存在的问题呢？新知导入

在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式

等，但并没有给出严格的数学证明.那么，对于这类与正整数n有关的命题，怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法.新知讲解探究

已知数列满足

，，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想.分析：

如何证明这个猜想呢？思路1：我们可以从n=5开始一个个往下验证.

一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证时不可能的.因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.新知讲解多米诺骨牌游戏这是一种码放骨牌的游戏.码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.

这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.多米诺骨牌游戏思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？

可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：

第k块骨牌倒下

第k+1块骨牌倒下.思考2：合作探究这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.合作探究思考3：

你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是

”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：

这样，对于猜想“”，由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；……，所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是

.

由条件容易知道，n=1时猜想成立.这就相当于游戏的条件（1）.

即n=k+1时猜想也成立

合作探究骨牌原理猜想的证明步骤（1）第一块骨牌倒下；（1）n=1时，猜想正确（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”.这句话是真实的（2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题根据（1）（2），所有的骨牌都能倒下.根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立

通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”的方法，这个方法就叫做数学归纳法.“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析合作探究数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.

这种证明方法称为数学归纳法，用框图表示就是：合作探究合作探究思考1：思考2：数学归纳法的第一步

的初始值是否一定为1？提示：不一定.如证明n变形的内角和为

，第一个值

.数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：（1）

为真；（2）若P(k)为真，则P(k+1)也为真.结论：P(n)为真.

第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k+1)也为真.

只要将这两步交替使用，就有为真，为真……P(k)真，P(k+1)真…….从而完成证明.合作探究例1.用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么

①

对任何都成立.分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立.第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果n=k时①式是正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.证明：（1）当n=1时，左边=，右边=,①式成立.（2）假设n=k时，①式成立，即

，根据等差数列的定义，有,于是

即当n=k+1时①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立.合作探究例2用数学归纳法证明：

②分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，②式成立”为条件，得出“当n=k+1时，②式也成立”的命题，证明必须用上上述条件.合作探究例2用数学归纳法证明：

②证明：（1）当n=1时，②式的左边=，

右边=，所以②式成立.（2）假设当时，②式成立，即

，在上式两边同时加上，有

即当n=k+1时，②式也成立.由（1）（2）可知，②式对任何都成立.

合作探究例3已知数列满足

，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.分析：

先将数列的递推关系

化为，通过计算的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想.解：由

，可得

由

可得

同理可得

归纳上述结果，猜想

③合作探究例3已知数列满足

，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当n=1时，③式的左边=，右边=，猜想成立.（2）假设当时，③式成立，即

那么

即当n=k+1时，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.

合作探究例4设

x

为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…

的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.分析：

该问题中涉及两个字母

x和n，x是正实数，n是大于1的正整数.

一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较与n的大小关系，并作出猜想；

另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过n取特殊值比较与n的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.合作探究例4设

x

为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…

的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解法一：由已知可得

当n=3时，，

由，可得.由此，我们猜想，当且时，合作探究下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.（2）假设当

时，不等式成立，即

由，可得

，所以

于是

所以，当n=k+1时，不等式也成立由（1）（2）可知，不等式

对于任何大于1的正整数n都成立.合作探究例4设

x

为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…

的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解法二：显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是

当n=2时，

，由，可得

；当n=3时，

，由，可得.由此，我们猜想，当且时，

合作探究下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.（2）假设当时，不等式成立，即,由，知

所以

又，所以，当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n都成立.课堂练习

3课堂练习2①欲证不等式成立，只需证

②用数学归纳法证明,在验证n=1时，左边所得项为

③“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数”以上三段论推理完全正确的个数是（

）A．0B.1C.2D.3解：

②

验证n=1时，左边所得项为，故推理正确③命题中大前提是：凡是自然数都是整数，小前提是：0是自然数，结论为：0是整数，其中大前提，小前提，结论都正确，故推理正确C课堂练习3用数学归纳法证明,则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（

）A.4k+1B．C．4(k+1)D．(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)解：当

n=k时，左侧=要证n=k+1时，左侧=可得当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上的项为(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)D课堂练习4已知数列的前n项和为，

且满足.

（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你对的猜想.解：（1）在中，令n=1，，解得，令n=2，，即

，解得

，令n=3，，即

，

解得

，令n=4，，即，解得

，故猜想课堂练习4