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文档简介
二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用用多项式近似表示函数泰勒(Taylor)公式第三章1特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x
的一次多项式第三章第三节
21.求
n
次近似多项式要求:故令则第三章第三节
32.余项估计令(称为余项),则有第三章第三节
4公式①称为的n
阶泰勒公式
.公式②称为n
阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当第三章第三节
5特例:(1)
当n=0
时,泰勒公式变为(2)
当n=1
时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差第三章第三节
6称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式第三章第三节
7*可以证明:公式③称为n
阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项
.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为④证明提示：见P183.188二、几个初等函数的麦克劳林公式其中第三章第三节
麦克劳林公式9其中第三章第三节
麦克劳林公式
1042246420246泰勒多项式逼近第三章第三节
1142246420246泰勒多项式逼近第三章第三节
12类似可得其中第三章第三节
麦克劳林公式13其中第三章第三节
麦克劳林公式
14已知其中类似可得第三章第三节
麦克劳林公式15三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差第三章第三节
16已知例1.
计算无理数e
的近似值,使误差不超过解:令x=1,
得由于欲使由计算可知当n=9
时上式成立,因此的麦克劳林公式为第三章第三节
17说明:
注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差为
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