2023学年完整公开课版垂径定理3

29.1.2垂直于弦的直径第29章圆？.温故知新1、填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是“

”，是

线，而不是“圆面”。（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的

，半径决定圆的

，二者缺一不可。（3）同一个圆的半径

相等。圆周位置大小曲处处圆的对称性2、圆是轴对称图形吗？

想一想驶向胜利的彼岸如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?圆的对称性圆是轴对称图形.

想一想驶向胜利的彼岸圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.3、什么叫做弦？连接圆上任意两点的线段叫做弦4、什么叫做弧？圆上任意两点间的部分叫做弧

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，

赵州桥问题情境主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE垂径定理：思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？（平分弦所对的________

弧。劣平分弦所对的_______弧。）优垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图:AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM垂径定理的推论●OABCDM连接OA,OB,则OA=OB.∴△OAB是等腰三角形∵AM=BM∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD所在直线对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.AE=BE,

由CD是直径CD⊥AB可推得⌒⌒AD=BD.⌒⌒AC=BC,CD⊥AB,由CD是直径AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.可推得ＤＣＡＢＥＯ几何语言表达垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.你学会了吗？？？一、判断下列说法的正误

1、平分弦的直线必垂直于弦2、垂直于弦的直径平分这条弦3、平分弦的直径垂直于这条弦4、弦的垂直平分线是圆的直径●OABCDM└例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。.AEBO讲解3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是

。8cmABOEABOEOABE1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,

那么圆心O到弦AB的距离是

。2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是

。二、填空小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解：因为如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒实践应用R-7.218.7赵州桥坚固的秘密赵州桥千年不坠，与它的周密构造及施工措施有关。他所有的石料，每块重约1000公斤，为了保证质量，都是经过精心挑选的。赵州桥距今已有1400年的历史，它经历了10次水灾，8次战乱和多次地震。1966年，赵州桥所在的地方有四点多余级地震，赵州桥却没有被破坏。著名桥梁专家茅以升说，先不管桥的内部结构，单看它能够存在1300多年就说明了一切。赵州桥美丽的传说赵州桥被誉为华北一宝，千百年来，在民间广泛流传着许多有关它的神话故事。昔日，河水浊浪翻滚，汹涌而下，两岸百姓只得靠木船摆渡。一天夜里，月光皎洁，木匠祖师鲁班，赶着白花花的羊群来到这里。瞬间，羊群化作各种各样的石头坐落在河中。鲁班借势挥锤动工，至拂晓时分，一座奇特壮丽的“赵州桥”身披晨曦，婷婷玉立于河之上。这一喜讯，立即轰动了百姓，也风传到仙界。“八仙”之一的张果老十分惊讶，约了柴王爷一同来试桥。张果老倒骑毛驴在前，驴背褡裢里装着日、月；柴王爷推小车在后，运载着五岳名山。行于桥中心，将桥压得摇摇欲坠。鲁班见势不妙，一纵身跳入水中，用手将桥托住，石桥安然无恙。桥身经过这样的重压，也就更加稳固。于是，桥面上留下了清晰的驴蹄印、车道沟；桥底留下鲁班的手印。正如民歌《小放牛》所唱的：“赵州石桥鲁班爷爷修，玉石栏杆圣人留；张果老骑驴桥上走，柴王爷推车轧了一道沟。”体会.分享说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！！！圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题。六、知识盘点平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，

AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.2cm或14cm2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。

AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决