全国高考理科数2卷精美解析

☆第6页共10页2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）理科数学2018.6.29本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（）A．B．C．D．1．【解析】，故选D．2．已知集合，则中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．42．【解析】，元素的个数为9，故选A．3．函数的图像大致为（）A．O11xO11xyO11xyC．O11xyO11xyO11xy3．【解析】，即为奇函数，排除A；由排除D；由排除C，故选B．4．已知向量满足，，则（）A．4B．3C．2D．04．【解析】，故选B．5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．5．【解析】离心率，所以，渐近线方程为，故选A．6．在中，，，，则（）A．B．C．D．输出是否结束开始输出是否结束开始由余弦定理得，故选A．7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A．B．C．D．7．【解析】依题意可知空白框中应填入．第1次循环：；第2次循环：；；第50次循环：，结束循环得，所以选B．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）18．【解析】（1）将代入模型①：（亿元），所以根据模型①得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元；将代入模型②：（亿元），所以根据模型②得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元．（2）模型②得到的预测值更可靠．理由如下：答案一：从折现图可以看出，2010年至2016年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线的上下，2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长．而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归直线的附近，这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的预测值更可靠．答案二：从计算结果来看，相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元，利用模型①得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．19．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，．（1）求的方程；（2）求过点且与的准线相切的圆的方程．xFOABy－119．【解析】（1）焦点为xFOABy－1联立方程组，得，令，则，．根据抛物线的定义得，即，解得（舍去），所以的方程为；（2）设弦的中点为，由（1）知，所以的坐标为，则弦的垂直平分线为，令所求圆的圆心为，半径为，根据垂径定理得，由圆与准线相切得，解得或．则所求圆的方程为：或20．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；PABCMO（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．PABCMO20．【解析】（1）证明：连接，，为的中点，，，，即，，又，则，即，PABCMOxyPABCMOxyz（2）由（1）知两两互相垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，令，．则，，令平面的法向量为，由，取，得易知平面的一个法向量为，所以，解得（舍去），即，因为，所以与平面所成角的正弦值为．21．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．21．【解析】（1）方法1：欲证明当时，，即证明．令，则，则为增函数，，得证．方法2：时，，则，令，则，时，，为减函数，时，，为增函数，所以，即当时，，为增函数，所以，因此，时，．（2）方法1：若在只有一个零点，则方程只有一个实数根．令，等价于函数的图像与直线只有一个公共点．又，时，，为减函数，时，，为增函数，所以，时，时．则时，在只有一个零点．方法2：若在只有一个零点，则方程只有一个实数根．令，等价于函数的图像与直线只有一个公共点．当直线与曲线相切时，设切点为，又，则，此时．x1Oy2又当时，，x1Oy2时，，为增函数，所以，且时，时．根据与的图像可知，时，函数的图像与直线只有一个公共点，即在只有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．22．【解析】（1）消去参数，得的直角坐标方程为；消去参数，得的直角坐标方程为；（的直角坐标方程也可写成：或．）（2）方法1：将的参数方程：为参数代入得：，即，由韦达定理得，依题意，曲线截直线所得线段的中点对应，即，得．因此的斜率为．方法2：令曲线与直线的交点为，则由得，其中．所以，即的斜率为．23