有限元方法10学时课件

电磁场中的有限元法

南京航空航天大学何小祥

电磁场中的有限元法1Outline有限元发展历史有限元的优点二维节点有限元（有限元处理过程）二维高阶节点有限元三维节点有限元方法三维高阶节点有限元方法节点有限元的缺点矢量有限元方法二维、三维一阶矢量基函数高阶矢量基函数有限元中的现代技术时域有限元方法有限元方程组求解-CGOutline有限元发展历史21、有限元发展历史1、有限元发展历史32、有限元的优点非结构网格-可以模拟任意形状的边界泛函的思想-利于复杂介质特性模拟2、有限元的优点非结构网格-可以模拟任意形状的边界4有限元处理过程边值问题等价泛函目标建模，网格剖分参数提取矩阵填充局部矩阵计算FEM方程组求解后处理技术差值基函数只需要在单元内满足精度要求有限元处理过程边值问题等价泛函目标建模，网格剖分参数提取矩阵5

U代表位函数或者某个场分量12一般计算区域比较复杂，积分不容易实现，采用整体基函数很难满足齐次边界条件，采用了广义变分原理3、二维节点有限元（有限元处理过程）

U代表位函数或者某个场分量12一般计算区域比较复杂，6xyo3PatranAnsys所需参数-坐标，单元编号，节点或棱边编号xyo3PatranAnsys所需参数-坐标，单元编号，74将波导横截面用M个三角形面元离散，则各面元中的u用线性插值函数表示为

积分区域变为三角形单元内思想、理解能量的概念54将波导横截面用M个三角形面元离散，则各面元中的u用线性8有限元方法10学时课件9物理含义123物理含义12310有限元方法10学时课件11参数提取优点参数提取优点12利用横等式可以获得局部矩阵的解析解利用横等式可以获得局部矩阵的解析解136614单元一、节点2.4.1方程组矩阵填充7（1）（2）（3）单元一、节点2.4.1方程组矩阵填充7（1）（2）（3）15单元二、节点2.4.5单元二、节点2.4.516单元三、节点3.5.2单元三、节点3.5.217单元四、节点4.5.6单元四、节点4.5.618单元节点与相邻单元节点必须吻合，过程中使用到各个单元中节点局部编号与整体编号的关系，列向量等可以如上进行填充最后形成的系数矩阵是一个对称的稀疏矩阵单元节点与相邻单元节点必须吻合，过程中使用到各个单元中节点局19

可导出线性代数方程组由此方程解出本征值和对应的本征矢。98

可导出线性代数方程组98204、二维高阶节点有限元当插值函数为高次多项式时，用自然坐标表示的单元4、二维高阶节点有限元当插值函数为高次多项式时，21有限元方法10学时课件22有限元方法10学时课件23一阶基函数二阶基函数一阶基函数二阶基函数24三阶基函数三阶基函数25有限元方法10学时课件26

经过化简其中可以事先制定成表格，程序中调用经过化简其中可以事先制定成27波型(m)0.0460.0230.0200.01829解析解(m)0.0460.0230.0200.01834误差0.02%0.35%0.08%0.26%波导尺寸为10mm*23mm。分格数为4*3，应用2阶FEM分析得到特征值如下，三角单元总数为24，场节点总数为63波型(m)0.0460.0230.28谐振腔尺寸为12mm*28mm时，应用FEM进行分析，划分网格数为5*4，三角单元总数为40，场节点总数为99。波型(m)0.0560.0280.0240.02204解析解(m)0.0560.0280.0240.02207误差0.11%0.15%0.25%0.15%谐振腔尺寸为12mm*28mm时，应用FEM进行分析，划分网29特征值特征值30计算误差计算误差31有限元方法10学时课件32有限元方法10学时课件335、三维节点有限元方法5、三维节点有限元方法34有限元方法10学时课件35有限元方法10学时课件366、三维高阶节点有限元方法略6、三维高阶节点有限元方法略377、节点有限元的缺点标量有限元法的缺点：计算结果中会出现不易辨别的非物理解或伪解；在介质分界面或导体表面不易强加边界条件；由于场存在奇异性，处理导体及介质边缘和棱边有困难。7、节点有限元的缺点标量有限元法的缺点：389二维矢量有限元方法9二维矢量有限元方法39有限元方法10学时课件40有限元方法10学时课件41有限元方法10学时课件42有限元方法10学时课件4310三维矢量有限元方法10三维矢量有限元方法44有限元方法10学时课件45有限元方法10学时课件46有限元方法10学时课件47有限元方法10学时课件48有限元方法10学时课件49有限元方法10学时课件50有限元方法10学时课件51有限元方法10学时课件52有限元方法10学时课件53有限元方法10学时课件54矢量有限元性态差矢量有限元性态差5511、高阶矢量基函数

略11、高阶矢量基函数

略5612、有限元中的现代技术PMLMethod12、有限元中的现代技术PMLMethod57有限元方法10学时课件58DDMMethodDDMMethod59FEM-BIFEM-PO，IPOetc.FEM-BI6013、时域有限元方法13、时域有限元方法61(一)研究背景时域数值方法时域有限差分法(FDTD)传输线矩阵法(TLM)时域积分方程法(TDIE)时域有限元法(TDFEM)多分辨率时域技术(MRTD)其他时域伪谱方法(PSTD)(一)研究背景时域数值方法时域有限差分法(FDTD)传输线矩62TDFEM研究现状J.M.Jin洪伟金亚秋南京理工大学电子科技大学南京航空航天大学TDFEM研究现状J.M.Jin洪伟金亚秋南京理工大63(二)理论分析对于一般的时变场，在电流源激励下，Maxwell两个旋度方程为：由上述两式可以推出关于H的矢量波动方程：(二)理论分析对于一般的时变场，在电流源激励下，Ma64该矢量波动方程的等价泛函为：该矢量波动方程的等价泛函为：65使用非结构网格离散计算区域，使用矢量基函数Ni(ρ)对各个单元内的磁场H进行插值：在完纯导体表面满足第二类边界条件：使用非结构网格离散计算区域，使用矢量基函数Ni(ρ)66应用里兹方法进行处理，最终可以得到常微分方程：其中，应用里兹方法进行处理，最终可以得到常微分方程：67采用恒稳的Newmark方法离散时间步，得到如下差分方程：其中，△t为时间步长，β为Newmark离散参数，un+1为n+1时间步的待求向量，un，un-1是n,n-1时间步的已求向量采用恒稳的Newmark方法离散时间步，得到如下差分68(三)数据分析其中中心时间t0=25.9ns，脉冲宽度τ=4ns观察点在xyo1m(40)1m(40)(三)数据分析其中中心时间t0=25.9ns，脉冲宽度τ=469图1空谐振器中的磁场响应曲线图1空谐振器中的磁场响应曲线70图2部分介质加载谐振器中磁场响应曲线

xyo0.55m0.45mεr=9.0图2部分介质加载谐振器中磁场响应曲线xyo0.55m0.71图3部分介质加载谐振器中响应频谱曲线

0.14038GHz0.20142GHz图3部分介质加载谐振器中响应频谱曲线0.14038GHz72图4全部介质加载(εr=2.25)时磁场响应曲线图4全部介质加载(εr=2.25)时磁场响应曲线73图5全部介质加载时磁场响应频谱曲线

0.14038GHz0.22583GHz0.28076GHz0.31128GHz0.36011GHz图5全部介质加载时磁场响应频谱曲线0.14038GHz074模式精确值(GHz)仿真值(GHz)误差(%)TM110.141420.140380.735TM210.223610.225830.993TM220.282840.280760.735TM130.316230.311280.125TM230.360560.360110.125模式精确值(GHz)仿真值(GHz)误差(%)TM110.175图6CG收敛曲线对比图6CG收敛曲线对比7614FEM求解器-CG14FEM求解器-CG77有限元方法10学时课件78等同于最小余量法了一般频域FEM的系数矩阵不具备自伴性等同于最小余量法了一般频域FEM的系数矩阵不具备自伴性79位了求解（11.53）泛函位了求解（11.53）泛函80得到如下线性方程组但是一、基函数p未知，二、我们为了求原来的方程组，必须求解新的方程组，无意义得到如下线性方程组但是一、基函数p未知，二、我们为了求原来的81有限元方法10学时课件82有限元方法10学时课件83初始剩余向量向量系数构造新解构造新的剩余向量构造新的基函数向量初始剩余向量向量系数构造新解构造新的剩余向量构造新的基函数向84CommentsonCG