微积分上60课时第五章

一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题第二节换元积分法问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元积分法定理第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为注意：观察点不同，所得结论不同.定理1定理F(u),解法1解法2解法3例1求解我们注意到这样在解题上中间变量也可不设出例2求解被积表达式被凑成一复合函数与其中间变量微分的乘积。

使用第一换元积分法求不定积分的关键是，首先要把被积表达式看成某一复合函数与该复合函数中间变量的微分的乘积，用中间变量作为积分变量换元，并要求换元后的被积函数的原函数存在，从而求出积分结果。

但在实际中，被积表达式并非恰好是复合函数与中间变量微分的乘积，从而要求我们将被积表达式凑成复合函数与中间变量微分的乘积，这正是解决问题的关键，也是凑微分法求不定积分的基本思想。

用凑微分法求不定积分常用到下列凑微分公式,须熟练掌握之。常用的凑微分公式(式中a,b,c均为常数，且a≠0)1234567981013141112例3求解例4求解例5求解原式例6

求例7求解原式例8求解原式例9求解原式解原式例10求例11求解原式类似地，有例12

求解例13

求解解原式应用凑微分法计算积分时，有时需先将被积函数作适当的代数式或三角函数式的恒等变换，再用凑微分法求不定积分。例14求解原式例15求解原式例16求类似地，有例17

求解（一）解（二）类似地可推出例18

求解例19求解原式=例20

求解例21

求解例22求解原式=例23求解原式=例24

求原式例25求解原式计算形如的积分（1）若m,n中至少一个是奇数时，当m为奇数，将sinxdx凑成-dcosx，并把被积函数化为关于cosx的多项式函数；当n为奇数时，将cosxdx凑成dsinx，再把被积函数化为关于sinx的多项式函数；按幂函数计算不定积分。（2）若m,n均为偶数，用半角公式降幂后再逐项积分。例26

求解降幂拆项例27

求解例28

求解例29求解例30

求解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法

当不易求出时，有时可以考虑设得,代入原不定积分得存在原函数，且便于求出，则有如下换元积分定理若定理2

设

是单调的可导函数，且存在原函数，则有换元积分公式若其中是的反函数.证设为的原函数,令则即第二类积分换元公式例31

求解法一设解法二例32

求解令例33

求解令解令例34

求说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是消去根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令

积分中为了消去根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例35

求（三角代换很繁琐）令解说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换例36

求令解例37

求解令（分母的阶较高）说明(4)当被积函数含有(根式代换法)例38求解设原式则代入得例39

求积分解令例40

求解令说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例41

求解令例42

求积分解令注意无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.说明(6)当被积函数含有例43

求解说明(7)