gct专项提高数学第四章一元函数微积分

GCT数学 sin lim 1 li1 x 1cos

ln(1

f(x)gf(x)

f(x)cgsinx，xf(x) yf yf lnyg(x)lnf解：令x1 得ftt121t22t ，故fxx22x2已知f(x)

x1, g(x)x

x2,求x2.

g(f(x))4f2

f(x)

4f2(x)

x解

f(x)

x已知f(exsinxcosxf(xf(ex))f(ex)ex(sinxcos所以f(ex(sinxcosexsinxf(xxsin(lnx 设xf(x)dxarctanx 1dx xf(x)dxarctanxxf(x)

1x dxx(1x2)dx1x21x41因此f 1已知f(x)x2ex10

f(x)x2 1f01f(x)dx1x2dx1exdx1f(x)dx1(e1)1f所以 1f(x)dx f(x)x2 因此 3(2 3(2

12

1x2 解：因为对任意的x(,)，f(x)ln(x 1x2)都有定义， 1x2x2(1x2ln(x

1x2所以f(x)ln(x 1x2)是奇函数x3．研究函数f(x)ln(t xxx(,)f(x) 1t2x解：因为对任意 0f(x)xln(t 1t200xln(u 00x 0x0ln(ux

1u20所以f(x)xln(t 0 2

．．1 22limx22limxsinx01 4

|x|

x

x0

1 1 ex x 2

sinx

2

sinx21 x4

lim 4 x01

|x|

x01 x x(x21)的间断点及其类型答案：x0，跳跃型；x1，可去型；x1已知函数f(xlimx2n1ax2bx在(,上连续，求a,bn x2n 1

xxx

1(ab1),(ab1),

ax2

xlimf(xlim11limf(xlim(ax2bxax x1 limf(x)lim(ax2bx)ablimf(x)lim1 x xx1

a

a0,b

x1x 在x1 x

(x1)

x x

x

x

xx2sin1x设f(x) 在x0可导，则a,b满足 x（A）a0,b （B）a1,b a为任意常数，b=0 e1cosx若k

a0k与akx0tan(xk

e1cosx 1cos x0k2,a

x

x0

af(x)

ln(1t)dtx0时，下列函数中与f(x)0无穷小的是 ACx4

BDx2ln(1 1lim k4,a

x0akxk得 确定a,b的值，使limsinxax

1 所以limsinxax

2b

12

2 dt 2所以

x0sin ax

1 x0cosxa1 1设f(x)xet2 ，求limf(xh)f(x h lim f(xh)f(xh) f(xh)f(xlim h h h

e(xh)]

h)

．h 解：f(xh)f(x [f(xh)f(x)][f(x)f(x f(xh

h0点某邻域内可导，且当1

0f(x)

f(02lim(12f(x))sinx li(1x x 2f(x)

x

e4已知f(x

sinx

x 求

ff(x

x

xf(0limf(xf 4x3sin1x2cos x 1．yln(arctanx) arctanx1已知函数yy(x)由eyexxy0确定，求曲线yy(x)在x解：由eyexxy0得eyyexyxy当x0时，得y(00,y(0)1yx,y lnx 1ln 11lnyxxlny ，y ，yxx 例如：求函数y 1

y x1,x (1x2

0得 。x11是极小值点，x21是极大值点

x (xx

arctan(x1) x22x 证明：因为arctan(x1) (11 1 arctan(x1)x(xx22x x

，则f(x)1ln

0,xe，所以当eabf(b)f(a)，即lnblna，故ab (ea （3）证明1ln32lnx2ln2x11x 证明：令f(xlnx2ln2x，由f(x22lnx0，得xe f(10f(e1,f(3e1ln2

11ln23，从而有1ln32lnx2ln2x11x

uF(0)所以F(u) ua故f(x)dxa

f(a)

f(a)

y f1(y)dy f axf(x)dxxf(x)a a 所以af(x)dx

x33xA0解：令f(x)x33xA，由f(x)3x230得x1,x1 f(1A2f(1A2．limf(xlimf(x，所以： A20时，原方程只有一个实根，位于1,A20时，原方程有两个不同实根，一个为-1，一个位于1,A2A2

a,b为何值时，点(1,3可能为yax3bx2的拐点，此时函数的凹凸性如何？6a2b解得a3b 由于y

)(1,3是yax3bx2

limx

x f(x)1 x f(x)x

x01cos

，所以 附近1cos f(x0，因此x0不是f(x九、不定积分（凑法、分部积分法f(x的一个原函数为ex，求

，

1f2(x)2

2x2e2x2xf(x)dxxf(x)f(x)dx2x2ex2ex2(sinxcos(sinxcosx)exdxsinxexdxcos解：exsinxcosxexdxcosexsinx1ex2ln1ex2lnxdxx2ex3dx

d(x3)

1ex3 11

1ex dx 1

1

)dxx

1exxln(1ex)

x xln(1e)或1 1解：ln(lnx)dxxsin(ln

ln(lnx)d(lnx)lnxln(lnx)lnxxsin(lnx)xcos(lnx)

xxsin(lnx)1x所以sin(lnx)dxx(sin(lnx)cos(lnx))2

1

xdx

xdx

cosxdx1已知1

1

1 1已知A

dt，求0

dt 1 dt1 解：0(1 1

01 1例如：已知f(x)x2ex1 ，求1

， 2ex1f(x)dx解：因为f(x) 1 1f(x)dxx2dx0exdxf(x)dx (e1)1 1 因此

3(2

f(x)x2 e3(2 已知函数yy(x)由方程1et2dt sinxcost2dt

sin1et2dt cost2dt dy所以

cosxcos(sinx)2因此

x

2求极限

0

．

x 1cos (e

lim lim 0 1cosx

x0sin x0sin

0

1

f(u)x

F(x)

x2

1

10110

0解：xf(x)dx0

x2f(x)1

1x2f 112x3ex42

2(11(4例如：求函数f(x)

解：由f(x

x(x21)0，得x1

0,x

当1x0时，f(x)0，f(x)单调增加1 1是f(x)的一个极小值点；当0x1时，f(x)0，f(x)单调减小x20是f(x)的一个极大值点；当x1时，f(x)0，f(x)单调增加，x1是f(x)的一个极小值点．十二、定积分的几何应用问题（面积与旋转体的体积求由yexy0,x0yex在x1 解：y 在x1处的法线方程为ye

e(x1)，此法线与

(e21,0

e Sexdx e3e V1ex2dx1e2e21(e21)1 求曲线ylnx,2x6)的一条切线，使该切线与直线x2,x及此曲线段所围平面图形的面积最小 解：曲线ylnx(x,lnx)处的切线方程为yln

x(xx00

lnx(x0,lnx0)处的切线与直线x2,x61 6[lnx

(xx)lnx]dx4lnx166ln62ln0 4 0

x由S(x)0，得x x4时，S(x0x4时，S(x0，所以S(4)

yln4

1(x4（2005）fx的定义域是0,1gxA.xB.0x

fsinx f1cosx的定义域是 C.x 1x D.0.5x

得0sinx1,解得0.5x10sinx01cosx

1cosxx2

，xx

，则f(x)在点x0处 x（极限、连续、导数定义2．（2003）如果f(xx0处可导，f(x0

x)f(x0x

A．等于f(x0) B．等1．C．等于 D．不

3（2005 B.1n

f(0)limf(1)lim2 f(n)ff(0)lim 2n nC．

nf(a14．（2006）f(x)

n n A. B.

D.f(a1 lnf(a1)ln n n

是复合函数ylnf(x

． 样．C．甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样．*D．甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一极限limsinax ](b0)．（极限运算x0sin x1极限limexex2x x xsin设函数yeax，则y(n) 设函数yln(1x2)，则y(0) (x),为 3*43

4113

4 A．0B．C．D．3

0A．1C．3D．

xsinxcosx的实根个数 3,0)区间上ln3xln(3x)3,0)区间上，ln3xln(3x)ln

ln(31

4

1 3 3又f(0) ，所以在(3,0)区间上，有f(x)f(0)0，即ln3xln(3 limfxafD.f

0x5．（2006）曲线y(x1)2(x2)21x

2(x1),0x

3(x1)22(x1),1x 易知x ,x

由于y

6(x1)2,06(x1)2,1

xxy 不存在，易判断经x y 不存在，易判断经 rh 2B.分析：圆锥体积为V1r2h1h(52h2

h23

r252h23

r，故h 分析：由图可知，前两年Pf(t)的图像上凸，二阶导小于零，一阶导单减；后五年Pf(t)的图像下凸，二阶导大于零，一阶导单增。

f(x)dx exlnxdx ]C（

3．（2003）设I0sin(cos BI0C0I D．I 分析I0sin(cosx)dx1sint dt 1t2

1

0f(xsinx)sinxdx 00,f(xsinx)sinxdx1f(xsinx)xcosxdx005（2005 A.2x3lnx1x3 B.2xx2lnxC.x2lnxx2D.x2lnxx2

的一个原函数则不定积分xf 分析：由于f(xx2lnx2xlnxx,f(x)dxx2lnxC以xf(x)dxxf(x)f(x)dxx2lnxx2C 6．20062在x 0

tdta

0根的个数为 A. B.xC. D.x

t2dt

dt0,