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文档简介

四、小结

第二节数量值函数的曲面积分

(第一类曲面积分)一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法三、几何与物理意义概念的引入实例

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:

设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质量M.

“分割,近似,求和,取极限”

的方法,其中,

表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).1.定义对面积的曲面积分的定义据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面

上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若

是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面•对称性(2)若

关于x,y,z具有轮换对称性，则(x,y

不动,考虑z

的情况)

1为在xoy面上半部分例1解思考:

若例1中被积函数改为计算结果如何?例表示什么?定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在

上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分“一投,二代,三变换”曲面面积的计算法Dxy(柱面面积)回顾若光滑曲面方程为则有若光滑曲面方程为则有同理可得设光滑曲面故有曲面面积公式说明:1)二重积分是否看作第一类曲面积分的特例?是!可从物理意义来解释:二重积分可表示为平面型构件的质量,第一类积分可表示为曲面型构件的质量.可有类似的公式.2)如果曲面方程为则按照曲面的不同情况：则则注：把积分曲面投影到哪个坐标面上，取决于积分曲面方程的表达式。例1解则解依对称性知：,

令

例3解(底面)(顶面)(侧面)()

1,2的(对称性)解有例4三、几何与物理意义曲面形构件的质量为(4)曲面的质心坐标综述P175解1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用对称性、重心公式、(球面坐标、柱面坐标)简化计算的技巧.对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.四、小结思考题

在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.思考题解答是曲面元的面积,故是曲面法向量与z

轴夹角的余弦的倒数的绝对值.1.求椭圆柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的侧面积S.解:

取课后练习课后练习答案附注:数量值函数在几何形体上的

积分及其应用综述１.概念函数f(M)在J上的积分f(M)是在J上的有界数量值函数,课后参考

对称性2.几何应用平面区域面积

空间区域的体积线段长度曲线弧长平面曲线弧微分曲面面积柱面

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