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9.2.1正项级数及其审敛法9.2常数项级数的审敛法9.2.2交错级数及其审敛法9.2.3绝对收敛与条件收敛9.2

常数项级数的审敛法

9.2.1正项级数及其审敛法正项级数.定理9.2.1(充要条件)这种级数称为其部分和数列{sn}为单调增加数列.定理9.2.2(比较审敛法)证明即部分和数列有界不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.解(2)定理9.2.3比较审敛法的极限形式设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论,得证.(2)(3)的证法相同。故原级数收敛.(3)所以原级数发散。所给级数收敛。证明定理9.2.4(比值审敛法,达朗贝尔D’Alember审敛法)收敛发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:例4

判断下列各级数的敛散性解（1）（2）则级数收敛。(2)

比值法失效。所以原级数收敛。

注意用比值法失效,一般用比较法.定理9.2.5(根值审敛法,也称柯西判别法）对于正项级数证明(i)当ρ<1时，取一适当小的正数ε，使ρ+ε=r<1。由极限定义，存在m，即有(ii)略(iii)ρ=1时，仍以p-级数为例则当ρ<1时级数收敛，当ρ>1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

当n≥m时有不等式，例5

判别下列级数的敛散性解例6

判别下列级数的敛散性方法：拆成两个级数，收敛方法：根值法，发散方法：比较法，收敛总结:

称形如：u1－u2+u3－…+(－1)n-1un+…定理9.2.6(莱布尼兹定理)证明k=1，2，…)的级数为交错级数.或－u1+u2－u3+…+(－1)n-1

un+…(2)un→0(n→∞)(1)un≥un

+1；满足条件9.2.2交错级数及其审敛法(其中uk>0,由前一式知{S2n}单调增加，由后一式知S2n<u1。由数列判敛的单调有界准则知:它也满足收敛的两个条件，于是有右端也是一交错级数，注意单调减少不是交错级数例7

交错级数收敛收敛的必要条件。例8

判断解显然原级数为交错级数，记则un单调减且un→0(n→∞)，依莱布尼兹定理，原级数收敛。

下面讨论一般项级数u1+u2+u3+…+un+…其中un为任意实数。

定理9.2.7证明令另一方面，un=2vn－|un|，于是依正项级数的比较审敛法，进而知显然有0≤vn≤|un|。9.2.3绝对收敛与条件收敛也收敛。定义9.2.1的依据是>1，此时un不趋于0(n→∞)，不满足级数收敛的必要条件。注意但如果我们是用比值法或根值法判定这是因为这两种审敛法判定级数发散

例9

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