梁弯曲时位移计算与刚度设计课件

第七章梁弯曲时位移计算与刚度设计本章重点

1、积分法求梁的变形

2、叠加法求梁的变形

3、静不定梁解法

4、梁的刚度设计§7-1积分法求梁的变形

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。

例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。一、挠曲线近似微分方程

1、挠曲线挠曲线2、挠度和转角

规定：向上的挠度为正逆时针的转角为正

挠曲线方程：转角方程：挠度y（f）：横截面形心处的铅垂位移。转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。3、梁的挠曲线近似微分方程

曲线的曲率为梁纯弯曲时中性层的曲率：梁的挠曲线近似微分方程:式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定二、积分法求弯曲变形

约束对位移的影响没有约束无法确定位移

约束对位移的影响连续光滑曲线，铰支座对位移的限制

约束对位移的影响连续光滑曲线，固定端对位移的限制光滑连续条件：PC例1：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θAθB例2：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P

作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。

解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θB例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。

解：由边界条件：得：由对称条件：得：AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。

解：由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续条件：由边界条件：由对称条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求A端的挠度解：ABP2IICAC段xCB段由边界条件：由连续条件：得：AC段挠度方程为：令得

（）§7-2叠加法求梁的变形

在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。

当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。例6：用叠加法求qPmABCl/2l/2解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加

（）（）（）mABCqPl/2l/2ABCql/2l/2ABCPl/2l/2ABCml/2l/2逐段刚化法变形后：AB AB`BCB`C`变形后AB部分为曲线，但BC部分仍为直线。C点的位移为：wc例7：求图示外伸梁C截面的位移。laCABP解：将梁各部分分别引起的位移叠加ABCP刚化EI=

PCfc11、BC部分引起的位移fc1、θc1θc12、AB部分引起的位移fc2、θc2CABP刚化EI=

fc2θB2PPaθB2例8：已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠曲线在处出现一拐点，则比值

为多少？

解：由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：拐点：曲线凹与凸的分界点例9：欲使AD梁C点挠度为零，求P

与q的关系。qPACBDaaa解：qPACBDɑ

ɑ

ɑqACBDɑ

ɑ

ɑPACBDɑ

ɑ

ɑPPɑACBDɑ

ɑ

ɑ例10：若图示梁B端的转角θB=0，

则力偶矩m

等于多少？

PmACBaa解：PmACBɑ

ɑ

PACBɑ

ɑ

mACBɑ

ɑ

例11：求图示梁C、D两点的挠度fC、fD。qqACBDa

a2a

解：qqACBDɑ

ɑ2ɑ

qqACBDɑ

ɑ2ɑ

例12：求图示梁B、D两处的挠度fB、fD2a

a

aq2qaACBD解：qa:B处约束力qABqɑ2qɑCBD2ɑɑɑq2qɑACBD例13：用叠加法求图示变截面梁B、C

截面的挠度fB

、fC

。PEI2EIaaABC解：EIC2EIABɑɑPCEIBPEIP2EIABPPɑ例14：用叠加法求图示梁C端的转角和挠度。PaaaABCqa解：P=qaP=qam=qɑ²/2ABqCBP=qaqABCaaa例15：用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和B点的转角θB（k为弹簧系数）。

qABCEIkl

/2l/2解：弹簧缩短量kqEIl/2l

/2ABCqkABCq/2ABCq/2q/2ABC例16：图示梁B处为弹性支座，弹簧刚度

求C端挠度fC。

qEIka2aABC解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为qka2aABCqka2aABCqka2aABCEI例17：图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力P作用。已知该杆各段的横截面面积均为A，抗弯刚度均为EI。试按叠加原理求截面C的水平位移和铅垂位移。ACBPaa解：ABaPM=PaBCPaABaPM=Pa()()()BCPa()水平位移：()铅垂位移：()AlBq§7-3静不定梁的解法

用“多余”反力代替“多余”约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。

基本静定系可不止一个l

qABqABRBqBAMA例18：求图示静不定梁的支反力。

qABl

解法一：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：ABql

ABqRB

解法二：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：ABql

qBAMA例19：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，

用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求

(1)二梁接触处的压力；

(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；

(3)加固前后B点挠度的比值。PABCDaa解：(1)变形协调条件为：(2)(3)自行完成！PBACDRDD如何得到？例20：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。

qABCaa解：变形协调条件为：其余自行完成！！！qABBCRB例21：图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。PABCDa解：变形协调条件为：DaCPABC§7-4

能量法

在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即(功能原理）能量法：从功和能的角度出发，分析杆件的内力、应力和位移。一、杆件应变能计算1、轴向拉伸和压缩l

ΔlPA2、扭转当T=T(x)或截面变化A=A(x)时，可取微段：ml

3、弯曲纯弯曲：横力弯曲：mmmmθθθ结论：1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最终值：其中：P-----广义力

-----广义位移拉、压：扭转：弯曲：组合变形

截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。注意：上式中各项是对内力分量平方的积分，故恒为正值。且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用叠加原理。

弹性变形的最终状态仅与荷载的终值有关，因此，弹性变形能的计算与加载次序无关。例22：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度。xAPBl

解：xAPBl

例23：试求图示梁的应变能，并利用功能原理求C截面的挠度。PABCablx1x2解：PABCabl

x1x2二、卡氏第二定理

对于线弹性体，其应变能对某一荷载的偏导数，等于该荷载的相应位移。

用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取附加力法。例24：抗弯刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。BAlBAl解：A