第4讲-利率风险及其度量

固定收益证券分析本科生课程吴文锋2现金流贴现率定价风险管理寻求套利金融创新第四讲：利率风险及其度量要点：（1）利率风险的度量（2）久期与凸性（3）资产负债管理3讨论的问题利率风险有多重要？利率风险影响有多大？如何避免利率风险的影响？45第四讲债券的利率风险及度量投资回报率与风险分析利率风险度量久期与凸性6到期收益率持有到到期日、再投资收益率等于YTM只是价格指标，判定定价是否合理能否给出某个债券的投资参考问题：如何做债券投资，买长期还是短期？买进债券之后，如何分析投资回报？4.1投资回报率分析与风险概述7(1)持有收益率和投资回报率持有收益率HPRholdingperiodreturn,horizonreturn,totalreturn,realizedcompoundyield.HPRis债券持有期间的投资收益率其大小取决于债券资本利得与再投资收益。8投资债券收益的来源1.利息支付2.利息收入的再投资收益(再投资风险)3.资本利得或者资本损失(价格风险)9例子：投资$1000于7年期票面利率9%（半年付息），面值交易的债券。则到期收益率9%(bondequiv.basis),半年4.5%。假设收到利息的再投资年收益率也为9%(b.e.y)问题：

7年后的总收入为多少？这7年的投资收益率为多少呢？10由于票面利率等于到期收益率，也等于再投资收益率另外，持有到到期日所以在到期日的累积收入相当于：这七年的投资回报率等于：年均投资回报率为：11总收入分解(1)利息及其再投资收入：到期日454545……12利息及其再投资收入852中：纯利息收入：45*14=630

利息的利息：852–630=222(2)资本利得：持有到结束，所以最后价格为本金1000，等于期初的投资额1000，所以，资本利得为0(3)总回报：纯利息630+利息再投资收入222+资本利得0=85213Example2:假设现有$816，投资于期限20年，票面利率7%（半年支付），价格$816($1,000面值)，到期收益率9%.假设利息的再投资收益率等于9%(b.e.y)问题：

(1)20年末到期日时的总收入为多少呢？

(2)20年的总投资回报率？

(3)年平均投资回报率？14总回报的分解1、利息及其再投资收入：2、利息的利息$3,746-40($35)=$2,3463、资本利得$1,000-$816=$1844、总结：总利息=$1,400

利息的利息=$2,346

资本利得=$184

总收入=$4,74615Example3(在到期日之前出售):投资于3年期，票面利率7%（半年付息）的债券，价格为$960.33($1,000面值)，该债券的到期收益率为8.53%(b.e.y.)。投资者打算2年后卖掉该债券。问题：期望年均投资回报率为多少呢？16t(期限) 即期收益率单期远期利率f(t-1,t) 0.5年3.25%*23.25%*2=6.50％

1年 3.50%*23.75%*2

1.5年 3.70%*24.10%*2

2年 4.00%*24.91%*2

2.5年 4.20%*25.00%*2

3年 4.30%*24.80%*217181.求2年后债券的卖出价格:

所以投资者预期资本利得为:

$973.90-$960.33=$13.572.求累积利息:

$35(1.0375)(1.0410)(1.0491)+$35(1.0410)(1.0491)+35(1.0491)+$35=$149.603.总预期回报金额

=$13.57+$149.60=$163.1719年均投资回报率：问题：

为什么会比到期收益率8.53%小呢？20Example4:投资者作1年期投资，准备购买20年期6%票面利率的公司债券，发行价格为86.4365，到期收益率7.3%，1年后出售。假设发行在外的20年国债的到期收益率为6.5%，而且即期收益率曲线是平坦的(Flat)假设持有期内的利息的再投资收益率为6.0%而投资者预期即期收益率曲线在1年后会下移35bp，而且保持平坦，公司债券与国债之间的利差则增加10bp问题：预期的投资回报率为多少呢？21(1)利息及其再投资收入：

3*(1+6%/2)+3=6.09(2)1年末的债券价格：

19年期的到期收益率变为：6.50%-0.35%+(7.3%-6.50%+0.1%)=7.05%19年期债券按照7.05%贴现，价格为：89.0992(3)投资回报率：

(6.09+89.0992–86.4365)/86.4365=10.13%22投资回报率分析总结：(1)确定利息收入的未来收入C=利息支付（半年）n=至偿还期或者出售债券时利息支付次数r=半年基础上的再投资收益率23其中一部分为纯利息收入：nC.(2)所以，利息的利息为：(3)最后计算资本利得：24(2)债券投资风险概述债券投资收入纯利息收入利息再投资收入资本利得Pn–P0Reinvestment*YieldCurve*SpreadInterestrate*ExchangerateCreditLiquidityCall,PrepaymentInflationPoliticalEvent25ReinvestmentRisk•Thisriskisgreaterforthoseinvestorswhodependonabond’scouponformostoftheirreturn•Minimizedwithloworzero-couponbondissuesorwhentimehorizonsareshort例外：如果刚好需要拿利息另有所用的，就不用考虑这个风险26再投资收益率风险分析假设一个投资者正在考虑选择一个合适的债券期限。如果他选择的期限过长，他会担心市场利率上升引起债券价格的过大幅度的下降，这对他当然是不利的。但是，期限过短，同样存在问题，一是一般来说期限较短的债券收益率较低，二是到期后，他还面临再投资风险。27在理论上，再投资收益率风险比较复杂。下面以零息债券为例分析再投资收益率风险。例子：有一零息票国债投资者，投资期为2年。该投资者有多种投资选择：(1)连续投资两个1年期零息债券(2)直接购买2年期零息债券(3)购买3年或3年以上的零息债券，在第二年年底出售（以5年期为例）。问题：他应作何种选择？28零息票国债的到期收益率期限 即期利率 折现因子 0.5 8.42% 0.9604 1 8.51% 0.9216 1.5 8.59% 0.8837 2 8.68% 0.8467 2.5 8.76% 0.8107 3 8.84% 0.7756 4 8.99% 0.7086 5 9.14% 0.6458 6 9.28% 0.5871 7 9.41% 0.5327 8 9.54% 0.4824 9 9.66% 0.4362 10 9.77% 0.3938 11 9.87% 0.3551 12 9.97% 0.3198 13 10.05% 0.2878 14 10.13% 0.2589 15 10.21% 0.2327 考虑两种情况：（1）不对未来收益率曲线做预测，计算各个选择的预期收益率（2）假设收益率曲线2年内不发生变化，应如何选择29如果收益率曲线不发生变化，三种选择的投资回报率：

(1)1.08512

–1＝17.74%(2)1.08682–1＝18.11%(3)第三种选择机会有很多，结果也各不相同。以选择5年期债券，2年后出售为例，其回报率为

1.09145/1.08843

–1＝20.05%30推论1：

在收益曲线向右上方倾斜时，如果再投资收益率不上升，即按照现在收益曲线所对应的收益率获得收益，那么，投资于长期零息债券更为有利。31预期未来实际利率未来实际利率<远期利率，则应该投资长期债券原因：卖出长期债券时候价格大于远期利率算出的价格，所以回报率也要大未来实际利率>远期利率，则应该投资短期32简单总结：到底是投资长期还是短期债券利率期限结构利率期限结构的未来变化常见情况：如果利率期限结构向上倾斜，且未来不变化，则投资长期债券要优于短期债券，但也不是越长越好。33InterestratesRiskInterestratesandbondpricesshow

inverserelationshipBondholderslosewhentheinterestratesriseBondholdersgainwheninterestratesfall例子：隔夜风险都很大在美联储开会前的交易平淡34YieldCurveRiskInterestratesriskmeasureswhenyieldcurvehasaparallelshiftTherisksinvestorsfacewhenyieldcurvechangesnon-parallellymeansyieldcurverisk.几个问题：从风险源看，跟利率风险类似但主要是针对认为已经消除利率风险的投资者现金的长短期分配35CreditRisk1.DefaultriskRecoveryrate2.CreditspreadriskYieldonriskybond=yieldondefault-freebond+riskpremium3.DowngraderiskHigherrating(upgrade),lowerrating(downgrade)Yieldsrisefordowngradesandfallforupgrades例子：公司债要着重分析这种风险评级机构的影响36LiquidityRiskLikelihoodthataninvestorwillbeunabletosellsecurityquicklyandatafairpriceEstimatedbyusingthebid-askspreadMarkingpositionstomarket—liquidityriskisimportantevenifinstrumentsissuesareheldtomaturity37买卖价差（价格的百分比）类别一般陷入危机时国债新发行短期国债0.0020.005新发行中长期国债0.0030.006已发行国债0.0060.009公司债A级金融公司债0.120.50B级工业公司债0.505.00MBS固定利率类别0.060.25市政债Aa级/Aaa级0.250.753839CallandPrepaymentRisk•Unpredictablecashflows•Reinvestmentrisk•Pricecompression40PrepayableAmortizingSecuritiesReinvestmentriskiscompoundedforlenderswhenborrowersprepaytheirprincipalobligationsIfaborrowerprepays,theinvestorgetstheirmoneybacksoonerthantheyexpectedinalowinterestratesinamarket银行对按揭贷款的提前还款是要罚款的41PriceVolatilityRisk•Thegreaterthevolatilityoftheunderlyingprice,thegreaterthevalueofanembeddedoption•Whenexpectedyieldvolatilityincreases,thevalueofthecalloptionincreasesandthevalueofthecallablebonddecreases•Valueofcallable=valueofnoncallable–valueofembeddedoption42ExchangeRateRiskTheinvestorbearstheriskofreceivinganuncertainamountwhenthesepaymentsareconvertedintothehomecurrencyIfhomecurrencyappreciatesagainstforeigncurrencyofthebondpayments,eachforeigncurrencyunitwillbeworthlessIfhomecurrencydepreciatesagainstforeigncurrencyofthebondpayments,eachforeigncurrencyunitwillbeworthmore43几个例子：国家外汇储备中很多是买了美国国债，人民币升值的影响航空企业的外债受人民币升值的影响绍兴纺织企业购买欧洲设备，对方只要欧元，不要美元，宁愿给你无息延期付款44InflationRiskPossibilitythatpricesofgoodsandserviceswillincreasePurchasingpowergoesdownwithfixedcouponbondsandincreasinginflation投资者如何避免？45EventRisk•Disasters•Corporatetakeoversandrestructurings•Regulatoryissues•Politicalrisk46两个例子巴林银行的倒闭做空日本利率期货做多日本股指期货日本地震LTCM的破产俄罗斯主权债，做空德国债券俄罗斯金融危机47基本问题：

(1)如果央行加息，对各债券的价格是如何影响的呢？

(2)哪些债券的价格变动小，哪些债券的价格变动大？(3)如何避免债券价格受到利率变化的影响？4.2利率风险度量48现金流贴现率定价利率49利率风险：指由于利率变化所引起的债券价格的变化。利率与价格之间的反向变动关系利率变化包括两种：水平变化风险(levelrisk)收益率曲线变化风险(yieldcurverisk)50例子：有四种债券（年付息），分别为：5年期，票面利率5%，YTM为5%5年期，票面利率9%，YTM为5%20年期，票面利率5%，YTM为5%20年期，票面利率5%，YTM为4.5%问题：

如果利率(YTM)上涨50bp，问这些债券的价格变化水平？价格变化百分比孰大孰小？如果利率下降50bp呢？51Price1:5年，息票率5%Price2:20年，息票率5%Price3:20年，息票率9%52Price1:5年，息票率5%Price2:20年，息票率5%Price3:20年，息票率9%，除以息票率为5%的价格53不同债券的利率风险特征期限：期限越长，利率变化引起的价格变化百分比（以下称为利率风险）也越大。息票率：息票率越小，利率风险越大。到期收益率：到期收益率越小，利率风险越大。54上涨与下跌的方向：到期收益率变化较大时，YTM增加引起的价格下跌幅度要小于YTM减少引起的价格上涨幅度。这种特征称为凸性。结论：不含期权的债券的价格与利率之间的变动为非线性关系，呈现出正凸性。5556嵌入期权时的利率风险特征可赎回债券到期收益率下降到一定水平时，由于价格上涨到一定程度，当超过赎回价格时，发行人有赎回权利利率风险呈现出负凸性特征。571、利率风险的度量基本问题：利率风险如何度量呢？基点价值价格波动的收益率价值久期58(1)基点价值PriceValueofaBasisPoint基点价值指到期收益率变动一个基点所对应的债券价格的变化额。Example:

期限5年，票面利率9%（半年支付），价格为100。求该债券的基点价值。59解答：目前的到期收益率为9%。到期收益率增加1个基点，为9.01%,债券的新价格：所以：基点价值=$100-$99.9604=$0.039660不同债券的PVBP考虑4个债券，每个债券的到期收益率为9%(b.e.b)，半年支付。息票率、期限和价格分别：息票率9%，期限5年，价格$100息票率9%，期限20年，价格$100息票率5%，期限5年，价格$84.175息票率5%，期限20年，价格$63.197问题：它们的PVBP孰大孰小？61newyldBPchange9%,5yr9%,20yr5%,5yr5%,20yr6-30012.795334.672211.560325.24588-1004.05549.89643.65917.1148.9-100.39470.91350.35580.65239.011-0.0396-0.0919-0.0357-0.06579.550-1.9541-4.4408-1.7613-3.163610100-3.8609-8.5795-3.4789-6.094512300-11.0401-22.5694-9.9349-15.85896263(2)价格波动的收益率价值YieldValueofaPriceChange价格波动的收益率价值，是指债券价格发生一定金额变化（通常是1/32of$1）所对应的到期收益率变化的幅度。Example:

期限5年，票面利率9%（半年支付），收益率为9%(b.e.b.)，对应价格为$100。求价格波动的到期收益率价值？64解答：所以：价格波动的收益率价值=9%-8.992%=0.008%652、久期（1）久期的定义（2）为什么叫久期（3）久期的影响因素（4）组合的久期66（1）久期的定义Duration久期是市场利率变化1个百分点（100个基点）导致债券价格变化的百分比。计算公式：

其中：V-是利率减少后的债券价值，

V+是利率增加后的债券价值，

V0是债券的原价值。67Example:例子：两年期债券，年付息，6%息票率，当前价格为96.43当到期收益率下降50bp时，价格上涨至97.31当到期收益率上升50bp时，价格下跌至95.57问：久期为多少？68解答：69Exercise:票面利率为9%，期限20的非含权债券，价格134.67，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降20个基点，债券价格将分别为131.84和137.59问题：它的久期多少？70两点说明下面这个公式表示久期可以吗？其中：V-是利率减少后的债券价值(2)取多少合适？7172久期的经济含义上述例子中，久期为1.804，什么意思？指利率变化1个百分点时，债券价格变化的百分比例子中，当利率上升1％时，则债券价格下降1.804%，则债券新价格为：

96.43*(1-1.804%)=94.6973金额久期DollarDuration把利率变化100bp所引起的价格变化金额称为金额久期。计算公式：74例子：两年期债券，年付息，6%息票率，当前价格为96.43当到期收益率下降50bp时，价格上涨至97.31当到期收益率上升50bp时，价格下跌至95.57问：金额久期为多少？75(2)为什么叫Duration？下表为零息券的久期期限到期收益率久期

1年5％0.9522年5％1.9013年5％2.8564年5％3.8015年5%4.76376久期的连续形式77其中：dt为t时刻的贴现因子，PVt为t时刻的现值。78Macaulay久期Macaulay久期(DM)就是：期限的加权平均，权重为现值。79Example:20年债券,面值100,票面利率10%,年付息1次。根据下面提供的各年的现值问：

Macaulay久期是多少？80termspotrate%dfPV t*PV

1 8.5056 0.9216 9.2161 9.2161 2 8.6753 0.8467 8.4672 16.9343 3 8.8377 0.7756 7.7564 23.2693 4 8.9927 0.7086 7.0862 28.3446 5 9.1404 0.6458 6.4576 32.2881 6 9.2807 0.5871 5.8714 35.2282 7 9.4136 0.5327 5.3272 37.2906 8 9.5391 0.4824 4.8244 38.5955 9 9.657 0.4362 4.3619 39.2568 10 9.7675 0.3938 3.9379 39.3788 11 9.8705 0.3551 3.5507 39.0572 12 9.9659 0.3198 3.1982 38.3782 13 10.0537 0.2878 2.8783 37.4182 14 10.134 0.2589 2.5888 36.2433 15 10.2067 0.2327 2.3274 34.9117 16 10.2718 0.2092 2.0920 33.4725 17 10.3292 0.1880 1.8805 31.9677 18 10.379 0.1691 1.6906 30.4310 19 10.4212 0.1521 1.5206 28.8906 20 10.4557 0.1368 15.0532 301.0648 total 100.0866 911.63 81Exercise5年期附息债券，息票率为6％，半年付息一次根据下表提供的贴现因子，试计算其MacaulayDuration？82periodcashflowdiscountfactorPV

t*PV

1 30.9569 2.871 2.871

2 30.9157 2.747 5.494

3 30.8763 2.629 7.887

4 30.8386 2.561 10.063

5 30.8025 2.407 12.037 6 30.7679 2.304 13.822 7 30.7348 2.204 15.431 8 30.7032 2.109 16.876 9 30.6729 2.019 18.168 10 1030.6439 66.325 663.2

Total 88.131765.895

83(3)久期的影响因素零息债券的Macaulay久期等于期限本身附息债券的Macaulay久期小于期限本身票面利率越高，Macaulay久期越短到期收益率上升，付息债券的Macaulay久期下降期限越长，久期也越大。84时间对久期的影响随着到期日的临近，久期在变小付息对久期的影响付息后瞬时的久期会比付息前瞬时的久期增加85修正久期与Macaulay久期其中：y为YTM/k，k为一年付息的次数比如，一年付息一次，则y=YTM

一年付息两次，则y=YTM/286修正久期和有效久期修正久期(modifieddurattion)假设到期收益率的变化不会引起现金流的变化适用于不含期权的债券有效久期(effectiveduration)到期收益率的变化会引起现金流的变化适用于嵌入期权的债券87不含期权的债券修正久期和有效久期相等嵌入期权的债券修正久期不一定等于有效久期比如，可赎回债券，修正久期

?

有效久期

A.不大于B.不小于88(4)债券组合的久期久期可以按照市值(现值)加权组合久期久期：单个债券久期的加权平均金额久期：加和如果各个债券的到期收益率不同，这意味着组合中每个债券的久期计算所依据的到期收益率是不同的。89Example:由两个债券构成的组合

P(1)=$8,000，D

(1)=4.3P(2)=$12,000，D

(2)=3.6问：这个债券组合的久期和金额久期各为多少？90实际公司债和嵌入期权债券的久期计算前面我们都是简单的假设：以到期收益率发生变动，来计算久期实际中：债券价格的计算牵涉到利率期限结构公司债价格的计算牵涉到利差嵌入期权的债券价格的计算牵涉到利率模型91久期计算的步骤1、根据当时的利率期限结构，计算相关债券的价格2、小幅度变动短期利率水平，比如10bp3、根据利率期限结构与所假定的短期利率变动，重新设定利率期限结构4、新的期限结构下，重新计算债券新价格（包括增加10bp与减少10bp）5、利用久期公式，计算久期92第3步骤：如何设定新的利率期限结构或者利率模型是关键？简单一点，假设水平移动，就象Z-利差或者OAS利差一样93(5)久期指标的缺陷假定水平的到期收益曲线并且平行移动到期收益曲线变化的种类水平移动：85%的国债收益曲线变动收益曲线变陡：5%的国债收益曲线变动蝴蝶状变化：3-4%的国债收益曲线变动请参见LittermanandScheikman(1991)94如果利率曲线不是平行移动的，即发生利率曲线风险(yieldcurverisk)时会发生什么情况？95Example:考虑下面两个组合，假设都是由零息券组成组合 2年债券 16年债券 30年债券

A 50 0 50 B 0 100 0 三种零息券的久期分别为：1.90，15.24，28.57这两个组合的久期分别为：

A：0.5×(1.90+28.57)＝15.24B：15.2496问下面三种情况下，两个组合的价值如何变化？

(1)每一个即期利率都下降10基点，考虑两个组合的价格变化百分比

(2)2年即期利率上升10bp，30年期下降10bp，16年期没有变化

(3)2年即期利率下降10bp，30年上升10bp，16年期没有变化97考虑第一种情况每一个即期利率都下降10基点，运用久期公式计算：组合A:0.10%×15.24＝1.524%组合B:0.10%×15.24＝1.524%两个组合的价值都上升1.524%98考虑第二种情况2年即期利率上升10bp，30年期下降10bp，16年