第1章-插值方法课件

第一章 插值方法本章介绍主要内容：Lagrange插值

Neville插值

Newton插值

Hermite插值

分段插值

样条插值计

算

方法11.1.1

什么是插值在初等微积分中，我们用函数y

=f

(x

)来描述一个平面曲线，但在实际问题中，函数y=f(x)往往是通过实验观测得到的一组数据来给出的，即在某个区间[a,b]上给出一系列节点的函数值yi

=f(xi)i=0,1,2,······,n或给出一张函数表：1.1

插值问题的提出计

算

方法2xx0x1x2

···

···

xnyy0y1y2

···

···

yn如何通过这些对应的关系去找出函数f(x)的一个近似表达式或求某个不在期间的给定点x的函数值呢?3计

算

方法例如

每日的气温随温度的变化如下表：要想知道气温随时间变化的情况T=f(t)，或某一时刻t=10的温度应如何办?时间(t)048121620温度(T)21.2511.19.13.1最简单实用的方法就是插值。简单地说，插值的4目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式的函数p

(x)近似代替f

(x)。即已知f

(x)在区间[a,b]上一组n+1个不同点a≤x0,

x1,

···,

xn≤b上的函数值yi

=f(xi)(i=0,1,2,···,n)，寻找一个f(x)的近似函数p(x)，且满足p(xi)

=

yi

i=0,1,2,···,n称f(x)为被插函数；5称函数p(x)为插值函数(公式)；若p(x)为多项式函数，称p(x)为插值多项式；称数据表中给出的已知节点xi

为插值节点；其对应的函数值yi为样本点；称待求函数值的节点为插值点；称插值节点所界定的范围

∆=[min

x

i

,maxxi

]为插区间。计

算

方法造插值函数如下：00

0.5

1

1.5

2

2.5

3.510.80.60.40.2xsinxp(x)y3

π计

算

方例如，对函数y=sinx，若给定[0,

π]的5个等分点，法

可构sinx的插值对于插值函数p(x)与被插函数f(x)在节点处的函数值相等，但在节点外p(x)与f(x)可能会有偏离，因此p(x)代替f(x)必然存在误差。6函数p(x)的类型有各种不同的选择，但最常用的类型是代数多项式，因为代数多项式具有一些很好的性质，如它具有各阶导数，计算多项式比较方便等，本章讨

论的就是代数插值多项式。7计

算

方法(1)1.1.2

代数插值多项式的存在及唯一性设函数y=f(x)在区间上的插值多项式为pn(x)=a0+a1

x+

a2x2+

···+

anxn且满足pn(xi)

=

yi=

f

(xi)

i=0,1,2,···,n(2)上述方程组系数行列式为n+1阶Vandermond行列式：计

算

方8即多项式pn(x)的系数a0,a1,a2,···,an满足方程组：法由Cramer法则，线性方程组(3)有唯一解。计

算

方命题1

已知f

(x)在区间[a,b]上一组n+1个不同点

法a≤x0,

x1,

···,

xn≤b上的函数值yi

=f

(xi)

i=0,1,2,···,n则满足插值条件p(xi)=yi

(i=0,1,2,···,n)的插值多项式pn(x)=a0+a1

x+

a2x2+

···+

anxn存在且唯一。虽然线性方程组(3)推出的插值多项式存在且唯一，但通过解线性方程组求插值多项式却不是好方法，而需采用其他的方法。91.２

Lagrange插值多项式计

算

方

法现将插值多项式表示成如下形式：已知f

(x)在区间[a,b]上一组n+1个不同点a≤x0,

x1,

···,

xn≤b上的函数值yi

=f

(xi)

i=0,1,2,···,n构造满足插值条件Ln(xi)=yi

(i=0,1,2,···,n)的次数不超过n次的多项式其中φi(x)(i=0,1,2,···,n)是次数不超过n次的多项式。101.2.1

两点插值11两点插值也称线性插值。问题1设已知两个不同节点x0,x1上的函数值(样本值)f

(x0)=y0

,

f(x1)=y1构造满足插值条件L1(xi)=yi(i=0,1)的次数不超过一次多项式L1(x)=φ0(x)y0+φ1(x)y1

。其中φi(x)(i=0,1)是次数为1次的多项式。实际上就是构造一次的多项式φ0(x)和φ1(x)，满足：计

算

方

法x0x1φ

0(x)10φ

1(x)01计

算

方

法12L1(x0)=

φ0(x0)

y0

+

φ1(x0)

y1

=

y0L1(x1)=

φ0(x1)

y0

+

φ1(x1)

y1

=

y1令φ0(x)和φ1(x)满足如下的条件：显然可以使上面两式成立。由于φ0(x)和φ1(x)均为一次多项式，因此可求得：计

算

方

法13这就是两点Lagrange插值（线性插值）公式，用

它来作为函数y=f(x)的近似。显然L1(x)是次数不超过一次的多项式，且满足：

L1(x0)=φ0(x0)y0

+φ1(x0)y1=1×y0+0×y1

=y0L1(x1)=φ0(x1)y0

+φ1(x1)y1=0×y0+1×y1

=y1即L1(x)满足问题1中所要求的条件，

L1(x)即为所求。称φ

0(x)和φ1(x)为Lagrange插值基函数。实际上L1(x)就是这两个插值基函数的线性组合。计

算

方法0xy=f(x)y=L1(x)yx0y0y114x1两点插值解：取x0=100,

x1=121，则y0=f(x0)=10,

y1=f(x1)=11，15计

算

方例1设y=f(x)=x1/2在x=100,121处的函数值为10,11，法

试以这两点建立y=x1/2的Lagrange一次插值多项式，并由此计算f(115)处的近似值。1.2.2

三点插值三点插值也称二次插值。由上面的例子可见，两点插值的精度很低。原因是我们用线性函数来代替非线性函数，不可能有很好的效果。16计

算

方法下面考察三点插值。问题

2

设

已知三个不同节

点

x

0

,

x

1

,

x

2

上

的函数值值)f

(x0)=y0

，

f

(x1)=y1

，

f

(x2)=y2构造满足插值条件L2(xi)=yi(i=0,1,2)的次数不超过2次多项式L2(x)=φ0(x)y0+φ1(x)y1+φ2(x)y2。其中φi

(x)(i=0,1,2)是次数为2次的多项式。实际上就是构造二次的多项式φ0(x),φ1(x)和φ2(x)，满足：计

算

方

法17L2(x0)=

φ0(x0)

y0

+φ1(x0)

y1+φ2(x0)

y2=

y0L2(x1)=

φ0(x1)

y0

+φ1(x1)

y1+φ2(x1)

y2=

y1L2(x2)=

φ0(x2)

y0

+φ1(x2)

y1+φ2(x2)

y2=

y218令φ0(x),φ1(x)和φ2(x)满足如下的条件：x0x1x2φ0(x)100φ1(x)010φ2(x)001显然可以使上面三式成立。计

算

方法这就是三点Lagrange插值（二次插值）公式，用它来作为函数y=f(x)的近似。19计

算

方法由于φ0(x),φ1(x)和φ2(x)均为二次多项式，因此可求得：L2(x0)=

φ0(x0)

y0

+φ1(x0)

y1

+φ2(x0)

y2=1×y0+0×y1+0×y2

=y0L2(x1)=

φ0(x1)

y0

+φ1(x1)

y1

+φ2(x1)

y2=0×y0+1×y1+

0×y2

=y1L2(x2)=

φ0(x2)

y0

+φ1(x2)

y1

+φ2(x2)

y2=0×y0+0×y1+

1×y2

=y2即L2(x)满足问题2中所要求的条件，

L2(x)即为所求。称φ

0(x),φ1(x)和φ2(x)为Lagrange插值基函数。实际上L2(x)就是这三个插值基函数的线性组合。20计

算

方显然L2(x)是次数不超过二次的多项式，且满足法：例2

设y=f(x)=x1/2在x=100,121,144处的函数值为10,11,12,试以这三点建立y=x1/2的二次Lagrange插值多项式，并由此计算f(115)处的近似值。解：取x0=100,x1=121,x2=144，则y0=f(x0)=10,y1=f(x1)=11,

y2=f(x2)=12计

算

方法21计

算

方法221.2.3

多点插值23我们可以用同样的方法建立多点的插值公式。问题3设已知n+1个不同节点x0,x1,···,xn上的函数值f

(x0)=y0，

f

(x1)=y1，···，

f

(xn)=yn构造满足插值条件Ln(xi)=yi

(i=0,1,···,n)的次数不超过n次多项式Ln(x)=

φ0(x)

y0+φ1(x)y1+

···

+φn(x)

yn其中φi

(x)(i=0,1,···

,n)是次数为n的多项式。计

算

方法计

算

方法同前述方法，令φ0(x),φ1(x),···,φn(x)满足如下的条件：x0x1···xnφ0(x)10···0φ1(x)01···0···············φn(x)00···124计

算

方法25这就是n+1点Lagrange插值（n次插值）公式，用它来作为函数y=f(x)的近似。Ln(x)满足问题3中所要求的条件，

Ln(x)即为所求。称φ

0(x),φ1(x),···,φ2(x)为Lagrange插值基函数。实际上Ln(x)就是这n+1个插值基函数的线性组合。Lagrange插值的缺点：插值基函数计算复杂；高次插值的精度不一定高。1.3

Neville逐步插值算法计

算

方

法26逐步插值(逐步线性插值)是一种逐步升阶的插值过程。这种方法将多点插值逐步归结为两点插值的重复，或者说，通过两点插值的重复逐步地生成多点插值。1.3.1

两点插值的松弛公式再来剖析Lagrange

两点插值。对于给定的插值点x0,x1，两点插值的结果实际上是两个样本值y0,y1的加权平均。事实上，两点插值公式还可写为如下形式：这是两点插值的松驰公式，记：计

算

方法27计

算

方法1.3.2

插值公式的确逐步构造对于给定的三对数据(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)，分别构造两点插值y01,,y12和三点插值y012如下：28可见，y01是y0,y1的加权平均，而y12是y1,y2的加权平均：计

算

方法29计

算

方法30例3

设y=f(x)=x1/2在x=100,121,144处的函数值为10,11,12,试以这三点采用Neville逐步插值方法计算f(115)处的近似值。解：取x0=100,x1=121,x2=144，则y0=f(x0)=10,y1=f(x1)=11,

y2=f(x2)=12。计

算

方法31计

算

方法32如前例2与例3，对y=f(x)=x1/2，已知(100,10),(121,11),(144,12),采用Lagrange插值和Neville逐步插值方法构造的插值多项式为：计

算

方33实际上，

Lagrange插值与Neville逐步插值在相法

同的已知条件下所得的插值多项式是相同的，只是采用不同的方法而已。逐步插值很容易推广，n+1点插值(n次插值)可看作是n点插值(n-1次插值)的线性组合。逐步线性插值的构造过程：设已知n+1个条件(x0,y0),(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)，则计

算

方法34计

算

方法35逐步插值可用计算表来给出：节点样本值y(i-1)i

y(i-2)(i-1)iy01···ix0y0y01y12

y012y23

y123·

·····

·

····

·y(n-1)n

y(n-2)(n-1)n

···y012

···nx-x0x1y1x-x1x2y2x-x2x3y3x-x3·········xnynx-xn计

算

方法Lagrange插值与Neville逐步插值在构造方法上虽有差异，但对相同的已知条件，所得到的最终插值结果是相同的。36例4利用下表所给数据计算正弦积分在x=0.462的值。解：构造差商表如下：x0.30.40.50.60.7f(x)0.298500.396460.493110.588130.68122xiyiy(i-1)

iy(i-2)(i-1)

iy

(i-3)(i-2)(i-1)

i0.30.298500.40.396460.4571950.50.493110.4563830.4565370.60.588130.4570020.4565750.456560.70.681220.4596600.4564960.45656371.3.3

代数精度插值方法的目的在于寻求函数的近似值，插值函数与被插函数除在插值节点外，不会是完全相等

的，但自然要求所求的插值结果具有足够高的精度。代数精度是判定插值精度的一个准则。为保证所设计的插值公式具有“尽可能高”的精度，自然希望它对“尽可能多”的函数能准确成立。如果插值公式对一切次数≤m的多项式能准确成立，而对于m+1次多项式不准确，则称该插值公式具有m阶代数精度，简称具有m阶精度。计

算

方法38实际上，n次Lagrange插值与Neville逐步插值均具有n次代数精度。39对于f

(x)的n次插值多项式pn(x)：f(x)≈pn(x)(i=0,1,···,n)有

pn(xi)=

f

(xi)设∂(f

(x))≤n，构造函数R(x)=f(x)-pn(x)显然有∂(R(x))=∂(f

(x)-pn(x))≤n又

R(xi)=f

(xi)-pn(xi)=0(i=0,1,···,n)计

算

方法R(x)是一个次数不超过n次的多项式，且有n+140个零点，显然R(x)=0因此即f(x)-pn(x)=0f(x)=pn(x)而当∂(f

(x))=n+1时因为

∂(

pn(x))=n显然f

(x)≠pn(x)。所以pn(x)具有n次代数精度。计

算

方法命题2

已知f

(x)在区间[a,b]上一组n+1个不同点41a≤x0,

x1,

···,

xn≤b则对于任意次数≤n的多项式f

(x)，满足插值条件pn(xi)

=f

(xi)

i=0,1,2,···,n的插值多项式pn(x)就是f

(x)本身。计

算

方法计

算

方法1.4

Newton插值多项式1.4.1

Newton插值的提出我们知道，Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多，由线性代数的知识可知，任何一个n次多项式都可以表示成：1,(x-x0),

(x-x0)(x-x1),···,(x-x0)(x-x1)···(x-xn)共n+1个多项式的线性组合。那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？42显然，多项式组计

算

方

法1,(x-x0),

(x-x0)(x-x1),···,(x-x0)(x-x1)···(x-xn)线性无关，因此，可以作为插值基函数。问题4设已知n+1个不同节点x0,x1,···,xn上的函数值f

(x0)=y0，

f

(x1)=y1，···，

f

(xn)=yn构造满足插值条件pn(xi)=f

(xi)=yi

(i=0,1,···,n)的次数不超过n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+···+an(x-x0)(x-x1)···(x-xn)

43计

算

方

法显然，由插值条件可得：pn(x0)=a0pn(x1)=a0+a1(x1

-x0)pn(x)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)可求得：44计

算

方再继续下去待定系数的形式将更复杂。为此引法入差商和差分的概念。1.4.2

差商(均差)及其性质设f

(x)在不同节点x0,x1,···,xn上的函数值f(xi)=yi

i=0,1,2,···,n称f

(xi)为f

(x)关于节点xi的零阶差商。为f(x)关于节点xi,xj的一阶差商。45为f(x)关于节点xi,xj

,xk的二阶差商。依此类推，f(x)关于节点的k阶差商：计

算

方法46显然47计

算

方法差商具有如下性质：计

算

方法48差商的计算方法(表格法)：差商表节点样本值一阶差商二阶差商···n阶差商x0f(x0)f(x0,x1)f(x1,x2)f(x2,x3)···f(x

n-1,x

n)f(x0,x1,x2)f(x1,x2

,x3)···f(x

n-2,x

n-1,x

n)·········f(x0,x1,···,xn)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)······xnf(xn)计

算

方法491.4.3 差商形式的Newton插值公式50设已知n+1个不同节点x0,x1,···,xn上的函数值f

(x0)=y0，

f

(x1)=y1，···，

f

(xn)=yn构造满足插值条件pn(xi)=f

(xi)=yi

(i=0,1,···,n)的次数不超过n次多项式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+···+an(x-x0)(x-x1)···(x-xn)由插值条件可得：a0

=f(x0)，a1=

f(x0,x1)，···

，an=

f(x0,x1,···,xn)计

算

方法这样可得差商形式的Newton插值公式：一次插值多项式：51p1(x1)=f(x0)+

f(x0,x1)(x-x0)二次插值多项式：p2(x)=

f(x0)+

f(x0,x1)(x-x0)

+

f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)······n次插值多项式：pn(x)=

f(x0)+

f(x0,x1)(x-x0)

+

f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+···+f(x0,x1,···,xn)(x-x0)(x-x1)···(x-xn-1)计

算

方

法节点样本值一阶差商二阶差商三阶差商0123132-1-2/3553/25/63/10计

算

方52例5已知节点0,2,3,5对应的函数值为1,3,2,5，构造法三次Newton插值多项式。解：构造差商表如下：1.4.4 差分及其差分形式的Newton插值公式设f

(x)在等距节点xi=x0+ih

(h称为步长)上的函数值为f

(xi)=yi

(i=0,1,2,···,n)，称Δ

yi

=

yi+1-yi

(i=0,1,2,···,n)为f

(x)在xi处的一阶差分。(i=0,1,2,···,n)(i=0,1,2,···,n)Δ2

yi

=

Δ

yi+1-

Δ

yi为f

(x)在xi处的二阶差分。···

···Δnyi

=Δn-1yi+1-Δn-1yi为f

(x)在xi处的n阶差分。计

算

方

法53差分表54节点样本值一阶差商二阶差商···n阶差商x0y0Δ

y0Δ

y1Δ

y2···Δ

ynΔ2

y0Δ2

y1···Δ2

yn·········Δn

ynx1y1x2y2x3y3······xnyn各阶差分可通过差分表构造:计

算

方法计

算

方在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系：法这样，在等距节点的前提下，差商差商形式的Newt

on插值公式可表示成差分形式的Newton插值公式：55令x=x0+th56计

算

方法称为有限差公式。1.5

Hermite插值计

算

方法Lagrange插值、Neville逐步插值、Newton插值虽然构造比较简单，但仅要求他们的函数值与被插函数的函数值在节点上相同，但没有考虑到导数值。0xy=f(x)y=p(x)yHermite插值（切触插值）是要构造一个插值函数，不但在给定的节点上取已知函数值，而且取已知导数值，使插值函数与被插函数的密合程度更好。571.5.1

Taylor插值对于函数f(x)，在给定点x0邻近，它可以用如下Taylor多项式pn(x)来近似地逼近：计

算

方法Taylor

多项式pn

(x

)的一个重要特性是它与所逼近函数f(x)在点x0具有相同的直到n阶导数值pn

(x0)=

f

(x0)

i=0,1,2,

···,n(i)

(i)因而它可以看作是如下问题5的解。58计

算

方

法问题5

设已知函数f(x)在节点x0上的各阶导函数值f

(x0)=y0，f

'(x0)=y'0，

f

''(x0)=y''0，

f

(n)(x0)=y(n)0构造满足插值条件pn

(x0)=

f

(x0)

(i=0,1,···,n)的次数不(i)

(i)超过n次多项式pn(x)。这样的pn(x)称为Taylor插值多项式。例6

作f(x)=x1/2在x0=100处的一次和二次Taylor插值多项式。解：一次Taylor插值多项式：59计

算

方

法二次Taylor插值多项式：Taylor插值方法是知其一节点及其各阶导数值来实现的，可以将其与Lagrange插值方法结合形成新的插值方法，即Hermite插值。601.5.2

Hermite插值的待定系数法61待定系数法是构造多项式最基本的方法。这种方法原理简明并且原则上总是可行的，只是处理过程往往比较繁琐。例6

求作二次式φ0(x)

，使分别满足插值条件：φ0(0)=1,φ0(1)=0,

φ0'(0)=0。解：由于φ0(1)=0，可知它有一个零点x0=1，故二次式φ0(x)具有形式：φ0(x)=(cx+d)(x-1)计

算

方

法因此：φ0'(x)=c(x-1)+(cx+d)计

算

方法由条件φ0(0)=1,

φ0'(0)=0可得：φ0(0)=

(c×0+d)(0-1)=1φ0'(0)=c(0-1)+(c×0+d)=0得：因此得c=d=-1，从而有：φ0(x)=1-x262例7

求作三次式φ0(x)

，使分别满足插值条件：63φ0(0)=1,

φ0(1)=0,

φ0‘(0)=0,

φ0’(1)=0解：由于φ0(1)=φ0’(1)=0，可知它有一个二阶零点x0=1，故三次式φ0(x)具有形式φ0(x)=(ax+b)(x-1)2φ0'(x)=a(x-1)2+2(ax+b)(x-1)再由φ0(0)=1,

φ0‘(0)=0φ0(0)=(a×0+b)(0-1)2

=1φ0‘(0)=a(0-1)2+2(a×0+b)(0-1)=0计

算

方法计

算

方法得：得：a=2,

b=1所以：φ0(x)=(2x+1)(x-1)21.5.3

构造插值多项式的余式校正法余式校正法是将所求的插值多项式分为主部q(x)和余式r(x)两部分：p(x)=q(x)+r(x)其中q(x)是满足部分插值条件的已知多项式，余式r(x)的构造用待定系数法。64例如

求做二次式p2(x)

，使满足计

算

方法p2(x0)=

y0,

p'2(x0)=

y'0,

p2(x1)=y1解：令p2(x)=p1(x)+c(x-x0)(x-x1)其中p1(x)是满足插值条件p1(x0)=y0,p1(x1)=y1的一次多项式：再用剩余的一个条件p‘2(x0)=y’0确定系数c。651.5.4

Hermite插值的基函数方法基函数方法是将所有的插值多项式表达为某些简单函数—基函数的线性组合。这些基函数满足某些特定的插值条件，比较容易构造。计

算

方法解得所以66基函数方法主要针对如下一类问题：计

算

方

法xx0x1x2···xnyx0y'0y1y'1y2y'2······y2y'2y'问题6

给定[a,b]区间上n+1个节点和相应的函数值和导数值构造满足条件p2n+1(xi)=yi,p'2n+1(xi)=y'i的次数不超过2n+1次的插值多项式p2n+1(x)。两点三次Hermite插值67计

算

方法68实际上是在每个节点上构造两个插值基函数，x0点对应φ0(x),ψ0(x)，x1点对应φ1(x),ψ1(x)，其取值情况如下：函数值导数值x0x1x0x1φ0(x)1000φ1(x)0100ψ0(x)0010ψ1(x)000169计

算

方法基函数取值计

算

方这样可由待定系数法或Lagrange中构造基函数法的方法直接解得：70即三次Hermite插值多项式为：p3(x)=y0φ0(x)+y1φ1(x)+y'0ψ0(x)+y'1ψ1(x)其中：计

算

方

法71计

算

方法例8解：72计

算

方

法73对于高次的Hermite插值，