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文档简介
2.2圆的对称性轮子绕固定轴心旋转,不论转到什么位置,都与初始位置重合个圆绕圆心旋转任何角度后,都能与原来的图形重合.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心,操作与思考1.在两张透明纸片上,分别画半径相等的⊙O和⊙O‘2.在⊙O和⊙O'中,分别画相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B',连接AB、A'B'(如图2-9)操作与思考在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧?AB=A’B’AB=A’B’⌒⌒我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想:将图2-9中的两张纸片叠合在一起,使点O与点O'重合(如图2-10(1)),再将⊙O'绕点O旋转,使射线O'A'与射线OA重合。因为∠A'O'B'=∠AOB,所以射线O'B'与射线OB重合。又因为O'A'=OA,O'B'=OB,所以点A'与点A重合,点B'与点B重合(如图2-10(2))这样,A'B'与AB重合,A'B'与AB重合,即AB=AB
AB=A'B'上面的结论,在同圆中也成立在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.思考与探索在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?为什么?如果圆心角所对的弦相等呢?在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。我们知道,将顶点在圆心的周角等分成360份,每一份圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧一般地,n°的圆心角对着n°的弧n°的弧对着n°的圆心角.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1如图2-12,AB、AC、BC是⊙O的弦,∠AOC=∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗?为什么?解:∠ABC与∠BAC相等,在⊙O中,∵∠AOC=∠BOC,∴AC=BC(在同圆中,相等的圆心角所对的弦相等)∴∠ABC=∠BAC1如图,在⊙O中,AC=BD、∠AOB-50求∠COD的度数解:∵AC=BD,∴AC-BC=BD-BC∴AB=CD∴∠AOB=∠COD.又∵∠AOB=50°∴∠COD=50°
3.如图,在△ABC中,∠C-90°,∠B=28°以点C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点E。求AD、DE的度数。解:如图,连接CD.∵以点C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,..∴CA=CD∴∠A=∠ADC,∵∠ACB=90°,∠B=28°∴∠ADC=∠A=62°.在△ADC中,∠A+∠ADC+∠ACD=180°∴∠ACD=56°∴∠DCE=34°,∴AD的度数为56°,DE的度数为34°.在纸上画⊙O,把⊙O剪下并折叠,使折痕两旁的部分完全重合你发现了什么?
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴操作与思考画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD,使AB⊥CD,垂足为P(如图2-13),在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧?AC=AD⌒⌒BC=BD⌒⌒PC=PD我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想:沿直径AB将图2-13中的ADB翻折因为圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴,所以ADB与ACB重合。又因为∠APD=∠APC=90°所以射线PD与射线PC重合(如图2-14),于是点D与点C重合这样,这样PC=PD,AC=AD,BC=BD以上结论还可以用下面的方法加以证实:如图2-15,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为P,连接OC、OD.在△OCD中∵OC=OD.
OP⊥CD,∴PC=PD,∠BOC=∠BOD.∠AOC=∠AOD.∴BC=BD、AC=AD(同圆中,相等的圆心角所对的弧相等)于是,我们得到如下定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧例2如图2-16,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D。AC与BD相等吗?为什么?解:AC与BD相等过点O作OP⊥AB,垂足为P∵OP⊥AB.例2∴AP=BP,CP=DP(垂直于弦的直径平分弦)∴AP-CP=BP-DP,即AC=BD.拓展与延伸
如图2-17,AB、CD是OO的两条弦AB//CD,AC与BD相等吗?为什么?1.如何确定圆形纸片的圆心?说说你的想法。找两条不平行的弦,作其垂直平分线,交点即为圆心;或将圆形纸片对折,确定出圆的一条直径,用同样的方法再确定出圆的另一条直径,两条直径的交点即为圆形纸片的圆心.2.(1)下列图形中,哪些是轴对称图形?哪些是中心对称图形?如果是轴对称图形,指出它的对称轴:如果是中心对称图形,指出它的对称中心图①是轴对称图形,直径CD所在直线为对称轴;图②无对称性;图③是中心对称图形,圆心O是对称中心;图④既是轴对称图形,又是中心对称图形,过点O且分别垂直于弦AB,AD的直线是它的对称轴,圆心O是它的对称中心;图⑤既是轴对称图形,又是中心对称图形,过圆心O的任意一条直线都是它的对称轴,圆心O是它的对称中心(2)当图O中的弦AB为直径(AB与CD互相垂直的条件不变)时,图形具有怎样的对称性?当图①中的弦AB为直径(AB与CD相互垂直的条件不变)时,它既是轴对称图形,又是中心对称图形.(3)当图②中的点B在⊙O上运动到什么位置时,图形成为轴对称图形?当图②中的点B在⊙O上运动到使弦AB等于弦AC时,图形成为轴对称图形.*3.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,点P在AB上运动求OP的取值范围。
习题2.21.画一个圆和圆的一些弦,使所画图形分别满足下列条件(1)是中心对称图形,但不是轴对称图形;(2)是轴对称图形,但不是中心对称图形(3)既是轴对称图形,又是中心对称图形2.如图,点A、B、C、D在OO上,且AB=DC.AC与BD相等吗?为什么?解:AC与BD相等.∵弧AB=弧DC∴弧AB+弧BC=弧DC+弧BC∴弧AC=弧BD,∴AC=BD.3.如图,OA、OB、⊙C是OO的半径,且AC=BC,D、E分别是OA、OB的中点。CD与CE相等吗?为什么?解:CD与CE相等.∵AC=BC,∴∠AOC=∠BOC∵OA=OB,D,E分别为OA,OB的中点∴OD=OE.∵0C=0C,
又∴△COD≌△COE
∴CD=CE4.如图,AB、CD是⊙O的直径,弦CE//AB,CE为40°求∠AOC的度数,
*5.如图,在⊙O中,直径AB=10,弦CD⊥AB,垂足为E,OE=3。求弦CD的长.如图,连接OC.
*6.如图,过⊙O内一点P画弦AB,使P是AB的中点.解:如图,
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