02凸优化理论与应用-凸函数

凸优化理论与应用第二章凸函数1信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@凸函数的定义1.定义域为凸集；2.，有凸函数的定义：函数，满足凸函数的扩展定义：若为凸函数，则可定义其扩展函数为凸函数的扩展函数也是凸函数！2信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@凸函数的一阶微分条件若函数的定义域为开集，且函数一阶可微，则函数为凸函数当且仅当为凸集，且对3信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@凸函数的二阶微分条件若函数的定义域为开集，且函数二阶可微，则函数为凸函数当且仅当为凸集，且对，其Hessian矩阵4信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@凸函数的例幂函数负对数函数负熵函数范数函数指数函数5信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@凸函数的例6信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@下水平集(sublevelset)定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。 称为的下水平集。定义：集合7信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@函数上半图(epigraph)定理：函数为凸函数当且仅当的上半图为凸集。 称为函数的上半图。定义：集合8信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@Jensen不等式为凸函数，则有：Jensen不等式的另外形式：9信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@保持函数凸性的算子凸函数的逐点最大值凸函数与仿射变换的复合凸函数的非负加权和10信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@保持函数凸性的算子复合运算最小值算子凸函数的透视算子11信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@共轭函数(conjugatefunction)定义：设函数，其共轭函数，定义为共轭函数的例共轭函数具有凸性！12信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@共轭函数的性质Fenchel’sinequality性质：若为凸函数，且的上半图是闭集，则有性质：设为凸函数，且可微，对于，若 则13信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@准凸函数(quasiconvexfunction)准凸函数的例定义：设函数，若函数的定义域和任意下水平集

则称函数为准凸函数。14信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@准凸函数的判定定理定理：函数为准凸函数，当且仅当为凸集，且对，有定理：若函数一阶可微，则为准凸函数，当且仅当为凸集，且对，有 ，有定理：若函数二阶可微，且满足对 则函数准凸函数。15信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@最小值函数非负权值函数的最大值函数保持准凸性的算子复合函数16信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@准凸函数的凸函数族表示若为准凸函数，根据的任意下水平集，我们可以构造一个凸函数族，使得性质：若为准凸函数的凸函数族表示，对每一个，若，则有17信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@对数凸函数 为凸集 为凸函数。定义：函数称为对数凸函数，若函数满足：定理：函数的定义域为凸集，且，则为对数凸函数，当且仅当对有对数凸函数的例18信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@对数凸函数和凹函数的性质性质：对数凸性与凹性对函数乘积和正数数乘运算均保持封闭。定理：函数二阶可微，则为对数凸函数当且仅当性质：对数凸性对函数加运算保持封闭。但对数凹性对函数加运算不封闭。推论：函数对每一个在上对数凸，则函数也是对数凸函数。19信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@对数凸函数和凹函数的性质定理：函数为对数凹函数，则函数是对数凹函数。20信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang@广义不等式下的凸性广义单调性的定义：设为真锥，函数称为单调增，若函数满足：广义凸函数的定义：设为真锥，函数称为凸，若函数满足对 均有定理(对偶等价)：函数为凸函数，当且仅当对所有，为凸函数。21信息