压电柔性悬臂板的多时滞主动控制

#压电柔性悬臂板的多时滞主动控制蔡国平,陈龙祥(上海交通大学工程力学系,上海200240)摘要：本文对柔性悬臂板主动控制中的多时滞问题进行研究，其中控制律采用离散最优控制方法进行设计，作动器采用压电形式。首先得出含有多时滞项的控制模态状态方程，然后对方程进行离散化和一种特殊的状态变量增广，得到形式上不含有时滞项的标准差分方程。连续形式的性能指标函数也通过离散化转换成增广状态变量的函数。最优控制律可针对该增广形式的标准状态方程进行设计。在所得出的时滞控制律中，除了包含有当前步的状态反馈，还包含有前若干步控制的线性组合。仿真结果显示，时滞有可能引起控制系统的失稳，而本文中的时滞处理方法能够取得良好的控制效果。关键词：柔性悬臂板;多时滞;离散最优控制;压电作动器引言现实工程中柔性构件大量存在，柔性构件的振动控制近几十年来得到了人们的广泛关注，并有许多成果。柔性构件的振动控制大致可分为两大类：被动控制，主动控制。被动控制无需外界能量输入，通过在柔性构件上粘贴阻尼材料或安置阻尼器，以达到耗散振动能量的目的。该控制策略简单易行，便于维护，对高频振动控制效果较好，但是对低频控制欠佳。而主动控制是通过向被控系统中输入能量，以获得期望的阻尼、刚度特性，达到对振动主动调节和镇定的目的。主动控制方法由于具有控制效果基本不依赖于外部扰动的特性，并且控制效果明显优于被动控制，因此该控制策略在柔性构件的振动控制中得到了广泛应用。然而主动控制系统中不可避免地存在着时滞问题，传感器信号的采集和传输、控制器的计算、作动器的作动过程等，都会导致最后作用于结构的控制力产生时滞。时滞存在于整个控制时间域内，控制效率的恶化会被逐渐放大，最终导致系统失［1］。柔性构件由于规模庞大或结构复杂，往往需要多个作动器联合作动以对其振动进行控制，各个作动器由于性能或在线计算等原因有可能存在不同的时滞量。文献［2］对柔性悬臂板的主动控制进行了理论和实验研究，其中传感器和作动器采用压电形式，取得了很好的控制效果。文献［3］对单时滞柔性悬臂梁的主动控制进行了研究，该控制律具有全程状态记忆功能，能够取得良好的控制效果。本文采用压电作动器对柔性悬臂板的多时滞主动控制进行研究，研究方法可推广到复杂柔性结构系统。运动方程考虑柔性悬臂薄板的自由振动控制问题，见图1。采用Kirchhoff-Love假设，无阻尼板的自由振动方程为［2］：d4 d4 d4 d2w(x,j,t)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"D(--+2+--)w(x,y,t)+ph 二0 (1)pcx4 cx2dy2dy4 p c12其中，w(x,y,t)为横向振动位移；D=Eh/［12(1-v2)］为抗弯刚度，E为杨pp p p氏模量，v为泊松比，h为板厚度；p为板材料密度。pp柔性板上的压电作动器所产生的弯矩m、m和扭矩m分别表示为⑵：x y xy国家自然科学基金(10472065)和教育部重点项目(107043)资助项目

TOC\o"1-5"\h\zm=m=Cn£n[H(x一x)-H(x-x)][H(y-y)-H(y-y)](2)xy0pe 1n 2n 1n 2nm=Cn£n[H(x-x)-H(x-x)][H(y-y)-H(y-y)] (3)xy0pe6 1n 2n 1n 2n其中，H(.)为单位Heaviside阶跃函数；(x,y)和(x,y)分别为压电片左1n1n 2n2n下角和右上角的坐标；£n=dV/h和£n=dV/h分别为第n个压电pe31nnan pe6 36nnan作动器的无约束弯曲应变和剪应变，d和d分别为第n片压电作动器的弯31n 36n曲应变常数和剪应变常数，V为第n片压电片上所加的控制输入电压，h为n an压电作动器的厚度；Cn为薄板和压电作动器的物理参数有关的机电耦合系0数，可以表示为[2]：2(1+v )Eh2P 3hhE(1-v2)(2h+h)Cn—— penppn ，P—— anppen p p an 0 3(1-v)[1+v-(1+v)P]nE(1-v2)[2(h3+h3)+3hh2]p p penn p pen pan pan其中，E和丫 分别为压电作动器的杨氏模量和泊松比，h为板的半厚度。penpen二维平板的弯矩可以表示为：d2wM =-(1-v)D( )xy ppSxSyd2wM =-(1-v)D( )xy ppSxSy-D( +v ),M=—D( +v )pSx2 pSy2 ypSy2 pSx2(4)忽略压电材料引起的质量和刚度效应。采用经典薄板理论，并考虑板的材料阻尼，薄板运动方程可以写为：S2(M-m) S2(M-m)S2(M-m) Sw S2w x x-+2 xy xy—+ y y——C——ph =0 (5)Sx2 SxSy Sy2 sSt pSt2进行控制设计时，使用N个压电作动器对板进行控制，并且各个压电作a动器中存在不同的时滞量九(i—1,…,N)。将(2)、(3)和(4)式代入ia(5)式，并考虑压电不同压电作动器中存在不同的时滞量，此时带有时滞的系统动力学方程可表示为：TOC\o"1-5"\h\zDV4w+Cvv+phw+2<Cii1[b'(x-x)-b'(x-x)][H(y-y)-H(y-y)]p s p 0h 1i 2i 1i 2ii—1 aidi+Ci-[H(x-x)-H(x-x)][6(y-y)-6(y-y)]0h 1i 2i 1i 2iai、di+2C36[6(x-x)-6(x-x)][6(y-y)-6(y-y)]V(t—九)=0(6)0h 1i 2i 1i 2iIiiai其中，C为结构阻尼算子，V2=S2/Sx2+2(S2/SxSy)+S2/Sy2，6(•)为Diracs函数，(x,y)和(x,y)分别为第i个压电作动器左下角和右上角的坐标，V1i1i 2i2i i为第i个压电作动器中的控制输入电压。将板的横向位移w(x,y,t)展开成模态叠加形式，可表达式为：(7)mnm—1n—1mnw(x,y,t)=££W(x(7)mnm—1n—1mn其中，W表示板的第m、n阶模态试函数，n表示第m、n阶模态坐标。mn mn由于悬臂板模态函数没有解析解，因此采用模态试函数的方法。板的第m、n阶模态函数可以分解为x方向的悬臂梁和y方向的自由梁的模态函数X(x)m和Y(y)的乘积⑵，即W(x,y)=X(x)Y(y)。n mn mn

考虑使用N个压电作动器对板的前N阶模态进行控制，则mn=N。利aa a用模态函数的正交性，可以得到控制模态动力学方程：南(t)+C&(t)+K@(t)=2HV(t-X) (8)iiii=1其中，❿(t)=m，…刀]T，C=diagqq3，…,203)，11 mn 11 11 mnmnK=diag(w2,…,32)，H=M-1[piezoi,…,piezoi]t，M为模态质量阵，TOC\o"1-5"\h\z11 mn i 11 mn压电作动器系数piezo，由下式给出：mndi dipiezoi =-{Ci/[X (x )-X (x )]J%iY (j)dy+Ci /[Y (J )-Y(J)]mn 0hm2im1i n 0hn2i n1iai 1i aidiXJx2iX(x)dx+2Cij[X(x)-X(x)]Y(y)-Y(y)]}(9)m 0 m2i m1i n2i n1ix1i ai3多时滞控制模态方程的离散化和标准化假设时滞量X可表示成如下形式：iX=IT-m （10）ii i其中，T为数据采样周期；1为任意正整数；0<m<T。本文仅讨论m=0，i ii即时滞量为采样周期整数倍的情况。对于m。0的情况，可以参考文献［3］。i将方程（8）写为状态方程的形式，有：（11）Z(t)=AZ(t)+2NaBV(t-（11）iii=1其中，Z（t）=A=0-KB其中，Z（t）=A=0-KB=i采用零阶保持器，即：V（t）=V（k），kT<t<（k+1）Ti则方程（11）可离散为［3］：Z(k+1)=FZ(k)+2NaGV(k-l)iiii=1其中，F=eat，G=JTeatdtB，i=1,…,N。i0 i a对方程(13)进行如下状态变量增广：'Z (k)=V(k-1)2N+1

a11Z (k)=V(k-1)2N+1 1a1Z (k)=V(k-1)2N+N2a-11+1 Na Naai

i=1并定义新的状态变量：Z并定义新的状态变量：Z (k)=V(k-1)2N+N2a1 Naai

i=1Z(k)=[Z(k),Z (k),…，Z (k)]T2N+1 %a 2N+乙lai则方程(Z(k)=[Z(k),Z (k),…，Z (k)]T2N+1 %a 2N+乙lai则方程(13)可转变成如下标准离散状态方程形式「Z(k+1)=FZ(k)+GV(k)其中:V(k)=[V(k),…,V(k)]T，F=[F,F,…,F],G=[G，…,G上式中:G0…0i00…0•••..,.•…,00…001…0••••..,..,00…100…0•••..,.•…,00…01F=iTi-1£ljj=1j(i丰1)，G(2N+£/)=1(其余各项全为零ia jj=14多时滞离散最优控制为了保证系统具有令人满意的连续动态响应性能目标函数：选取如下连续二次型J=Js[Zt(t)QZ(t)+Vt(t)QV(t)]dt其中，Q为非负定对称阵，Q为正定对称阵。对性能指标函数进行离散化并转成标准形式，有⑶：j=£[zk=1其中:Q1=T(k)QZ(k)+VT(k)QV(k)]Q1Q0T10Q01Q1100iQ1i00…Q0NQT0i0Qii0QiN0a人 ，Q=QT(21)2 2QN10a0…QNi0…QNN0… 0a上式中：e1=iTft(t)qf(t)dtTOC\o"1-5"\h\zQ=[JTFT(t)QG(t)dt]B,i=1,…,N (22)0i 0 111 i aQ=Bt[JTGT(t)QG(t)dt]B,i,j=1,…,NIiji011 111j a其中，G(t)=J%Atdi。上式中Q、Q、Q以及F(t)、G(t)的迭代计算11 0 1 0i ij 11见文献[3]。根据离散最优控制设计方法，可得控制律为⑶：V(k)=-LZ(k)—LZ(k)-LV(k-1) L V(k-—LZ(k)-LV(k-1) L V(k-1) L21 111+11一...—LEi.j=1i1+1jE1+2

jj=1V(k-l)V(k—1)—…一LV(k—1)—…一Lna1 N NE1+2aajj=1ENa1+1jj=1V(k-1)N

a(23)其中，L、L、…、L 是L中相应维数的分块矩阵。L的递推过程可参考2 ENaE1+1j文献［3］。由公式(2§)可看出，在每一步的控制实现中，不但包含有当前步的状态反馈，而且包含有前若干步控制的线性组合。上式的控制律为模态坐标的函数，实际中应由所测量的物理坐标中提取出模态坐标，具体提取方法可参考文献［3］。5数值仿真为显示文中所给方法的有效性，在此进行仿真验算。悬臂板采用铝合金材料，尺寸为600mmx300mmx1.5mm，弹性模量E=69GPa，材料密度pp=2.7x103kg/m3，材料的泊p松比为v=0.3。与文献⑵中相yy同，压电作动器位置及粘贴如图疹 厂1所示。采用两组压电作动器对0-板的前2阶模态进行控制，并且琢 *-—0.3m每组压电作动器中使用同样大喙一小的控制电压压电作动器尺寸%J」为60mmx15mmx0.5mm，弹性 0-6m ►模量E=69Gpa，材料的泊松 图1压电作动器板上的位置pe比为v=0.3,压电作动器的弯pe曲应变常数和剪应变常数d=1.75x10-10m/V和d=0。其中一组位于悬臂31 36板的根部，正面和反面各两片，对称粘贴，其中心的坐标分别为(0.043m,0.1m)和(0.043m,0.2m)，时滞量用人表示；另一组压电片中心坐标1为(0.55m,0.15m)，共两片，沿板平面反对称粘贴，其中在板正面的压电片与x轴成45。，反面一片与x轴成135o，时滞量用九表示。梁的各阶模态阻尼2

比为C=0.005。计算中数据采样周期取为T=0.01s。假定梁自由端存在初i始条件攻（0.6,0,0）=0.02m,力（0.6,0,0）=0。压电陶瓷一般每毫米可以承受高达2000伏的电压，但只有在外加电场强度不超过每毫米300伏的时候，压电陶瓷的电场强度才和应变关系体现为线性关系。本算例中假定压电作动器最大工作电压为150V。通过仿真计算对以下几种情况进行比较：（1）无时滞控制设计；（2）系统存在时滞量九=0.10s、九=0.15s，但是对时滞不进行处理；3）系统存在时滞量九=0.10s、九=20.15s，采用本文的时滞处理方法。选取增益_ 1 2 _矩阵为Q=diag（100,100,1,1），Q=diag（10-7,10-7）o图2为悬臂板右下端（0.6m,0）处的响应时程和压电电压时程。可看出，如果对时滞不进行处理，控制系统出现发散；使用本文中的时滞控制方法，