分式方程应用题常见错例分析

分式方程应用题常见错例分析

分段方程式（应用程序）是考试中必要的内容，也是易于丢失的内容。通过学生的练习,我在日常教学中发现了一些典型错例,现呈现如下:一、典型错误和分析(一)理解的错误和分析这里涉及到分式方程的概念。例1.下列各式中哪些是分式方程?错解1:分式方程有12456;错解2:分式方程有:2346。(二)程序知识的错误和分析程序性知识错误是指解方程过程中出现的一些错误。主要有如下六种错误:2.原方程的解—去分母时,漏乘常数项。得x-3+1=--3.x=-1.检验:当x=-1时,x-2≠0,∴x=-1是原方程的解。错例分析:将分式方程化为整式方程时,需要去分母,本例中去分母时没有遵守等式的基本性质,不含分母的项没有乘以最简公分母。3.原方程的解检验:当x=4时,x-2≠0,∴x=4是原方程的解。错例分析:本例中将2-x和x-2视为相等的量,造成这个错误的原因是审题不仔细或者不清楚二者之间的联系。4.视了线条作用错例分析:分数线可以表示除号、比号或括号。本题的错解正是忽视了分数线的括号作用。当分子是多项式,分数线前面是负号时,必须将题目中分数线隐含的作用——括号作用显象出来,即去分母时,将分子用括号括起来,然后再按照去括号法则去括号。5.最简公分母为0错例分析:将分式方程化为整式方程时,整式方程的解有可能使得最简公分母为0。若最简公分母为0,则这个解不是原方程的解;否则是原方程的解。此错解中x=4使得最简公分母x-4=0,此时分式没有意义,故x=4不是原方程的解。(三)战略知识的错误和分析策略性知识是关于如何学习、如何思维的知识,它体现问题解决的过程。在这个过程中,学生易犯的错误有以下三条:1.甲骑自行车和乙骑自行车进出了1公里的速度例8.列方程(组)解应用题:某乡村距城市50千米,甲骑自行车从乡村出发进城,出发1小时30分钟后,乙骑摩托车也从乡村出发进城,结果比甲先到1小时.已知乙的速度是甲的速度的2.5倍,求甲、乙两人的速度。2.下走路段速度例9.甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发,甲每小时走的路程是乙每小时所走路程的,结果比乙提前20分钟到达目的地。求甲、乙的速度。错例分析:错误的原因是审题不仔细,忽视“甲每小时走的路程是乙每小时所走路程的”中用的单位是小时,所以没有将20分钟化为小时。3.求原计划铺设管道x米例10.列方程或方程组解应用题:某市为了治理城市污水,需要铺设一段全长为300米的污水排放管道,铺设120米后,为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工作量比原计划增加20%,结果共用了27天完成了这一任务,求原计划每天铺设管道多少米?错解:设原计划每天铺设管道x米,则实际上每天铺设(x+20%)米,根据题意得错例分析:错解的原因是学生没有理解“比原计划增加20%”的含义,头脑中没有理解百分数的意义。实际上把这句话可以翻译成“比原计划增加原计划的20%”,学生就不会出错了。二、营造良好的教学心理如果把教材看作一种静态的教学资源,那么学生作业中的错误则是一种动态的教学资源,它可以让老师们从中发现学生哪些知识没掌握好。面对各种各样的错误,老师们应以一种冷静平和的心态去面对它,去反思自己的备课环节和课堂教学环节中的不足,去钻研教材,研究学生的心理、研究学生知识的薄弱点并制定进一步的教学对策。在这个过程中,学生的思维得到发展了,老师的教学技能也加强了,这就是教学相长的道理所在。以下是我针对上述典型错例制定的一些教学对策。(一)加强概念教育为了明确分式方程和整式方程的区别,我设计了以下两个步骤:1.首先，让学生回顾整个和分段风格的概念，然后给学生们提供一组练习，以真正体验分工和风格之间的差异练习:下列式子中,哪些是分式?哪些是整式?两类式子的区别是什么?2.生成母中含有对数的理解让学生分组讨论分析分式方程必须满足的两个条件:⑴带有“=”。⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的标准。为了强化这个概念,有效降低错误的发生率,出示一组练习:下列各式中哪些是分式方程?哪些是整式方程?并说出整式方程和分式方程的区别?(二)分式方程的步骤解分式方程的基本思想是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母。应给学生充分渗透这种化归思想的教学。通过前面的错例发现学生在去分母时容易发生各种各样的错误,为避免这种错误,我认为,在教学中课前应先复习最简公分母,然后再引导学生归纳解分式方程的步骤:1.将分母分解因式,达到更准确快捷地找出最简公分母;2.去分母,将分式方程化为整式方程,让学生充分体会化归思想;根据等式的基本性质,将分式方程中的每一项必须同时乘以最简公分母;特别注意:(1)不要漏乘不含分母的项;(2)当分式的分子是多项式时,将分数线看作括号,将分子括起来。3.求解整式方程;解完后,老师可以提出问题:整式方程的解一定是分式方程的解吗?学生小组充分讨论后得出:整式方程的解不一定是分式方程的解,如果整式方程的解使得分母不为0,那它是原分式方程的解,否则就不是原方程的解。因此最后必须验根;4.检验整式方程的解是否是原方程的解。特别注意:这个检验是包含两方面的:(1)首先检验整式方程的解是否使得原方程左右两边相等,这个过程不需要写在答题纸上;(2)检验整式方程的解是否使得最简公分母为0,从而确定是否是原分式方程的解,这个过程需要写在答题纸上。(三)分式方程学习艺术新课标提出要培养学生的建模意识,发展学生的数学思维。其实,用方程解应用题本身就是一个建模的过程,方程的建模仍是一个难点。困难在于:一大堆的文字语言叙述,看着就头疼,不愿意读,更不愿意思考;条件很多,不知该如何联系和运用;可以设出未知数,却不知如何去找等量关系?鉴于上述困难,我着手从以下六个方面来训练学生用分式方程解应用题的能力:审、设、列、解、验、答。错例分析:造成错误的本质原因是对概念理解不透彻。对于什么是分式,什么是方程,什么是分式方程,学生理解不到位。例如错解1,学生将视为分式方程,原因是分式的概念在头脑中没有建构,从而将分式和分数混淆。对于错解2,学生误将认为是分式方程,原因是只认识到分式,而忽略方程的概念,实际上方程是一个等式,没有等号的式子是不能叫方程的,更不是分式方程了。1.u3000常见错误错解:方程两边都乘以x(x+3),得x+3=2x,解得x=3.检验:当x=3时,x(x+3)≠0.∴x=3是原方程的解。错例分析:分式方程化为整式方程时,需要去分母,去分母关键就是找出最简公分母。本例错误的原因就是不会找最简公分母,忽略了分母中的常数因子2,另外2不知不觉消失了。错解:方程两边同时乘以x-2得x-3+x-2=3.x=4.错解:去分母,得5-x+2=3(x-7),解得x=7。检验:当x=7时,x-7=0,所以原方程无解。错解:去分母得5-x-1=x-4,解得x=4。错解:设甲的速度是x千米/时,则乙的速度为2.5x千米/时,根据题意得(其余步骤略)错例分析:错解中没有理清在进城过程中,甲比乙多用了2.5个小时。错误的本质原因是没有仔细审题,不会运用数形结合(画图)的思想去思考问题。1.先让学生仔细读题,圈画关键词或有用的信息点(包括已知和未知),然后将这些关键词重新再梳理一遍,理清题目中的变量和不变量;如:例8中乡村和城市之间的距离是隐含的不变量。同时,对于行程问题,可以提醒学生用画图去解决问题,体现数形结合的思想。3.明确一些公式;如:路程=速度×时间,工作量=工作效率×工作时间等等。4.从多个等量关系中挑选出合适的等量关系;如例8,通过读题发现是追及问题,因此可以通过画图来分析题目中的重要信息点,从而得出两个等量关系:1甲用的时间=乙用的时间+1.5+1,2乙的速度=甲的速度×2.5。本题所求是两人的速度,所以选择1作为等量关系来列方程。5.根据题意,设未知数x;注意:一般题目中的所求可直接设为未知数,有时也可间接设;如例9中,根据等量关系2,一般“设甲的速度为x千米/时”更合适。6