安徽省蚌埠市怀远一中高三第六次月考数学文试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2012—2013学年安徽省蚌埠市怀远一中高三第六次月考数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的项，将序号填写在答题卡上）1．（5分）设合集U=R，集合A=｛x｜x2+x+1≥0｝，B=｛x｜x≥3｝,则A∩（CUB）=(）A．｛x｜x＜3｝B．｛x｜0＜x≤3｝C．{x｜x≤0}D．{x|x＞3｝考点:交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由集合A=｛x|x2+x+1≥0｝=R，B={x|x≥3｝，先求出CUB={x|x＜3｝，再计算A∩(CUB）．解答:解：∵集合A={x｜x2+x+1≥0｝=R,B=｛x|x≥3｝，∴CUB={x|x＜3}，∴A∩（CUB）={x|x＜3}．故选A．点评：本题考考查集合的交、并、补集的运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等式的合理运用．2．（5分)设是虚数单位，若,则a2+b2的值（)A．8B．10C．3D．2考点:复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件．专题：计算题．分析:把给出的等式的左边运用复数的除法运算化简整理，然后根据复数相等的充要条件求得a，b，最后代入a2+b2求值．解答:解:∵又，∴﹣1+3i=a+bi,∴a=﹣1,b=3,则a2+b2=(﹣1）2+32=10．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件,两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部,此题是基础题．3．(5分）（2007•深圳一模)函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数考点：余弦函数的奇偶性；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用二倍角公式、诱导公式把函数化简为﹣sin2x，通过考查﹣sin2x的性质得出结论．解答：解：=cos2（x+）=﹣sin2x，其周期为，且是奇函数，故选A．点评：本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，体现了整体的思想．把函数化简为﹣sin2x是解题的关键．4．（5分)（2012•芜湖二模）已知{an｝是等差数列,a6+a7=20，a7+a8=28,则该数列前13项和S13等于(）．A．156B．132C．110D．100考点：等差数列的性质．分析：根据等差数列的性质,由条件先求得a7，再由s13=13a7解得．解答：解：由a6+a7=20，a7+a8=28知4a7=48,∴a7=12，S13=13a7=156故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质和其前n项和公式两种形式的选择．5．（5分）若圆(x﹣a）2+y2=2的圆心到直线x﹣y+1=0距离为，则实数a等于（）A．1或3B．1或﹣3C．﹣1或3D．﹣1或﹣3考点：直线与圆的位置关系．专题:计算题;直线与圆．分析：利用圆(x﹣a）2+y2=2的圆心到直线x﹣y+1=0距离为,建立方程，即可求得a的值．解答：解：∵圆（x﹣a)2+y2=2的圆心到直线x﹣y+1=0距离为，∴d==∴a=1或﹣3故选B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离公式，属于基础题．6．(5分）（2012•包头一模)若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（)A．﹣1B．0C．3D．4考点：简单线性规划．专题:计算题．分析:作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，截距最小，此时z最大，从而求出z=2x﹣y的最大值．解答:解:画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x﹣z,作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2,1)时,直线的纵截距最小，此时z最大,最大值为4﹣1=3故选C点评:本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，属于基础题．7．(5分）已知某几何三视图如图所示,则该几何体的表面积是（）A．24B．C．36D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由几何体的三视图知,该几何体是四棱锥，并且四棱锥的一条棱垂直于底面，由此能求出该几何体的表面积．解答：解:由几何体的三视图知，该几何体是如图所求的四棱锥S﹣ABCD，SC⊥平面ABCD，SC=DC=4,BC=3，ABCD是矩形，∴SD=4，AC=5，SA=，SB=5，cos∠ASD==,cos∠ASB==,∴sin∠ASD=，sin∠ASB=，∴S△SAD==6．S△ASB==10，∴该几何体的表面积S=S矩形ABCD+S△SDC+S△SBC+S△SAB+S△SAD=3×4+++10+6=36+6．故选B．点评：本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，注意空间想象能力的培养．8．（5分)（2013•临沂一模）函数f(x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，)的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象,则只要将f(x）的图象(）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点:函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据图象确定A和T的值,进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值,再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x)的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数,再平移即可．解答：解：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ）,又因为f（）=sin（+φ）=﹣1∴+φ=+2kπ，φ=(k∈Z）∵|φ｜，∴φ=∴f（x）=sin（2x+)=sin(+2x﹣）=cos（2x﹣）∴将函数f（x）向左平移可得到cos［2（x+）﹣］=cos2x=y故选C．点评：本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换．根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定A的值和最小正周期的值，进而求出w的值，再将特殊点代入求φ的值．9．(5分)（2011•哈尔滨模拟）已知函数，则函数y=f(x)的大致图象为(）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析:由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．解答：解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数,图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x＞0时,函数值大于0恒成立，故排除D，故选B．点评：本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项．排除法是解选择题常用的一种方法．10．（5分)（2012•芜湖二模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x)=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数,α,β是钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是（)A．f(sinα）＞f（cosβ)B．f（cosα）＜f(cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f(cosβ）考点：偶函数；函数单调性的性质．专题：综合题．分析:由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β,从而有0＜sinα＜sin（90°﹣β）=cosβ＜1由f(x）满足f（2﹣x）=f（x）函数为偶函数即f（﹣x)=f（x）可得f（2﹣x)=f（x），即函数的周期为2,因为函数在在[﹣3，﹣2］上是减函数，则根据偶函数的性质可得在［2,3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断解答：解：∵α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β∴0＜sinα＜sin(90°﹣β)=cosβ＜1∵f(x）满足f（2﹣x）=f（x），∴函数关于x=1对称∵函数为偶函数即f（﹣x）=f(x）∴f(2﹣x）=f（x)，即函数的周期为2∴函数在在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2,3］单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增∴f(sinα)＜f（cosβ）故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f（2﹣x）=f(x），偶函数满足的f（﹣x）=f（x）可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β．本题是综合性较好的试题．二、填空题．（本大题共5题，每小题5分,共25分，把答案填在答题卡相应位置）11．（5分）(2012•普陀区一模）函数的定义域是（0,1）∪（1,2）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由题意可得＞0，0＜｜x﹣1｜＜1，由此求得函数的定义域．解答：解:∵函数，∴＞0，0＜|x﹣1｜＜1．解得0＜x＜1，或1＜x＜2,故函数的定义域为(0，1)∪(1，2）,故答案为（0，1）∪(1，2）．点评：本题主要考查对数函数的定义域,得到＞0，是解题的关键，属于基础题．12．(5分）在直角坐标系平面内，与点C(0，0）距离为1，且与点B(﹣3，4）距离为4的直线条数共有3条．考点:点到直线的距离公式．专题:计算题．分析：分别以C(0，0）为圆心1为半径和B（﹣3，4）为圆心4为半径做圆，有几条公切线就是几条,这两个圆是外切，所以只有3条．解答：解：以C（0，0)为圆心1为半径和B（﹣3，4）为圆心4为半径做圆，∵|BC｜==5，5=1+4，∴两圆外切，它们有3条公切线，∴在直角坐标系平面内，与点C（0,0）距离为1，且与点B（﹣3,4）距离为4的直线条数共有3条，故答案为：3．点评：本考查两点间距离公式和点到直线的距离公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．13．(5分）（2013•肇庆二模)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值是4．考点：程序框图．专题：计算题．分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是利用循环计算累加并输出满足条件S≥100时的k值，模拟程序的运行结果，即可得到答案．解答:解：第一次进入循环后：S=1,K=1第二次进入循环后：S=3，K=2第三次进入循环后:S=11,K=3第四次进入循环后：S=2059，K=4故答案为：4．点评:本题考查的知识点是程序框图，其中利用模拟程序执行过程的方法，求解程序的运行结果是解答此类问题常用的方法．14．（5分)（2011•长春模拟）命题“∃x∈R,2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2］．考点：命题的真假判断与应用;函数恒成立问题．分析：它的否命题“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立"问题，只需△≤0．解答：解：原命题的否命题为“∀x∈R,2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立,只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得:﹣2≤a≤2．故答案为：［﹣2，2］点评：存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想,去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．15．（5分）给出以下五个命题：其中正确命题的序号是①②③⑤．①命题“对任意x∈Rx2+x+1＞0"的否定是“存在x∈Rx2+x+1≤0”②函数在区间（0、1)上存在零点③“a=1"是“函数y=cos2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件④直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8交于A、B两点,则⑤若直线2ax﹣bx+8=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣8y+1=0周长则最小值为9．考点:命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析:根据全称、特称命题的否定方法，可判断①的真假；根据零点存在定理可得②的真假;对于③,利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项；对于④，先求出圆心到直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长｜AB|；⑤由题意可知圆x2+y2+4x﹣8y+1=0的圆心（﹣2，4）在直线2ax﹣bx+8=0上，可得a+b=2，而=（）（a+b）,展开利用基本不等式可求最小值．解答：解：①对，因为命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是:“∃x∈R，x2+x+1≤0”．②中f(0)=1＞0，f(1）=﹣1＜0，根据零点存在定理,得函数在区间（0、1）上存在零点．可知②正确;③：函数y=cos2ax，它的周期是=π,a=±1，显然“a=1”可得“函数y=cos2ax的最小正周期为π”,后者推不出前者,∴“a=1”是“函数y=cos2ax的最小正周期为π"的充分不必要条件，正确;④：圆x2+y2=8的圆心为（0，0），半径等于2，圆心不在直线x﹣2y+5=0上,由圆的性质可知,,故④不对；⑤：由圆的性质可知，直线2ax﹣bx+8=0即是圆的直径所在的直线方程，∵圆x2+y2+4x﹣8y+1=0的圆心(﹣2，4）在直线2ax﹣bx+8=0上∴﹣4a﹣4b+8=0即a+b=2,∵=（)（a+b)=（10++）≥（10+8）=9，当且仅当=取等号，∴的最小值9，正确．故答案为:①②③⑤．点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，熟练掌握相关的基本概念是关键．三．解答题．（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c且=2csinA(1）求角C的大小（2）若△ABC为锐角三角形,且△ABC面积为,求a+b的值．考点：解三角形．专题:计算题;解三角形．分析:（1）由=2csinA,利用正弦定理得=，由此能求出∠C．（2）由△ABC为锐角三角形,知∠C=60°．由，且△ABC面积为，知,由此能求出a+b．解答：解：(1）∵=2csinA，∴=，解得sinC=，∵∠C是△ABC的内角，∴∠C=60°，或∠C=120°．（2）∵△ABC为锐角三角形，∴∠C=60°．∵，且△ABC面积为,∴，即,∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25,∴a+b=5．点评：本题考查解三角形的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意正弦定理和等价转化思想的合理运用．17．(12分)第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：会俄语不会俄语总计男女总计30并回答能否在犯错的概率不超过0。10的前提下认为性别与会俄语有关？（参考公式:K2=其中n=a+b+c+d）参考数据:P（K2≥k00。400。250.100.010k00.7081。3232。7066。635(Ⅱ）已知会俄语的6名女记者中有4人曾在俄罗斯工作过,若从会俄语的6名女记者中随机抽取2人做同声翻译，则抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率是多少?考点:独立性检验；独立性检验的应用．专题:概率与统计．分析：（I）根据列联表，看出各种情况的数据，代入求临界值的公式，做出观测值，拿观测值同临界值表进行比较，得到能在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关；（II）将会俄语的6名女记者分别记为A，B，C，D,E，F其中A，B，C，D曾在俄罗斯工作过，利用列举法，求出所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数,代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）2×2列联表如下：…（2分）会俄语不会俄语总计男10616女6814总计161430由于K2═30（10×8﹣6×6）2÷(16×14×16×14）≈1.1575＜2.706，…(4分）所以能在犯错的概率不超过0。10的前提下认为性别与会俄语有关…(6分）（Ⅱ)将会俄语的6名女记者分别记为A,B，C，D，E,F其中A,B，C，D曾在俄罗斯工作过则从这六人中任取2人有取法：AB,AC，AD，AE，AF,BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种…（8分）其中抽出的2人都在俄罗斯工作过的取法有6种…（10分)则抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率P==…（12分）点评：本题考查独立性检验的列联表，考查独立性检验的观测值，考查判断能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关,解题的关键是注意解题时数字运算要认真，不要出错18．(12分)（2011•广东模拟）如图，已知三棱锥A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点,且△PMB为正三角形．（1)求证：DM∥平面APC；（2)求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4,AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．考点:直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定．专题:计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）要证DM∥平面APC，只需证明MD∥AP(因为AP⊂面APC)即可．(2)在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC,即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；（3)因为BC=4，AB=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥D﹣BCM的体积．解答：证明：(I）由已知得,MD是△ABP的中位线∴MD∥AP∵MD⊄面APC，AP⊂面APC∴MD∥面APC;(4分)(II）∵△PMB为正三角形，D为PB的中点∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P∴AP⊥面PBC（6分）∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC，（8分)∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC；（10分)（III）由题意可知，MD⊥面PBC，∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，∴．(14分）点评：本题考查直线与平面的平行,三棱锥的体积,平面与平面垂直的判定，是中档题．19．（13分）已知数列｛an}是等差数列，且a2=7，a5=16，数列｛bn｝是各项为正数的数列,且b1=2，点（log2bn，log2bn+1)在直线y=x+1上．（1）求{an｝、｛bn}的通项公式；(2）设cn=anbn，求数列｛cn}的前n项的和Sn．考点:数列递推式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题．分析：（1）由题设知,所以an=3n+1，再由点（log2bn，log2bn+1）在直线y=x+1上，知log2bn+1=log2bn+1，所以，由此能导出bn．（2)由cn=anbn得cn=（3n+1)2n，Sn=4×2+7×22+…+（3n+1）2n,然后由错位相减法能求出Sn=4+（3n﹣2）2n+1．解答：解：(1）∵数列{an}是等差数列，且a2=7,a5=16，∴，∴a1=4,d=3,∴an=3n+1（3分）又点(log2bn，log2bn+1）在直线y=x+1上，∴log2bn+1=log2bn+1，∴log2bn+1﹣log2bn=1，，bn+1=2bn，又b1=2，∴bn=2n（6分）（2）由cn=anbn得cn=（3n+1）2n（7分)∴Sn=4×2+7×22++（3n+1)2n①2Sn=4×22+7×23++(3n+1）2n+1②①﹣②得﹣Sn=4×2+3×22++3×2n﹣（3n+1)2n+1（11分）∴﹣Sn=8+3×22（2n﹣1﹣1）﹣(3n+1）2n+1=﹣4﹣（3n﹣2)2n+1∴Sn=4+(3n﹣2)2n+1（13分）点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意通项公式的求法和错位相减求和法的合理运用．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上（Ⅰ）求圆C的方程;（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．专题：常规题型；综合题．分析:（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标,利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标,进而算出半径,写出圆的方程;法二：可设出圆的一般式方程,利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A,B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．解答:解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为(0，1），与x轴的交点为（3+2,0)，（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上,故可设该圆的圆心C为（3,t),则有32+（t﹣1）2=(2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3)2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程,故有有D=﹣6，F=1,E=﹣2即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0(Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2,y2），其坐标满足方程组,消去y,得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a,y2=