高考北师大版数学（理）一轮复习学案2-7函数的图像

第七节函数的图像命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节是高考的一个热点，主要考查函数图像的识别以及函数图像的应用，如利用函数图像解函数零点问题、解不等式问题、求参数的取值范围问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等.本节通过对函数图像及其应用考查数形结合思想的运用和考生的数据分析、逻辑推理、数学建模核心素养.授课提示：对应学生用书第33页知识点函数的图像1.描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）；最后：描点，连线.2.利用图像变换法作函数的图像（1）平移变换y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(a＞0，右移a个单位长度),\s\do5(a<0，左移|a|个单位长度))y＝f（x－a）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(b＞0，上移b个单位长度),\s\do5(b＜0，下移|b|个单位长度))y＝f（x）＋b.（2）伸缩变换y＝f（x）＝y＝f（ωx）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(A＞1，伸长为原来的A倍),\s\do5(0＜A＜1，缩短为原来的A倍))y＝Af（x）Ｗ.（3）对称变换y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f（x）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f（－x）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f（－x）.（4）翻折变换y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图像翻折到左边去))y＝f（|x|）；y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(留下x轴上方图),\s\do5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f（x）|.•温馨提醒•二级结论函数图像对称变换的相关结论（1）y＝f（x）的图像关于直线x＝m对称的图像是函数y＝f（2m－x）的图像.（2）y＝f（x）的图像关于直线y＝n对称的图像是函数y＝2n－f（x）的图像.（3）y＝f（x）的图像关于点（a，b）对称的图像是函数y＝2b－f（2a－x）的图像.必明易错函数图像的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（－2x）的图像到f（－2x＋1）的图像是向右平移eq\f(1,2)个单位长度，其中是把x变成x－eq\f(1,2).f（x）＝x＋eq\f(1,x)的图像关于（）A.y轴对称 B.x轴对称 D.直线y＝x对称解析：函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）且f（－x）＝－f（x），即函数f（x）为奇函数.答案：C①中的图像是函数y＝f（x）的图像，则图②中的图像对应的函数可能是（）A.y＝f（|x|） B.y＝|f（x）|C.y＝f（－|x|） D.y＝－f（－|x|）解析：因为题图②中的图像是在题图①的基础上，去掉函数y＝f（x）的图像在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图像翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图像对应的函数可能是y＝f（－|x|）.答案：C，函数f（x）的图像为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是__________.解析：在同一直角坐标系内作出y＝f（x）和y＝log2（x＋1）的图像（如图）.由图像知不等式的解集是（－1，1].答案：（－1，1]4.（易错题）设f（x）＝2－x，g（x）的图像与f（x）的图像关于直线y＝x对称，h（x）的图像由g（x）的图像向右平移1个单位长度得到，则h（x）＝__________.解析：与f（x）的图像关于直线y＝x对称的图像所对应的函数为g（x）＝－log2x，再将其图像右移1个单位长度得到h（x）＝－log2（x－1）的图像.答案：－log2（x－1）授课提示：对应学生用书第34页题型一函数图像的识别[例]（2020·高考浙江卷）函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图像可能为（）解析：因为f（x）＝xcosx＋sinx，则f（－x）＝－xcosx－sinx＝－f（x），即题中所给的函数为奇函数，函数图像关于坐标原点对称，据此可知选项C、D错误；且x＝π时，y＝πcosπ＋sinπ＝－π＜0，据此可知选项B错误.答案：A函数图像的识别方法（1）特殊点法：根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图像是否经过这些点，若不满足则排除.（2）函数性质法：根据选项中的图像特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项，有时需要借助导数工具求解.（3）极限思想：应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高.（4）图像变换法：有关函数y＝f（x）与函数y＝af（bx＋c）＋h的图像问题的判断，熟练掌握图像的平移变换（左加右减，上加下减）、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题.[题组突破]1.（2021·淄博模拟）函数f（x）＝ln（x2＋2）－ex－1的图像可能是（）解析：当x→＋∞时，f（x）→－∞，故排除D；易知f（x）在R上连续，故排除B；且f（0）＝ln2－e－1＞0，故排除C.答案：Af（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A.f（x）＝x2－2ln|x|B.f（x）＝x2－ln|x|C.f（x）＝|x|－2ln|x|D.f（x）＝|x|－ln|x|解析：由函数图像可得，函数f（x）为偶函数，且x＞0时，函数f（x）的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，eq\f(\r(2),2)，2，1，由此可得仅函数f（x）＝x2－ln|x|符合条件.答案：B题型二函数图像的应用函数图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.常见的命题角度有：（1）研究函数的性质；（2）研究不等式.考法（一）研究函数的性质[例1]已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）B.f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）C.f（x）是奇函数，递减区间是（－1，1）D.f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）[解析]将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f（x）的图像，如图所示，观察图像可知，函数f（x）的图像关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1，1）上单调递减.[答案]C利用函数的图像研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图像的函数，其性质常借助图像研究：（1）从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值.（2）从图像的对称性，分析函数的奇偶性.（3）从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.考法（二）研究不等式[例2]（1）若不等式（x－1）2＜logax（a＞0，且a≠1）在x∈（1，2）内恒成立，则实数a的取值范围为（）A.（1，2] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.（1，eq\r(2)） D.（eq\r(2)，2）（2）设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________.[解析]（1）要使当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，只需函数y＝（x－1）2在（1，2）上的图像在y＝logax的图像的下方即可.当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈（1，2）时，y＝（x－1）2的图像在y＝logax的图像的下方，只需（2－1）2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是（1，2].（2）如图所示，作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x－1的图像，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞）.[答案]（1）A（2）[－1，＋∞）当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.[题组突破]f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（1）＝0，则不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)＜0的解集为（）A.（－1，0）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－1，0）∪（0，1）解析：因为f（x）为奇函数，所以不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)＜0可化为eq\f(f（x）,x)＜0，即xf（x）＜0，f（xxf（x）＜0的解集为（－1，0）∪（0，1）.答案：D2.（2021·贵阳模拟）已知函数f（x）的图像如图所示，则函数g（x）＝logeq\r(2)f（x）的定义域是__________.解析：当f（x）＞0时，函数g（x）＝logeq\r(2)f（x）有意义，由函数f（x）的图像知满足f（x）＞0的x∈（2，8].答案：（2，8]函数图像应用中的核心素养（一）直观想象——数形结合思想在函数问题中的应用[例1]已知函数f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x＜0，))则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，则下列不等式成立的是（）A.f（x1）＋f（x2）＜0 B.f（x1）＋f（x2）＞0C.f（x1）－f（x2）＞0 D.f（x1）－f（x2）＜0[解析]函数f（x）的图像如图所示，且f（－x）＝f（x），从而函数f（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数.又0＜|x1|＜|x2|，所以f（x2）＞f（x1），即f（x1）－f（x2）＜0.[答案]D数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，f（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上为增函数的性质，进而得出结论f（x1）－f（x2）＜0.（二）创新应用——由实际问题的变化过程探究函数图像[例2]广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f（x），则y＝f（x）的图像大致为（）[解析]根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π），[π，2π），[2π，4π），[4π，6π]，当x∈[0，π）时，函数值不变，y＝f（x）＝1；当x∈[π，2π）时，设eq\o(O2P,\s\up6(→))与eq\o(O2O1,\s\up6(→))的夹角为θ，因为|eq\o(O2P,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(O2O1,\s\up6(→))|＝2，θ＝x－π，所以y＝（eq\o(O2P,\s\up6(→))－eq\o(O2O1,\s\up6(→))）2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，所以y＝f（x）的图像是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π）时，eq\o(O1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))，设eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OO1,\s\up6(→))的夹角为α，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OO1,\s\up6(→))|＝1，α＝2π－eq\f(1,2)x，所以y＝|eq\o(O1P,\s\up6(→))|2＝（eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))）2＝5－4cosα＝5－4coseq\f(x,2)，函数y＝f（x）的图像是曲线，且单调递减.[答案]A解决此类问题，可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图像；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图像的变化特征，从而得出结果.[题组突破]f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,ln（x＋1），x＞0.))若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A.（－∞，0] B.（－∞，1]C.[－2，1] D.[－2，0]解析：由y＝|f（x）|的图像（如图所示）知，①当x＞0时，只有a≤0时才能满足|f（x）|≥ax.②当x≤0时，y＝|f（x）|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f（x）|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立；当x＜0时，不等式等价为x－2