北师大数学总复习第5章第3课时等比数列及其前n项和

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．（2014·辽宁沈阳一模）已知各项不为0的等差数列｛an｝满足2a2－aeq\o\al(2,7)＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于(）A．16 B．8C．4 D．2解析：由等差数列性质得a2＋a12＝2a7,所以4a7－aeq\o\al（2,7)＝0，又a7≠0,所以a7＝4，b7＝4，由等比数列性质得b3b11＝beq\o\al(2，7）＝16，故选A.答案：A2．（2014·江西临川模拟)在等比数列中，已知a1aeq\o\al（3,8)a15＝243，则eq\f(a\o\al（3，9）,a11)的值为(）A．3 B．9C．27 D．81解析：a1aeq\o\al（3，8）a15＝243,∴a8＝3，又∵eq\f(a\o\al（3,9）,a11)＝eq\f（a8q3,a8q3)＝aeq\o\al(2，8），∴eq\f（a\o\al(3，9),a11）＝9.故选B.答案：B3．(2014·孝感模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则aA．5eq\r（2） B．7C．6 D．4eq\r（2）解析：∵｛an｝为等比数列,∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3）（a7a8a9）＝50，∵an>0，∴答案:A4．(2012·高考广东卷）若等比数列{an｝满足a2a4＝eq\f(1，2），则a1aeq\o\al（2，3）a5＝________。解析:由等比数列性质可得aeq\o\al（2,3)＝a2a4＝a1a5，所以a1aeq\o\al（2,3)a5＝（a2a4)2＝eq\f（1，4)。答案:eq\f（1，4）5．（2012·高考辽宁卷）已知等比数列｛an｝为递增数列．若a1>0,且2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________。解析：∵2(an＋an＋2）＝5an＋1,∴2an＋2anq2＝5anq，化简得,2q2－5q＋2＝0，即（2q－1)（q－2)＝0，由题意知，q〉1。∴q＝2。答案：26．在等差数列{an}中，a1＝1,a7＝4，数列｛bn｝是等比数列，已知b2＝a3，b3＝eq\f(1,a2)，则满足bn<eq\f(1,a80）的最小自然数n是________．解析：{an}为等差数列，a1＝1，a7＝4,6d＝3，d＝eq\f（1,2)。∴an＝eq\f（n＋1,2）,｛bn}为等比数列,b2＝2，b3＝eq\f(2，3)，q＝eq\f（1,3).∴bn＝6×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）））n－1，bn〈eq\f（1，a80)＝eq\f(2,81），即6×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）)）n－1<eq\f（2，81），得出32－n<3－4，∴n>6,又n∈N＋，∴nmin＝7。答案:77．(2013·高考全国新课标)已知等差数列｛an｝的公差不为零,a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（1）求｛an｝的通项公式；（2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解:（1）设｛an｝的公差为d，由题意得aeq\o\al（2，11)＝a1a13，即（a1＋10d）2＝a1(a1＋12d）．于是d(2a1＋25d又a1＝25,所以d＝0(舍去)，d＝－2。故an＝－2n＋27。(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2。由(1）知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2｝是首项为25,公差为－6的等差数列．从而Sn＝eq\f（n，2）(a1＋a3n－2）＝eq\f（n,2)(－6n＋56）＝－3n2＋28n。8．（创新题）已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋c。(1）求c的值并求数列｛an｝的通项公式；（2）若bn＝Sn＋2n＋1,求数列｛bn｝的前n项和Tn。解:（1)当n＝1时,a1＝S1＝2＋c,当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2＋c，n＝1,，2n－1，n≥2，n∈N＋，))∵数列{an｝为等比数列,∴a1＝2＋c＝1,∴c＝－1。∴数列{an}的通项公式an＝2n－1。（2)∵bn＝Sn＋2n＋1＝2n＋2n，∴Tn＝（2＋22＋…＋2n）＋2（1＋2＋…＋n)＝2(2n－1)＋n(n＋1)＝2n＋1－2＋n2＋n。【B级】能力提升1．(2012·高考北京卷）已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是（）A．a1＋a3≥2a2 B．aeq\o\al（2,1）＋aeq\o\al（2,3）≥2aeq\o\al(2，2)C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1,则a4〉a2解析:设出等比数列｛an｝的首项与公比，利用等比数列的通项公式求解．设｛an}的首项为a1,公比为q，则a2＝a1q，a3＝a1q2。∵a1＋a3＝a1(1＋q2)，又1＋q2≥2q，当a1>0时，a1(1＋q2)≥2a1q,即a1＋a3≥2a2当a1〈0时，a1（1＋q2）≤2a1q即a1＋a3≤2a2∵aeq\o\al(2，1）＋aeq\o\al（2,3）＝aeq\o\al（2,1）（1＋q4），又1＋q4≥2q2且aeq\o\al(2，1)>0,∴aeq\o\al(2，1)＋aeq\o\al(2，3)≥2aeq\o\al（2，2)。故B正确．若a1＝a3，则q2＝1。∴q＝±1.当q＝1时，a1＝a2；当q＝－1时,a1≠a2.故C不正确．D项中，若q>0,则a3q〉a1q，即a4〉a2；若q〈0，则a3q〈a1q,此时a4〈a2，故D不正确．答案：B2．若数列{an｝满足eq\f(a\o\al(2，n＋1)，a\o\al（2，n））＝p（p为正常数，n∈N＋），则称{an}为“等方比数列”．甲:数列｛an｝是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则(）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的充要条件C．甲是乙的必要条件但不是充分条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：乙⇒甲，但甲⇒/乙,如数列2,2，－2,－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列．答案:C3．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（)A．13项 B．12项C．11项 D．10项解析：设前三项分别为a1,a1q，a1q2，最后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1。所以前三项之积aeq\o\al(3，1)q3＝2，最后三项之积aeq\o\al（3,1)q3n－6＝4。所以两式相乘，得aeq\o\al(6,1）q3(n－1）＝8，即aeq\o\al（2，1)qn－1＝2。又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aeq\o\al（n,1)qeq\f（nn－1，2）＝64，即(aeq\o\al（2,1）qn－1)n＝642,即2n＝642。所以n＝12。答案：B4．(2013·高考广东卷）设数列｛an｝是首项为1，公比为－2的等比数列,则a1＋|a2|＋a3＋|a4｜＝________.解析：由首项和公比写出等比数列的前4项,然后代入代数式a1＋|a2｜＋a3＋｜a4｜求值．也可以构造新数列，利用其前n项和公式求解．方法一：a1＋｜a2｜＋a3＋|a4|＝1＋｜1×（－2)|＋1×（－2）2＋｜1×(－2)3｜＝15。方法二：因为a1＋｜a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3｜＋|a4｜,数列{|an｜｝是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为eq\f（1－24，1－2）＝15.答案：155．(2012·高考课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析：由S3＋3S2＝0得4a1＋4a2＋a3＝0，有4＋4q＋q2＝0，解得答案：－26．（2012·高考江西卷)等比数列｛an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________。解析:由｛an}为等比数列可知an≠0，又∵an＋2＋an＋1－2an＝0，∴q2＋q－2＝0，∴q＝1(舍)或q＝－2。∴S5＝eq\f(1×［1－－25]，1－－2）＝11.答案：117．(创新题)已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f（1＋x)＝f(1－x),直线g（x）＝4(x－1）被函数f（x）的图像截得的弦长为4eq\r(17），数列{an}满足a1＝2，（an＋1－an）g（an)＋f(an）＝0(n∈N＋)．（1)求函数f(x）；（2）求数列｛an｝的通项公式;（3）设bn＝3f（an)－g(an＋1），求数列{bn}的最值及相应的n解：(1）依题意，设f（x)＝a(x－1)2(a〉0），则直线g(x）＝4（x－1)与函数y＝f（x)图像的两个交点为（1，0)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(4,a）＋1，\f(16,a）)），∵eq\r(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（4,a）))2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（16，a）））2）＝4eq\r(17），∴a＝1,f（x）＝（x－1）2.(2)f(an）＝(an－1）2，g(an）＝4(an－1),∵（an＋1－an)·4（an－1）＋(an－1)2＝0，∴（an－1）(4an＋1－3an－1)＝0，∵a1＝2，∴an－1≠0,∴4an＋1－3an－1＝0，∴an＋1－1＝eq\f(3，4)(an－1)，又a1－1＝1，∴数列{an－1}是首项为1，公比为eq\f(3，4)的等比数列，∴an－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,4)）)n－1，an＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，4）)）n－1＋1。(3)bn＝3(an－1)2－4（an＋1－1）＝3eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，4)））n－1))2－4eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，4））)n，设bn＝y，u＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,4））)n－1,则y＝3eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4