医科数学：第一节 不定积分

1第三章一元函数积分学第一节不定积分一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质三、基本积分公式四、换元积分法五、分部积分法六、有理函数的积分第二节定积分第三节反常积分第四节定积分的应用16-18学时2一、原函数与不定积分的概念定义3-1

若在某区间上有

例如：，则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数（primitivefunction）.3一、原函数与不定积分的概念易见：因为：4若一、原函数与不定积分的概念定义3-2函数f(x)在某区间上的原函数全体，称为

f(x)在该区间上的不定积分（indefiniteintegral），记作则.5一、原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义：

F(x)是f(x)的一条积分曲线．

将F(x)沿y轴平移C

个单位，即得关于f(x)的积分曲线族．

积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处的切线互相平行．6一、原函数与不定积分的概念（例题）例.

求过点，且在其上任意一点(x,y)处的切线斜率为x的曲线方程．解：设所求曲线方程为y=F(x)，则7二、不定积分的性质性质１性质２证：证：求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算.8二、不定积分的性质性质３性质４证：9三、基本积分公式

返回返回返回10三、基本积分公式(2)

11三、基本积分公式

直接积分法(例题)例1.例2.练习.12三、基本积分公式直接积分法(例题)例3.练习.例4.131.第一换元积分法（凑微分法）四、换元积分法（integrationbysubstitution）14用上述公式计算不定积分的方法，定理3-1设f(u)具有原函数F(u)，四、换元积分法

1.第一换元积分法（凑微分法）可导，则称为第一换元积分法，其关键是凑出积分变量，使被积式成为某个函数的微分，然后再利用基本积分公式求出结果，故此方法又称为凑微分法.151.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例1.基本积分公式16

1.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例2.17

1.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例3.练习.18

1.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例4.基本积分公式医科Ⅲ作业1.习题三:4(9)(10)(11)(14)(15)(18)，5(4)(6)(8)(9)(10)(11)(13)(14).19

1.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例5.基本积分公式例6.201.第一换元积分法（凑微分法）（例题）练习题211.第一换元积分法（凑微分法）（例题）221.第一换元积分法（凑微分法）（例题）231.第一换元积分法（凑微分法）（练习题）1.3.2.医科Ⅱ作业1.习题三:

4(9)(10)(11)(14)(15)(18)，5(4)(6)(8)(9)(10)(11)(13)(14).241.第一换元积分法（凑微分法）复习251.第一换元积分法（凑微分法）复习例7261.第一换元积分法（凑微分法）复习271.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例7.例8.281.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例9.291.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例10.301.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例11.311.第一换元积分法（凑微分法）（例题）例12.已知

求解：321.第一换元积分法（凑微分法）

凑微分法常见类型331.第一换元积分法（凑微分法）

凑微分法常见类型34练习题（凑微分法）跳过练习35练习题１答案36练习题２答案37练习题３答案38练习题4答案39练习题5答案40练习题6、7答案2.第二换元积分法41补充练习题1答案42补充练习题2答案43补充练习题3答案第二换元积分法练习题44四、换元积分法

2.第二换元积分法（例题）定理3-2设g(t)具有原函数G(t)，则单调可导，例1.第二换元积分法且45或2.第二换元积分法（例题）46例2.2.第二换元积分法（例题）例3.472.第二换元积分法（例题）故48例4.2.第二换元积分法（例题）49例5.2.第二换元积分法（例题）50例6.2.第二换元积分法（例题）医科Ⅱ作业2.习题三:

5(17)(18)(19)(23)(26)(30).51或2.第二换元积分法（例题）522.第二换元积分法（练习题）53练习题（第二换元积分法）跳过练习医科Ⅲ作业2.习题三:

5(17)(18)(19)(23)(26)(30).54练习题１答案55练习题２答案56练习题３答案57练习题３答案58练习题４答案4.59五、分部积分法（integrationbyparts)定理3-3设u=u(x)和v=v(x)具有连续的导数，则有故称为分部积分公式.例1.因即60五、分部积分法（例题）例2.例3.61五、分部积分法（例题）例4.62五、分部积分法（练习题）63五、分部积分法（例题）例5.例6.64五、分部积分法（例题）例7.医科Ⅱ作业3.习题三:

6(4)(6)(7)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15).65五、分部积分法（例题）例8.例966五、分部积分法（练习题）或67五、分部积分法（例题）例9.例1068五、分部积分法（例题）或69五、分部积分法（例题）例10.70五、分部积分法（例题）例11.练习题71五、分部积分法（例题）例12.72五、分部积分法分部积分法分类：

1.73五、分部积分法分部积分法分类：

2.3.74分部积分练习题１答案75分部积分练习题２答案恒等变形常用公式医科Ⅲ作业3.习题三:

6(4)(6)(7)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15).

76分部积分补充练习题1答案77分部积分补充练习题2答案78不定积分中常用的公式79不定积分中常用的公式80练习题1.2.3.81练习题１答案1.82练习题２答案2.

83练习题２答案2.84练习题３答案3.85练习题３答案3.86六、有理函数的积分两个多项式的商表示的函数，称为有理函数：

若分子分母之间无公因式，则当n<m时为真分式，当n≥m

时为假分式．87六、有理函数的积分利用多项式除法，

可以将假分式化成一个多项式与一个真分式之和．例如：88六、有理函数的积分

多项式的积分可以逐项进行，现在只需讨论真分式的积分问题．为了解决真分式的积分，需要将真分式分解为部分分式之和的形式．所谓部分分式是指，分母仅为一次因式的若干次幂或二次质因式的若干次幂．例如：89六、有理函数的积分真分式化为部分分式的一般规律：90六、有理函数的积分真分式化为部分分式的一般规律：91六、有理函数的积分（例题）例1.计算解：92六、有理函数的积分（例题）93六、有理函数的积分（例题）解：例2.计算94六、有理函数的积分（例题）解：例3.计算95六、有理函数的积分（例题）有时，可以通过恒等变形，直接将有理式化为部分分式之和，而不必用待定系数法．例4.96六、有理函数的积分（例题）例5.97六、有理函数的积分（例题）例6.见下页98六、有理函数的积分（例题）99六、有理函数的积分将有理函数化为部分分式后，只有三种情况：

这三类积分均可积出，且原函数都是初等函数．

故有理函数的原函数是初等函数．但初等函数的原函数不一定是初