第01讲 集合及其表示法（9种题型）（教师版）

第01讲集合及其表示法（9种题型）QB【课程细目表1一、知识梳理二、考点剖析.集合的含义.元素与集合关系的判断.集合的确定性、互异性、无序性.集合相等.有限集与无限集..集合的表示法——描述法.集合的表示法——列举法.集合的表示法——区间法.集合的表示法——综合应用三、过关检测O【知识梳理】一、集合的意义.集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集.集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一.比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定.互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现.例如由元素1,2,1组成的集合中含有两个元素；1,2.无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的..集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母4、B、。…来表示，集合中的元素用b、c…表示，如果。是集合A的元素，(3)用描述法得集合；(4)点集，第一、三象限点的横纵坐标同号得解.【详解】解(1)♦••—。一eN*,xeZ,・・・3—x取值为6,3,2,1.从而所求集合为{0儿2,-3}.3-x(2)・・,|x|,,2,xwZ,.・.x=±2,±l,0,对应丁的值为3,0,-1.故该集合表示为{3,0,—1}.3){x|x=5m,A£N}.4){(x,y)\xy>Q,x,yeR}.【点睛】本题考查集合的表示方法.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.台【过关检测】一、单选题.下列各对象可以组成集合的是()A.与1非常接近的全体实数B.某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C.高一年级视力比较好的同学D.与无理数万相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B.下面每一组的两个集合，相等的是( )A.”={(1,2)},N={(2,1)} B.M={1,2},TV={(1,2)}C.M=0,N={0} D.M= 2x+l=o},N=6【答案】D【分析】由相等集合的概念一一分析每个选项中的集合，然后进行比较即可得出答案.【详解】A选项中(1,2),(2,1)表示两个不同的点，・・・MiN,・••该选项不符合；B选项中集合M有两个元素1,2是实数，N有一个元素(1,2)是点，，N,・••该选项不符合;A.{1}B.(1,1)c.{(U)}D.{1,1}【答案】C【分析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来.【详解】••A.{1}B.(1,1)c.{(U)}D.{1,1}【答案】C【分析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来.【详解】••x+y=2x-y=0・•・方程组的解构成的集合是｛（1,1）｝c选项中集合M是空集，集合N是含有一个元素0的集合，・・•ATN,•・•该选项不符合;D选项中由V—2x+1=0得%=%=1, M=｛1｝=N,.二该选项符合.故选：D.【点睛】本题考查了相等集合的判断，属于基础题.x+y=2x-y=Q.方程组《'八的解构成的集合是x-y=Q故选c.【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写..（2020•上海高一专题练习）下列命题中正确的（）①0与｛0｝表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1｝；③方程（x—l）2（x—2）=0的所有解的集合可表示为｛1,1,2｝；④集合U|4<x<5｝可以用列举法表示.A.只有①和④ B.只有②和③C.只有② D.以上语句都不对【答案】C【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③.【详解】①⑻表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示.故选：C.5.已知非零实数。，5.已知非零实数。，4J则代数式同+同+一表示的所有的值的集合是A.{3} B.{-3} C.{3,-3} D.{3,-3,1,-1}【答案】D【分析】根据绝对值的定义分类讨论，按中正负数分类.x x【详解】当x〉0时，，凡=1,当x<0时'NUT'因此，若。力,。都为正数，则abc同问卜=3；若两正一负,cib因此，若。力,。都为正数，则abc同问卜=3；若两正一负,cib则不彳若一正两负,c—=一］；若。力,c都为负数,ab则甲同=—3.所以代数式向+肌+向表示的所有的值的集合是{3,-3,1,-1}.故选：D.【点睛】本题考查绝对值的定义，对于含多个绝对值的式子，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得结论.6.集合{(九,刈初,0,%£氏丁£尺}是指()A.第二象限内的所有点A.第二象限内的所有点C.第二象限和第四象限内的所有点B.第四象限内的所有点D.不在第一、第三象限内的所有点【答案】Dx<0\x>Q【分析】根据冲<0可得<八或1一再分析点的集合即可.[”0K<0[x<0(x>Q【详解】因为孙<0,故〈 八或《 八，故集合{(羽丁)|町,,0/£尺，£/?}是指第二、四象限中的〔”。心。点，以及在工,丁轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D【点睛】本题主要考查了集合中的元素的理解、象限的理解与辨析.属于基础题.二、填空题7.10的所有正因数组成的集合用列举法表示为.【答案】{1,2,5,10}【分析】由因数分解知：正因数的分解形式有10=1x10=2x5,列举法写出正因数集合即可.【详解】•••对于正因数分解,有10=1x10=2x5,...其正因数组成的集合为{1,2,5,10).故答案为：{1,2,5,10}8.集合P=且xeZ},用列举法表示集合尸= x-3【答案】{-3,0,1,24,5,6,9}【分析】由已知可得一9—£Z,则-6Wx—3W6,解得—3WxW9且xwZ,结合题意，逐个验证，即可x—3求解.{6 6x|一且qeZ},可得——eZ,则YWx—3<6,x-3 x-3解得一3<%<9且工£2,当x=—3时，—^―=-leZ,满足题意；-3-3当x=—2时，」一二—9eZ,不满足题意；-2-3 5当犬=—1时，—^―= 不满足题意；-1-3 2当工=0时，-=-2eZ,满足题意；0-3八当x=l时，一=-3eZ,满足题意；1-3当x=2时，—=-6eZ,满足题意；2-3当x=3时，—,此时分母为零，不满足题意；3—3当x=4时，—=6eZ,满足题意；—3当x=5时，—=3eZ,满足题意；—3当x=6时，—=2eZ,满足题意；6-3当x=7时，"= 不满足题意；7-32当％=8时，工二9任工，不满足题意；8—35当x=9时，一9—二1$Z,满足题意；9-3综上可得，集合P={-3,0,1,2,4,5,6,9}.故答案为：{-3,0,1,2,4,5,6,91..已知集合走{1,2,才-2目，若3£4则实数不 .【答案】3或一1【分析】根据3£/即可得出才一2天3,解方程得到。即可.【详解】:3£4/二{1,2,一一2a},:•百一2折4解得3F-\或3故答案为-1或3.【点睛】本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题..用符号或“右”填空TOC\o"1-5"\h\z0N, 75N, V16N八Q,n Q2^2-73+72+75{%|%=。+后,〃£。*£。)【答案】e eege【分析】(1)。是自然数，石不是自然数，后=4是自然数，分别可得元素与集合的关系；(2)是有理数，万不是有理数，分别可得元素与集合的关系；(3)Ha/5+Jz+0可化简为x=〃+疯,。力的形式，可得元素与集合的关系・【详解】(1)0是自然数，则OwN；石不是自然数，则有任W；加=4是自然数，则Ji%£N;(2)―,是有理数，则—〃不是有理数，则乃任。；2 2=V6=0+V6xie\x\x=a+\l6b,a^Q.b=V6=0+V6xie\x\x=a+\l6b,a^Q.bgQ故答案为：(1)e,任，e；(2)e,任；(3)e.IL集合A=｛x|qx2+(q—6)x+2=0｝是单元素集合，则实数〃=【答案】0,2或18【分析】集合A是单元素集合，即方程只有一个根，分。=0和QW0两种情况，求出实数。即可.【详解】当〃=0时，A=Jik符合题意；当〃。0时，令△=(。一6)2-8。=0,即片—20q+36=0，解得〃=2或18故答案为：0,2或18Ie1,a,—1｝,则a的值是.【答案】2【分析】分片—〃一1=1和。=1两种情况求出a的值，并检验是否符合集合的互异性，可得答案.【详解】当片—Q—1=1时，解得4=2或—1若〃=2,则集合为｛1,2,—1｝,符合题意；若Q=—1,不满足集合的互异性，舍去；当。=1时，不满足集合的互异性，舍去；则。的值是2故答案为：2.集合｛1,4,9,16,25｝用描述法来表示为.【答案】｛xk=22,%£N+,lVZ<5｝【分析】因为1=仔,4=22,9=32,16=42,25=5?满足x=r，即可得到结果.【详解】因为1=12,4=2\9=32,16=42,25=52所以集合{1,4,9,16,25}=卜卜=/，丘产,1〈人＜5}故答案为：{%1=k2,攵cN+,14人＜5}.已知集合M=&|(%—a)(x2-ax+a-l)=0}各元素之和等于3,则实数。=.3【答案】2或一2【分析】由题意知M中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论乙，七是否相等即可求实数。・【详解】由题意知:M={x\(x-a)(x2-ax+a-l)=0}中元素，即为一依+"_])=()的解,，x—a=0或f一依+〃-1=0，可知：或%+%3=。/.〃=2或。=一,2、3故答案为：2或不2【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题..已知集合24=}母=工2+1,|%|,,2,工£2},用列举法表示为.【答案】{1,2,5}【分析】解不等式1灯,,2,由工£工，确定工的值，再由＞=/+1,得出y的值，从而确定集合A.【详解】由IM,,2,解得—2Vx＜2因为xeZ,所以x可取一2,—1,0,1,2当R取—2,—1,0,1,2时，y对应的值分别为5,2,1,2,5根据集合的互异性可知，A={1,2,5)故答案为：{1,2,5}【点睛】本题主要考查了用列举法表示集合，属于基础题.三、解答题.已知V£口,0/},求实数x的值.【答案】-1【分析】由元素与集合的关系，分类讨论f=l、％2=0、/=%三种情况，得出工的值，再由集合中元素的性质去验证，进行取舍，得出结果.【详解】因为炉£{1,0,X}所以％2=1或12=0或解得x=±l或x=0由集合元素的互异性可知xw0且xw1所以，x=-l【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，集合的性质等基本知识，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目..含有3个实数的集合可表示为„/},也可表示为{/m+^o},求"期+*0的值.【答案】*09+210=7【分析】分析由集合相等的概念及集合中元素的互异性进行求解可得答案.【详解】={“:a+b,o}0w*,—,1}.而aw0,此时{兄0,1}={/.0},・"2=].解方程，〃=±1.当4=1时，与集合中元素互异性不符，，a=-1,b=0.A6Z2009+Z?2010=-l.【点睛】本题考查集合相等的概念，对于有限集相等，可知元素对应相等，在求解注意满足集合的元素的互异性，属于基础题..选择适当的方法表示下列集合.%小。腌中的所有字母组成的集合；（2）所有正偶数组成的集合；y=x（3）二元二次方程组{ 2的解集；y=x（4）所有正三角形组成的集合.【分析】（1）（3）用列举法表示集合，（2）（4）用描述法表示集合.【详解】解：（1）列举法：{W,G/,c,o,m}；(2)描述法：｛x|x=2匕攵eN*｝；(3)列举法：｛(0,0),(1,1)｝；(4)描述法：｛x|x是正三角形｝.【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题..用适当的方法表示下列集合(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A(2)被3除余2的自然数全体组成的集合6(3)直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【分析】(1)利用列举法表示集合；(2)利用描述法表示集合；(3)利用描述法表示集合；【详解】解：(1)大于0且不超过6的全体偶数有2,4,6,故集合4=｛2,4,6｝；(2)被3除余2的自然数全体组成的集合3=｛x|x=3〃+2,〃£N｝；(3)直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C=｛(羽y)k(0,y)O,x£A,y£尺｝.【点睛】本题考查集合的表示，属于基础题..用适当的方法表示下列集合.(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(2)由所有非负偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第三象限的点组成的集合.【分析】(1)利用列举法表示集合；(2)利用描述法表示集合；(3)利用描述法表示集合；【详解】解：(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数有3、5、7、11、13、17、19；故由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合为｛3,5,7,11,13,17』9｝；(2)由所有非负偶数组成的集合为｛x|x=2〃，〃eN｝；【点睛】本题考查集合的表示，属于基础题.就记作读作“。属于A"；如果。不是集合A的元素，就记作A,读作“〃不属于A”.常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N,不包含零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集R+）、有理数集Q（负有理数集Q-）、整数集Z（正整数集Z+）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集N*；.集合相等如果两个集合A与B的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B..集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合一一空集，规定空集不含元素，记作0,例如，方程/+1=0的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集..空集我们把不含任何元素的集合，记作。。二、集合的表示方法1.集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程V—5x+6=0的解的集合，可表示为{2,3},也可表示为{3,2}在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：A= 满足性质。}（集合A中的元素都具有性质p，而且凡具有性质p的元素都在集合A中），这种表示集合的方法叫做描述法.例如，方程5工+6=0的解的集合可表示为{xx2-5x+6=0}.集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合.为了方便起见，我们引入区间（interval）的概念.[q闭区间在数轴上表示\_a,b) (a[q闭区间在数轴上表示\_a,b) (aJ)_(a,b)开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点.___'■K【考点剖析】一.集合的含义例1.（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上①②④.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点（0,0）的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式3x-10<0的所有正整数解.【分析】根据已知条件，结合集合的含义，即可求解.【解答】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确，②在平面直角坐标系中，到定点（0,0）的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正确，③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误，④不等式标-10V0的所有正整数解，即原不等式的集合为｛1,2,3）,符合集合的定义，故④正确.故答案为：①②④.【点评】本题主要考查集合的含义，属于基础题.【变式】下列所给对象不能构成集合的是.（1）高一数学课本中所有的难题；（2）某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过L80米的学生；(5)1,2,3,1.【答案】(1)(3)(5)二.元素与集合关系的判断例2.用““或"住”填空(1)-3N；(2)3.14Q；(3)1Z； 3 (4) R：(5)1N*；(6)0N.【答案】⑴任(2)e⑶e(4)e (5)e(6)e【变式】用£或右填空：0N【答案】G【分析】可知0是自然数，即可得出.【详解】,・・0是自然数，/.OeN.故答案为：e.例3.(2022秋•金山区期末)已知集合4={2, 且1EA,则实数。的值为一【分析】由题意可知2a-1=1,求出。的值即可.【解答】解：：.2a-1=1,解得〃=1,故答案为：1.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题.【变式1】集合P={x|g;2+4x+4=0,x£R}中只含有1个元素，则实数。的取值是【答案】0或1【分析】分。=0和QW0两种情况讨论求得.【详解】当〃=0时，方程为4工十4=0,解得x=—L此时P={-1},满足题意；当。时，则A=42—4qx4=0,解得々=1,此时P={-2},满足题意，故答案为：0或1.【点睛】易错点睛：本题考查根据集合元素的个数求参数，注意需要讨论4=0的情况，这是往往容易漏掉的地方.【变式2】（2022秋•浦东新区期末）已知集合A={2,/+3。+3},且1GA,则实数。的值为-1或-2【分析1根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解.【解答】解:集合A={2,d+3〃+3},且1E,贝I」/+3。+3=1,解得q=-1或-2.故答案为：-1或-2.【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题.【变式3】（2022秋•浦东新区期末）-行€R.（用符号“即或“针填空）.【分析】根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解.【解答】解：一，故答案为：e.【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题.【变式4］已知集合S满足条件：若〃wS,则匕幺£5（。工0,〃。±1）.若3eS,试把集合S中的所有1-a元素都求出来.【答案】3,—2,—321+1 1则rf君11+1 1则rf君1- I3；【详解】TOC\o"1-5"\h\z1+3 1+(—2) 1【详解】3e5,/.--=-2e5,从而■;~――= e1—3 1一(-2) 3・•・一^二3wS,出现循环，根据集合中元素的互异性可得集合S中的所有元素为3,-2,-不二.1_1 322【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题.三.集合的确定性、互异性、无序性例4.（2022秋•黄浦区校级月考）若集合”={历b,c}中的元素是△A8C的三边长，则一定不是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={〃，b,c}中，必有〃、b、。互不相等，则△A3C不会是等腰三角形.【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合加={〃，b,c}中，必有。、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；故选：D.【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可.【变式】（2021秋•奉贤区校级月考）如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【分析】利用集合元素的互异性求解.【解答】解：因为集合中任何两个元素都不相等，所以这个三角形的任意两边都不相等，所以这个三角形一定不可能是等腰三角形，故选：D.【点评】本题主要考查了集合元素的互异性，是基础题.四、集合相等例5.若集合A={1,。}与3={1, 相等，则a=【答案】0【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解.【详解】因为集合A= 与8 相等,所以a=/,解得。=0或々=1（舍去，不满足集合中元素的互异性），故答案为：0【变式1】）下面每一组的两个集合，相等的是（ ）A.M={（1,2）},N={（2』）} B.M={1,2},N={（1,2）}C.M=0,N={0} D.M=[x\x2-2x+l=o]9N={1}【答案】D【分析】由相等集合的概念一一分析每个选项中的集合，然后进行比较即可得出答案.【详解】A选项中（1,2）,（2,1）表示两个不同的点，・•・/】N,・••该选项不符合；B选项中集合M有两个元素1,2是实数，N有一个元素（1,2）是点，，Al】N,，该选项不符合；C选项中集合M是空集，集合N是含有一个元素0的集合，・・・/】N,・••该选项不符合；D选项中由X2—2x+l=0得％=%=1，••M-{1}=N, 该选项符合.故选：D.【点睛】本题考查了相等集合的判断，属于基础题.【变式2】下列表示同一个集合的是（）A.M={（3,2）},N={（2,3）} B.M={3,2},N={2,3}C.M={3,2},N={（2,3）} D.〃={0},N=。【答案】B五、有限集与无限集.例6.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于一3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合.【分析】由于（1）（3）表示的集合都是无限集，所以利用描述法表示，（2）表示的是有限的5个元素，所以利用列举法表示【详解】解：（1）［（x,y）\x<0,y<0},它是无限集；{-2,0,2,4,6,8},共有6个元素，是有限集；{x\x=10k+7,k&Z）,它是无限集.【点睛】此题考查了集合的表示方法，属于基础题.六.集合的表示法——描述法例7.（2022秋•崇明区期末）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为{（、y）IxVO,y>0}.【分析】根据第二象限点的符号特征求解即可.【解答】解：直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为：{（x,y）k<0,y>0).故答案为：{(x,y)以<0,y>0}.【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题.【变式1】被4除余2的所有自然数组成的集合8=【答案】{九Ix=4攵+2,左wZ}【分析】用集合描述法表示.【详解】被4除余2的所有自然数组成的集合B=[x\x=4女+2,左£Z}故答案为：{x\x=4k+2,k^Z]【点睛】此题为基础题，考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.【变式2]