人教版八年级数学上册章节知识点

全等三角形目标了解全等三角形的性质，掌握全等三角形的证明，角平分线的性质及其证明重点全等三角形的证明，角平分线的性质及其证明难点全等三角形与角平分线的证明章节内容第一节：全等三角形形状大小放在一起完全重合的图形，叫做全等形。换句话说，全等形就是能够完全重合的图形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个全等的三角形重合放在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。两个三角形全等用符号“≌”表示。如∆ABC≌∆A'B'C'。其中对应的边是AB与A'B'、AC与A'C'、BC与B'C'。如若前一个三角形的边的表示字母变换位置，那么后一个三角形的对应字母也要变换位置，如CB与C'B'为对应边。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。：三角形全等的判定上节中知道全等三角形的三条对应边，三个对应角均分别相等。那么是否可以从逆推得三角形全等呢？由于三角形具有稳定性，那么画图得两个对应边分别相等的三角形，发现它们全等，对应角也相等。再次，画图得两个对应角分别相等的三角形，发现，它们的对应边成比例，但是不一定相等，例如，两个等边三角形，角都相等，但是边长不一定相等。所以有判定一：三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）。画图得两个角度相等，边分别相等的两个角，依次分别连接角的边的端点，得两个全等的三角形（两边与夹角确定第三边）。有判定二：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边或SAS）。画图得两条长度相等的线段，分别以线段两端点为起点做射线，射线与线段的夹角对应相等，两条射线相交与一点，形成两个三角形。这两个三角形全等。有判定三：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角或ASA）。画图得两个角度和一边对应相等的两个角，分别从该边向另一边引一条射线，射线与另一边的夹角对应相等。形成的两个三角形全等。有判定四：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边或AAS）。画图得两个直角三角形，它们的斜边和一条直角边对应相等，这两个三角形全等。有判定五：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或HL）。：角的平分线的性质作图：已知，求作的平分线做法：1、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；2、分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C；3、画射线OC。射线OC即为所求。从射线OC上任选一点，分别作OA、OB的垂线段，沿着OC折叠，会发现OA、OB的垂线段完全重合。故，有角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。同理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；②回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；③正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。可以逆推，由需要证明的结论一步步推导出已知条件。第十二章轴对称目标了解轴对称图形的特点，掌握轴对称图形的做法，等腰三角形的性质。重点轴对称图形的做法，等腰三角形的性质难点轴对称图形的做法，等腰三角形的性质章节内容：轴对称如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。把一个图形沿着以一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。第二节：作轴对称图形做轴对称图形的步骤：1、选择已知图形的关键点；2、依次过它们做垂直于已知直线的垂线，截取直线两边的线段长度相等，则新点即是已知图形的关键点关于直线对称的点；3、依次连接各个点。所得图形即为已知图形的轴对称图形。轴对称图形可以经过旋转得出。用坐标轴表示轴对称：关于x轴对称（x，y）与（x，-y）；关于y轴对称（x，y）与（-x，y）。：等腰三角形有两个边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的性质：1）等腰三角形的两个底角相等。简言之：等边对等角。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简言之：等角对等边。一种特殊的等腰三角形——等边三角形，三条边相等，三个角相等并且都为60º。反推，三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。第十三章实数目标了解n次方根的表示方法以及实数的分类，掌握n取不同值时a的n次方根的符号变化，会开n次根式，熟练n次根式混合运算的计算方法。重点n取不同值时a的n次方根的符号变化，开n次根式难点开n次根式，熟练n次根式混合运算的计算方法章节内容第一节：平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根为0。从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根，即二次根号下的数据必须大于或等于零才有意义。一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根或者二次方根。即如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。第二节：立方根同平方根类似，一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如x3=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。同理，一个数a的n次方根，用符号“”表示，读作“n次根号a”，其中a是被开方数，n是根指数。n的取值范围是大于或等于2，并且当n取偶数时，a的n次方根有两个（一正一负互为相反数）；当n取奇数时，a的n次方根只有一个，符号根据a的符号而定，0的n次方根均为0。：实数无限不循环小数又叫无理数。无理数和有理数统称实数。它们均有正负之分。在数轴上，实数都可以被表示出来，反过来讲，数轴上的每一个点都表示一个实数。同理，平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也是一一对应的。有理数的一些性质也适用于实数：数a（表示实数）的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。有理数的加减乘除法则也适用于实数。运算公式：可以推导到所有n次方根运算。，（b≠0），（，n为奇数，b为最简数无法分成某整数的n次方形式）；（，n为偶数，b为最简数无法分成某整数的n次方形式）。第十四章一次函数目标了解函数的表示方法，学会函数图象的画法，掌握正比例函数、一次函数图象的特点，会求函数解析式，通过对函数和方程（组）与不等式的关系学习，能熟练用函数选择实际问题中的最佳方案。重点函数图象的画法，正比例函数、一次函数图象的特点，求函数解析式，通过对函数和方程（组）与不等式的关系学习，能熟练用函数选择实际问题中的最佳方案。难点求函数解析式，通过对函数和方程（组）与不等式的关系学习，能熟练用函数选择实际问题中的最佳方案章节内容：变量与函数在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。数值始终不变的量为常量。一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值，又叫做因变量。简单说，函数其实就是多元方程的变形，多元方程用消元法时，用x、z等变量表示y所形成的式子就是一个函数式。表示y与x的函数关系的式子，叫做函数解析式。多数函数的式子很难列，但是可以从图上来直观的反映出来。对于可以列出式子的函数，画图表示会使函数关系更清晰。一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。如：上图就是函数的图象。从图象中，我们可以看出一些规律：y随着x的增大而增大。描点法画函数图象的一般步骤：列表（列出一些自变量的值及其对应的函数值）；描点（在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；连线（按横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来）。列表格、写式子和画图象表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图像法。：一次函数一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。一般地，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线。当k>0时，直线经过第三、一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大（增函数）；当k<0时，直线经过第二、四象限，从左到右下降，即随着x的增大y反而减小。一般地，形如的函数，叫做一次函数。当b=0是，即为，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作由直线平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。(1)(3)(2)(1)(2)(3)一次函数的性质：当k>0时，y随着x的增大而增大（图象从左到右上升，增函数）；当k<0时，y(1)(3)(2)(1)(2)(3) 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。确定具体的函数解析式，用到二元一次方程组的运算法。：用函数观点看方程（组）与不等式函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，这相当于已知直线，确定它与x轴交点的横坐标的值。函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化为或的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。函数与二元一次方程组的关系：一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值，从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。：课题学习选择方案做一件事情，有时有不同的实施方案。比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划。在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数。例如：省钱方案、省时方案等。解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型。第十五章整式的乘除与因式分解目标掌握整式的乘除与因式分解的方法重点整式的乘除与因式分解难点整式的乘除与因式分解章节目标第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。在应用法则运算时，要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。2．幂的乘方一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。另有：（m、n都是正整数）。当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3。底数有时形式不同，但可以化成相同。要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=an+bn（a、b均不为零）。3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2）单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式。单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序。3）多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得。第二节：乘法公式1.平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即。其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。2.完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即。口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央。结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。添括号法则：添括号是，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。即添正不变号，添负各项变号。去括号法则同样。第三节：整式的除法1.同底数幂的除法法则：一般地，有(a≠0，m、n都是正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a≠0。②任何不等于0的数的0次幂等于1，即,如100=1，(-2.5)0=1，则00无意义。③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数)，等于这个数的p的次幂的倒数，即(a≠0，p是正整数),而0-1，0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一定是正的；当a<0时，a-p的值可能是正也可能是负的，如，；④运算要注意运算顺序。2.整式的除法1）单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；2）多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。特点：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。第四节：分解因式把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系：（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。分解因式的一般方法：1.提公共因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如：。概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是“积”；（2）公因式可能是单项式,也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：易错点点评：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；（2）公因式是否提“干净”；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉。2.运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种