江苏省无锡市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

无锡市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.是虚数单位，复数的虚部为（）A.1 B. C.2 D.2.如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，这两个几何体分别是（）A.三棱柱和四棱柱 B.三棱柱和五棱柱 C.三棱台和五棱台 D.三棱柱和六棱柱3.在中，，，，则（）A. B. C. D.4.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A. B. C. D.5.中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则是（）A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形6.是虚数单位，若复数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.母线长为6的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.8.在中，，，，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.下列说法正确的是（）A.棱柱的侧棱长都相等B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥C.棱台的侧面是等腰梯形D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面10.已知向量，，，设，的夹角为，则（）A. B. C. D.11.在复数集内，下列命题是真命题的是（）A.若复数，则 B.若复数满足，则C.若复数，满足，则 D.若复数满足，则12.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则取值范围是D.若为边上的中点，则的最大值为3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______.14.在中，若，，，则______.15.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为______.16.图1是一个正六边形蜂窝状置物架，它设计简约、美化空间，深受大众喜爱，图2是从置物架图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若，则的值为______；若正六边形的边长均为2，点是折线上的动点（含端点），则的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知是虚数单位，复数满足.（1）求复数的共轭复数；（2）若，且，求实数的值.18.设向量，满足，且.（1）求与的夹角；（2）求的大小.19.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知，，且.（1）求原平面图形的面积；（2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的空间几何体的表面积和体积.20.在中，角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.若，，点是边上的一点，且______.求线段的长.①是的中线；②是的角平分线.21.如图，在四边形中，，，，且，.（1）求实数的值；（2）若，是线段上的动点，且，求的最小值.22.阳春三月，草长莺飞，正是春游的好季节，但是随着客流量的猛增，我市景区道路拥堵、停车困难的问题日益凸显.市交通部门为缓解某热门景区停车难的问题，决定在景区附近开辟一个如图所示的临时停车场，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为120米，且.设.（1）当米，时，求的长；（2）当米时，求临时停车场面积的最大值及此时的值.无锡市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.答案：C解：，虚部为22.答案：B3.答案：A解：在中，，，，由余弦定理可得；故；∴.4.答案：B解：∵∴与共线又与有公共点，∴三点共线∵与不共线∴三点不共线，则及均不共线5.答案：C解：中，∵且，∴，将，代入余弦定理可得，化简可得，即，又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.6.答案：A解：在复平面内，若复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，几何意义是点到原点的距离所以的取值范围是.7.答案：B解：由题意知，侧面展开图的弧长为，设圆锥底面圆的半径为，则，∴，∴圆锥高，∴体积为.8.答案：D解：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点的轨迹是以，为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.在中，设内角，，所对的边分别为，，，由余弦定理，得.设的内切圆的半径为，则，所以，解得，所以.故动点的轨迹所覆盖图形的面积为.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.答案：ABD解：A正确；棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形，所以有一个面是四边形的棱锥一定是四棱锥，B正确；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.10.答案：BD解：，∵，，∴，A错误；∵，∴，B正确；∵，与不平行，C错误；∵，且，，D正确.11.答案：AD解：对于A，若复数，则，，故A为真命题.对于B，若复数，则，但，故B为假命题；对于C，若复数，满足，但，故C为假命题；对于D，设复数，则，若，则，所以，故D为真命题；12.答案：CD解：因为，所以，∴，又，所以，A错误：若，则，三角形只有一解，B错误：若为锐角三角形，则，，所以，得，∵，∴，C正确；若为边上的中点，则，∴，又，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案：解：若是纯虚数，则∴.14.答案：5解：在中，若，，，由余弦定理得.15.答案：解：设长方体的长、宽、高分别为，，，即，，.由长方体，得，，两两垂直，所以，于是.故剩下几何体的体积，因此，.16.答案：解：建立如图平面直角坐标系，设正六边形的边长均为2，则，，，，，，，若，即所以，解得，，所以，设，则因为，所以的取值范围为四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.解：（1）∵，∴，∴复数的共轭复数，（2），∴，又，即，∴.18.解：（1）∵，；∴∴，则∵∴与的夹角为；（2）∵∴19.解：（1）由已知得原平面图形是直角梯形，且上底，下底是，高所以原平面图形的面积为（2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体由等底的圆柱和圆锥组成，其中圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为6所形成的空间几何体的表面积为体积为.20.解：（1）∵，∴，即由余弦定理可得.∵，∴.（2）若选①是的中线，∵是的中线，∴，∴，∵，，，∴，∴.若选②是的角平分线，∵，，，∴，∴，∴.21.解：（1）∵，∴，∵，∴，∵，又，∴，∴.（2）如图，过点作，垂足为，则，，，（方法1）以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则，设，，，∴，