吉林省榆树市2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

吉林省榆树市2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列说法正确的是A.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.棱柱的底面一定是平行四边形 D.棱锥的底面一定是三角形2．“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．设函数y＝，当x＞0时，则y（）A.有最大值4 B.有最小值4C有最小值8 D.有最大值84．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（）A. B.C. D.5．在中，，，则的值为A. B.C.2 D.36．已知，，，则（）A. B.C. D.7．已知定义域为的函数满足：，且，当时，，则等于（）A B.C.2 D.48．若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是A.或3 B.C.或 D.9．已知，则（）A. B.C. D.10．已知函数，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____12．设函数fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a，则当时，13．_____14．若一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为__________.15．写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）①；②.16．函数的单调递增区间为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ECD；（2）求D点到面CEB的距离．18．已知函数，（1）求函数最小正周期以及函数在区间上的最大值和最小值；（2）将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求实数的取值范围19．某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，第次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则可建立函数模型，其中是指改良工艺的次数.已知，（参考数据：）.（1）试求该函数模型的解析式；（2）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？20．已知，，（1）用，表示；（2）求21．已知有半径为1，圆心角为a（其中a为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.（1）按照方案1裁剪，设∠NOC=，用表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征2、B【解题分析】解出不等式，进而根据不等式所对应集合间的关系即可得到答案.【题目详解】由，而是的真子集，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B.3、B【解题分析】由均值不等式可得答案.【题目详解】由,当且仅当，即时等号成立.当时，函数的函数值趋于所以函数无最大值，有最小值4故选：B4、D【解题分析】先由函数平移得解析式，再令，结合选项即可得解.【题目详解】将函数图象向左平移个单位，可得.令，解得.当时，有对称中心.故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数的图像平移及正弦型三角函数的对称中心的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题.5、A【解题分析】如图，，又，∴，故．选A6、C【解题分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【题目详解】已知，，，则，因此，.故选：C.7、A【解题分析】根据函数的周期性以及奇偶性，结合已知函数解析式，代值计算即可.【题目详解】因为函数满足：，且，故是上周期为的偶函数，故，又当时，，则，故.故选：A.8、B【解题分析】若函数的定义域和值域都为R，则.解得或3.当时，，满足题意；当时，，值域为{1}，不满足题意.故选B.9、C【解题分析】因为，所以；因为，，所以，所以．选C10、B【解题分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即得.【题目详解】∵函数，令，则，∴的定义域为，，所以函数为奇函数，又，当增大时，增大，即在上递增，由，可得，即，∴，∴，即.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1Rt△AOC中，r=AO==，从而弧长为α×r=2×=，故答案为考点：弧长公式12、①.②.【解题分析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；【题目详解】解：当时，令，，设且，则因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；故答案为：；；13、【解题分析】利用根式性质与对数运算进行化简.【题目详解】，故答案为：614、【解题分析】利用扇形的面积公式可求得结果.【题目详解】扇形的圆心角为，因此，该扇形的面积为.故答案：.15、【解题分析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可【题目详解】由知函数的周期是，则满足条件，，满足条件，故答案为：（答案不唯一）16、【解题分析】根据复合函数“同增异减”的原则即可求得答案.【题目详解】由，设，对称轴为：，根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间为：.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）点到平面的距离为【解题分析】（1）根据题意选择，只需证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）把点到面的距离，转化为三棱锥的高，利用等体积法，即可求解高试题解析：（1）证明：∵四边形为正方形∴又∵平面平面，平面平面=，∴平面∴又∵,∴平面（2）解：，，，又∵矩形中，DE=1∴，，∴过B做CE的垂线交CE与M，CM=∴的面积等于由得（1）平面∴点到平面的距离∴∴∴即点到平面的距离为.考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的应用．18、（1）；最大值为，最小值；（2）.【解题分析】（1）由题可得，再利用正弦函数的性质即求；（2）由题可得，利用正弦函数的性质可知在上单调递增，进而可得，即得.【小问1详解】∵，，∴，∴函数的最小正周期为，当时，，，∴，故函数在区间上的最大值为，最小值；【小问2详解】由题可得，由，可得，故在上单调递增，又，，由可得，，解得，∴实数的取值范围为.19、（1）；（2）6.【解题分析】（1）将，代入函数模型解解得答案；（2）结合题意，解出指数不等式即可.【小问1详解】根据题意，，所以该函数模型的解析式为.【小问2详解】由（1），令，则，而，则.综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.20、（1）（2）【解题分析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质进行求解【小问1详解】解：，，，【小问2详解】解：，，，21、（1），证明见解析；（2），方案1可以裁剪出面积最大的矩形.【解题分析】（1）分别用含有的三角函