湖南省炎德英才大联考2024届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

湖南省炎德英才大联考2024届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.2．若函数f(x)=2x+3x+a在区间(0,1)A.(-∞,-5)C.(0,5) D.(1,+3．已知，则（）A. B.C. D.4．已知集合，集合，则A∩B＝（）A. B.C. D.5．命题“，”的否定是A.， B.，C.， D.，6．函数的图象大致（）A. B.C. D.7．已知函数若，则实数的值是（）A.1 B.2C.3 D.48．已知a，b，c∈R，a>bAa2>bC.ac>bc D.a-c>b-c9．已知，则的值为（）A.－4 B.4C.－8 D.810．一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污点，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污点2处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均数为17，则污点1，2处的数字分别为A.5，7 B.5，6C.4，5 D.5，5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若三棱锥中，,其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为_____12．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为___________.13．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________.14．函数的零点个数是________.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为2，半径为1米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米.（结果保留两位有效数字，参考数据：，）16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数fx=2sin（1）在用“五点法”作函数fx2x-0ππ3π2πx3π5π9πf0200完成上述表格，并在坐标系中画出函数y=fx在区间0,π（2）求函数fx（3）求函数fx在区间-π18．已知函数的定义域为（1）当时，求函数的值域；（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值19．某城市2021年12月8日的空气质量指数（AirQualityInex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态（1）求函数的解析式；（2）该城市2021年12月8日这一天哪个时间段空气属于污染状态？并说明理由20．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值.21．已知角α的终边经过点，且为第二象限角（1）求、、的值；（2）若，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.【题目详解】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递减，且，所以且，解得：.故的取值范围是故选：C.2、B【解题分析】利用零点存在性定理知f(0)⋅f(1)<0，代入解不等式即可得解.【题目详解】函数f(x)=2x+3x+a由零点存在性定理知f(0)⋅f(1)<0，即1+a5+a<0所以实数a的取值范围是(-5,-1)故选：B3、C【解题分析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.【题目详解】解：对两边平方得，进一步整理可得，解得或，于是故选：C【题目点拨】本题考查同角三角函数关系和正切的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.4、B【解题分析】化简集合B，再求集合A,B的交集即可.【题目详解】∵集合，集合，∴.故选：B.5、C【解题分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题6、A【解题分析】根据对数函数的图象直接得出.【题目详解】因为，根据对数函数的图象可得A正确.故选：A.7、B【解题分析】根据分段函数分段处理的原则，求出，代入即可求解.【题目详解】由题意可知，，，又因为，所以，解得.故选：B.8、D【解题分析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.【题目详解】对A，令a=1，b=-2，此时满足a>b，但a2<b对B，令a=1，b=-2，此时满足a>b，但1a>1对C，若c=0，a>b，则ac=bc，故C错；对D，∵a>b∴a-c>b-c，故D正确.故选：D.9、C【解题分析】由已知条件，结合同角正余弦的三角关系可得，再将目标式由切化弦即可求值.【题目详解】由题意知：，即，∴，而.故选：C.【题目点拨】本题考查了同角三角函数关系，应用了以及切弦互化求值，属于基础题.10、A【解题分析】由于除掉处的数字后剩余个数据的中位数为，故污点处的数字为，，则污点处的数字为，故选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题意得，易知内切球球心到各面的距离相等，设为的中点，则在上且为的中点，在中，，所以三棱锥内切球的表面积为12、【解题分析】将函数转化为方程，作出的图像，结合图像分析即可.【题目详解】令得，作出的函数图像，如图，因为有4个零点，所以直线与的图像有4个交点，所以.故答案为：13、##-0.4【解题分析】根据函数的周期性及可得的值，进而利用周期性即可求解的值.【题目详解】解：因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上,所以，，又，即，解得，所以，故答案为：.14、3【解题分析】令f(x)＝0求解即可.【题目详解】，方程有三个解，故f(x)有三个零点.故答案为：3.15、【解题分析】由题设可得“弦”为，“矢”为，结合弧田面积公式求面积即可.【题目详解】由题设，“弦”为，“矢”为，所以所得弧田面积是.故答案为：.16、12【解题分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.【题目详解】函数是定义在上的奇函数，，则，.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）单调递增区间：-π8（3）-2,【解题分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；(2)根据正弦函数的单调增区间计算即可；(3)根据x的范围求出2x-π4【小问1详解】2x-0ππ3π2πxπ3π5π7π9πf020-20函数图象如图所示，【小问2详解】令-π2+2kπ≤2x-得-π8+kπ≤x≤所以函数fx的单调递增区间：-π8【小问3详解】因为x∈-π4所以sin2x-当2x-π4=-π2当2x-π4=π4所以函数fx在区间-π418、（1）；（2）；（3）见解析【解题分析】（1）函数，所以函数的值域为（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有成立，即，只要即可，由，故，所以，故的取值范围是；（3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（2）得当时，在上单调减，无最大值，当时取得最小值；当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值.【题目点拨】利用函数的单调性求值域是求值域的一种重要方法．特别注意当函数含有参数时，而参数又会影响了函数的单调性，从而需要分类讨论求函数的值域19、（1）（2）当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态，理由见解析【解题分析】（1）先用待定系数法求得时的解析式，再算得当时的函数值，再由待定系数法可得时的解析式；（2）根据，分段解不等式即可.【小问1详解】当时，，将代入得，∵时，，∴由的图象是一条连续曲线可知，点在的图象上，当时，设，将代入得，∴【小问2详解】由题意可知，空气属于污染状态时，∴或，∴或，∴，∴当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态20、（1）见解析；（2）；（3）存在，..【解题分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp-DQC=VQ-PCD，即可得出结论试题解析：（1）证明：在中为中点，所以.又侧面底面，平面平面平面，所以平面.（2）解：连接，在直角梯形中，，有且，所以四边形是平行四边形，所以.由（1）知为锐角，所以是异面直线与所成的角，因为，在中，，所以，在中，因为，所以，在中，，所以，所以异面直线与所成的角的余弦值为.（3）解：假设存在点，使得它到平面的距离为.设，则，由（2）得，在中，，所以，由得，所以存在点满足题意，此时.21、（1）；；（2）.【解题分析】（1）由三角函数的定义和为第二象限角，求得，即点，再利用