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一、准则I及第一个重要极限二、准则II及第二个重要极限§1.6两个重要极限下页铃结束返回首页一、准则I及第一个重要极限二、准则II及第二个重要极1一、准则I及第一个重要极限

如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)yn

xn

zn(n=1

2

3

)

准则I（夹逼定理）准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1)g(x)

f(x)

h(x)

(2)limg(x)

A

limh(x)

A

那么limf(x)存在

且limf(x)

A

下页那么数列{xn

}的极限存在,

且¥®nlimxn=a

.

那么数列{xn

}的极限存在,

且¥®nlimxn=a

.

一、准则I及第一个重要极限如果数列{xn2第一个重要极限显然BC

AB

AD

(因此sinx

x

tanx

DB1OCAx

简要证明

参看附图

设圆心角

AOB=x

下页第一个重要极限显然BCABAD(3应注意的问题这是因为

令u=a(x)

则u

0

于是第一个重要极限下页应注意的问题这是因为令u=a(x)4

例1

解:解:例2

下页例1解:5

例3

解:解:例4

下页例3解:6

例5

解:下页例5解:下页7

例6

解:首页例6解:首页8二、准则II及第二个重要极限单调数列如果数列{xn}满足条件x1

x2

x3

xn

xn+1

就称数列{xn}是单调增加的

如果数列{x

n}满足条件x1

x2

x3

xn

xn+1

就称数列{xn}是单调减少的

单调增加和单调减少数列统称为单调数列

下页二、准则II及第二个重要极限单调数列如果9准则II

单调有界数列必有极限

前面曾证明

收敛的数列一定有界

但有界的数列不一定收敛

现在准则II表明

如果数列不仅有界

并且是单调的

那么这个数列一定是收敛的

说明下页准则II前面曾证明收敛的数列一定有界10可以证明数列{xn}是单调有界的,根据准则II

数列{xn}必有极限,这个极限我们用e来表示,即第二个重要极限e是个无理数

它的值是e=2

718281828459045

指数函数y=ex及对数函数y=lnx中的底就是常数e

下页可以证明数列{xn}是单调有界的,根据准则11第二个重要极限应注意的问题下页第二个重要极限应注意的问题下页12

例7

解:原式下页

例8

解:原式例7解:原式下页例813经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量写14ThankYou在别人的演说中思考，在自己的故事里成长Think

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