公式推导专题

1.过两点3,y）与3,y）的直线为y=kx+b，带入得y=kx+b,y=kx+b解得TOC\o"1-5"\h\z11 2 2 11 2 2y-y y-yyx-yx-xy+xyxy-xyk= 1=tan0,b=y—kx=y- 1x= 1 = x-x 1 1 1x-x1 x-x x-x2 1 2 1 2 1 2 1,k称为斜率，b为y轴上的截距.应用最小二乘法里，采用线性拟合，xy-xy_ —2x2—x平均速度V=当=初= ,Z越小，v越接近瞬时速度V_,瞬时速度等于位Att末一t、 t-1 瞬移对时间的变化率，因为速度变化越小，对应割线（及其斜率）越接近切线，当两点越接近时，直至无限逼近即极限At—。时,v=v瞬.同理加速度等于速度对时间的变化率,1=当=V末一初=七V,At—0时,a=aAt t末一t,t—t 瞬a=AV=^―V。，v是t的函数，a为v-1的斜率，也可记作v，变形后得，v=v+at，At t一0 t ov一v（v是t的一次函数，表现为一条直线）,t= 0（求时间）.a例如，v=6-2t，表示v=6m/s,a=-2m/s2；v=4+1，表示v=4m/s,a=1m/s2；2.x=s梯=、t,这是x、v、'三者之间的关系,v和t均是变量，化为'的函数,由v=v°+at替换，得x=2v0:att=v^t+1at2（x是t的二次函数，表现为一条抛物线，vA A2v-at 1为x-1的斜率.）；由v=v-at替换，得x=一-一t=vt--at2（此式应用于刹车问题）.22例如，x=2Ot-12,表示v=20m/s,a=-2m/s2.x=4t+12,表示v=4m/s,a=2m/s2.3.当v=0时，x=s=1vt，由v=at，得x=1at2，与上式结果相同.A2 24.质点做匀速直线运动，则x=s矩=vot,（x是t的一次函数，表现为一条直线，v为x-1的

斜率.）例如，"皿，表示丁1。诚S;x=6-3t，表示初位置x=6m,v=—3m/s.v+v5.平均速度v=尤=梯 =—-— =-V^LV1at2211+2at=v+v

02TOC\o"1-5"\h\z1at2211+2at=v+v

02+ato21其中v+ato2记作v，则v=v= .t t 22 2例如：I物体做匀加速直线运动，在第一个t内位移为x1,第二个t内位移为X2,则物体在第一个t末的速度及加速度分别为多少？（纸带中用平均速度代替瞬时速度）II物体做匀加速直线运动，已知在相邻的各1S内通过的位移分别为1.2m和3.2m,求物体的加速度和相邻的各1s的始末的瞬时速度。III第一个4s内位移为16m,第二个4s内位移为32m,则初速度和加速度分别是多大？第4s内位移为2m,第6s内位移为4m,则初速度和加速度分别是多大？W物体做匀加速直线运动，初速度为2m/s,加速度a=0.5m/s2,求：⑴第3s末物体的速度；⑵物体第3s内的位移；⑶第4s内的平均速度。TOC\o"1-5"\h\z总结：必须明确是哪一段时间内的位移与平均速度，如4s内是指0—4s,那么t0+4 ° -v=v,v=v，对应中间时刻二=—^s=2s，位移x =v.t=vt；第4s0 0 4 2 2 4s内 4s内 2t3+4 .内是指3—4s,那么v0=v3,v=v4,对应中间时刻2=2s=3.5s,位移x"击=vJ=vt.类似对称轴x=工=二，纸带中用平均速度代替瞬时第4s内 第4s内 3.5 2 2a速度的合理性.…s…s=v0+vt=v+v0梯2 2v一v0，变形后得v2a-v2=2ax.全程的位移为"点位移为xx=,记中间位置时速度为v,2 xx x重复利用上述公式，得v2=2a-，v2-vx2=2a2，联立解得V=：":，2v.由于V2=":V2<V2=Vo+2：vo+v2,得TOC\o"1-5"\h\zx 2工 x2t 42*2 2 2V+V :V2+V2V=~^<V=\，一，也可通过图像得到证明。土2x\ 22 2例如某质点做匀加速直线运动从A到B,七=1m/s，vb=7m/s，那么经过AB中点时和一半时间时速度分别为多大？7.设连续相等的T时间内，1T、2T、3T (n-1)T、nT、(n+1T内的位移分别为x、x、x x、x、x；第一个T、第二个T、第三个T 第(n-1)个T，第n12 3 n-1 nn+1个丁、第(n+1)个T内，位移分别为x、x'、x‘ x、x、x'。TOC\o"1-5"\h\z12 3 n-1 n n+1x=v-1T+—a(1T)2,x=v-2T+—a(2T)2,x=v-3T+—a(3T)2 1 0 2 2 0 2 3 0 211 1x=Vn-1 0-(n-1)T+—a[(n-1)T]2,x=v-nT+—a(nT)2,x =v-(n+1)T+—a[(nx=Vn-1 02 n0 2 n+1 0 21x'=x-x=v-1T+—a(1T)2,1100 21T1T2=v-1T+2a3T2,x'=x-x=v-2T+—a(2T)2-v-1T+—a(1T)2=v-1T+—a(22-12)2 1 0 2 0 2 0 211x‘=x-x=v-3T+—a(3T)2-{v-2T+—a(2T)2}=23 2 0 2 0 211v-1T+2a(32-22)T2=v-1T+?a5T 11x'=V-(n-1)T+—a[(n-1)T]2一{v-(n-2)T+—a[(n-2)T]2}=TOC\o"1-5"\h\z2 211v-1T+2a[(n-1)2-(n-2)2]T2=v-1T+?a(2n-3)T211x'=x-x=v-nT+—a(nT)2-v-(n-1)T+—a[(n-1)T]2=02 0 211v-1T+2a[n2-(n-1)2]T2=v-1T+^a(2n-1)T211n+1 n+1 n0x'=x-x=v-(n+1)T+—a[(n+1)T]2-[v-nT+—a(nT)n+1 n+1 n01=1=v-1T+2a(2n+1)T2v-1T+2a[(n+1)2-n2]T2由此得出结论:景=xn+1'-xn'=xn-Ln-2=x‘-x'=x景=xn+1'-xn'=xn-Ln-23 2 2 1

个T个T位移差x=(m—n)aT2.mn8.特别地，当V=0时，x:x:x x :x:x=12:22:32 0 12 3 n—1nn+1(n—1)2:n2:(n+1)2；x':x':x‘ x ':x':x'=1:3:5 12 3 n n+1 n—1(2n—3):(2n—1):(2n+1)；9.1T、2T、3T (n-1)T、nT、(n+1T内速度之比为：由速度公式vTal,得V]=aT,v2=a2T,v=naT,v广(n+1)T,所以v:v:v v :V:v,=1:2:3 (n—1):n:(n+1)；10.通过前1x:2x:3x (n—1)x:nx:(n+1)x的所用时间之比为：由x=：at2，得t=，'—，即t='—=T，2 a1 \a'2=\2：2」3="3W=囱，、="〃-1)三，12x— ' 2x t=,n——=yinT,t =、1(n+1)——=%：n+1Tt:t:t t:t:t=1:2:13 <n-1:rn:&n+1；11.通过连续相等位移x的所用时间之比为：'】=\号=T,12'=《2W-EW=(克f1)T，13'="3W-\：'2三=(客v2)T，2x 2x,.:、_t，=、：(n—1)——一：(n—2)——=(如n—1—却—2)T,n—1 a\a.*7r• 7r \— s "=\n—-、；(n-1)—=Gn—x：n-1)T，t'=：(n+1)———n——=(v'n+1—v'n)T.n+1 a\‘at':t':t' t‘：t':t，=占:(巨—1):(拓一巨)123 n—1 n n+1(vn—1—气n—2):(如n—(n—1):(%n+1—(n—1)；12加速度的解法：

V-V

q—V-V

q—1；

-t

1t2=工2'-气，=aT2,⑵若Ax=x'-=工2'-气，=aT2,Ax则1=sc；T2x>—x>人 1⑶应用最小二乘法里，采用线性拟合，k=——,b=y—kx⑶应用最小二乘法里，采用线性拟合，k_ 2x2一x2即得a==^匚.类似地，由R=:得R=以一竺；由k=F得k=竺一；12-t2 1 12-12 x x2-x2xtx-txmmV-mVF Fa由V=得V=——；由P=得P= ；由m=—得m=_t 12-12 V V2-V2 a a2一a2⑷利用第m个T与第n个T位移差x—x=(m—n)aT2,得x—x1=1X(2—1)aT2=a(1T)2,x3+x4—(x1+x2)=2X(3—1)aT2=a(2T)2,x+x+x—(x+x+x)