2023-2024学年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.对角线互相垂直平分的四边形是(

)A.平行四边形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形2.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是

A.30° B.60° C.90°3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=6，

A.6 B.9 C.12 D.64.要使分式4xx−5有意义，则xA.x≠0 B.x≠−5 5.如图，在平面直角坐标系内，正方形ABCD中的顶点B，D的坐标分别是(0,0)，(2,0)，且A

A.(1,1) B.(1,6.已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为A.13 B.24 C.52 D.607.下列命题中，真命题是(

)A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D.两条对角线相等的四边形是矩形8.如图，平行四边形ABCD，从下列四个条件①AB=BC，②∠ABA.①② B.②③ C.①③9.如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是(

)A.△BDE和△DCF的面积相等

B.四边形AEDF是平行四边形

C.若AB=10.如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0,33)，∠ABO=A.(32,323)

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.因式分解：a3−a=12.若一个正方形的对角线的长为6cm，则这个正方形的面积是______cm13.菱形的周长为20 cm，两邻角的比为2：1，则较短的对角线的长为______c14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则与O

15.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC

16.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD=23，∠COB=60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长F三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)

解不等式组：2x−1<x+18.(本小题6.0分)

先化简，再求值：[(x+2y)219.(本小题6.0分)

已知：如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，且C20.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=AB，连接BE．

(1)尺规作图：作∠A的平分线AF交BC于F，交BE于21.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)若A22.(本小题8.0分)

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF23.(本小题14.0分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

(1)

24.(本小题14.0分)

已知正方形ABCD的边长为4..

(1)如图1，点P在直线AD上运动，连接PC，将线段PC绕点C按顺时针旋转90°得到CE，连接BE．

①若点P与A重合，则BE=______．

②若BE=9，求AP的长．

(2)如图2，点P在边AD上(P不与A，D重合)运动，且PA>PD，连接PB、PC.将线段答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分性质进行分析从而得到正确答案．

本题考查平行四边形及特殊平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质是解题关键．

【解答】

解：A、不正确，平行四边形的对角线不一定互相垂直；

B、不正确，矩形的对角线不一定互相垂直；

C、不正确，矩形的对角线不一定互相垂直；

D、正确，两者的对角线均具有此性质；

故选D．2.【答案】C

【解析】解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，

所以，∠1+∠2=90°．

3.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO．

∵∠AOD=120°，

∴∠AO4.【答案】C

【解析】解：∵x−5≠0，

∴x≠5．

故选：C．5.【答案】B

【解析】解：∵A，C两点关于x轴对称

∴AC和BD互相垂直平分

∴BD=2

∴AC=2

∵点C在第四象限

∴点C的坐标为：(1,−1)

故选B．

因为正方形A6.【答案】C

【解析】解：∵菱形的一条对角线长为10cm，面积为120cm2，

∴另一对角线长为120×210=24(cm)，7.【答案】A

【解析】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，符合题意；

B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意；

C、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，不符合题意；

D、两条对角线相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．

故选：A．

分别根据平行四边形，菱形，正方形，矩形的判定定理解答即可．

此题考查的是命题与定理，正确把握矩形、菱形、正方形以及平行四边形的区别是解题关键．8.【答案】B

【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，

当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，

当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，

当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；

C、∵四边形A9.【答案】C

【解析】解：A.连接EF，

∵D、E、F分别是△ABC各边中点，

∴EF/​/BC，BD=CD，

设EF和BC间的距离为h，

∴S△BDE=12BD⋅h，S△DCE=12CD⋅h，

∴S△BDE=S△DCF，

故本选项不符合题意；

B.∵D、E、F分别是△ABC各边中点，

∴DE/​/AC，DF/​/AB，

10.【答案】A

【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为(0,33)，

∴AC=OB=33，∠CAB=30°，

∴BC=AC⋅tan30°=33×33=3，

∵将△ABC11.【答案】a(【解析】【分析】

此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】

解：原式=a(a2−12.【答案】18

【解析】解：∵正方形的对角线长为6cm，

∴正方形面积为12×6×6=1813.【答案】5

【解析】解：因为两邻角的比为2：1，得到菱形的较小的角为60°，可得较短的对角线与菱形的两邻边组成等边三角形．则较短的对角线的长为等于菱形的边长20÷4=5cm．

故答案为5

根据已知可求得较小的内角为60°，从而可得到较短的对角线与菱形的一组边组成一个等边三角形，则较短的对角线的长等于菱形的边长．

此题主要考查的知识点：14.【答案】EC、E【解析】解：∵菱形对角线垂直平分

∴△OCD为直角三角形，

∵E为CD的中点，

∴OE=12CD=EC=EB15.【答案】22.5°【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAE=45°=∠ACB．

∵AE=AC，

∴16.【答案】①②【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∴OA=OC=OD=OB，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

∵BF⊥AC，

∴OM=MC，

∴FM是OC的垂直平分线，

∴FO=FC，故①正确；

∵OB=CB，FO=FC，FB=FB，

∴△OBF≌△CBF(SSS)，

17.【答案】解：2x−1<x+1①x−43≤x②，

解不等式①得：x<2【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．18.【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2−9x2+y2−5【解析】先计算括号内的乘方和乘法，再合并括号内的同类项，最后计算除法即可得．

本题主要考查整式的化简求值能力，熟练掌握整式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键．19.【答案】解：△BCE≌△DCF，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=90°【解析】利用正方形的性质即可得到△BCE与△DC20.【答案】解：(1)射线AF如图所示．

(2)∵AE=AB，AF平分∠BAE，

∴AG⊥BE，

∴EG=BG=4，

在Rt△AGB中，∵AB=5，BG=4，【解析】本题考查作图−基本作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

(1)利用尺规作出∠BAD的角平分线即可．

(2)21.【答案】(1)证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，

∴∠EAC=∠FCA，

∴∠FAO=∠ECO，

在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得AF=CF，AE=CE，再证△AOF≌△COE，得AF=CE，则AE=E22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB/​/CD，

∴∠BAC=∠FCO．

在△AOE和△COF中，

∠BAC=∠FCO，∠AOE=∠COF，AE=CF，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE=OF．

【解析】(1)仔细审题，根据矩形的对边平行可得AB/​/CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE=O23.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC．

∴∠DFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC/​/DE，

∵MN/​/AB，即CE/​/AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD．

(2)解：四边形BECD是菱形．

理由是：∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∵CE=A【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相关判定和性质是解题的关键．

(1)先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

(2)先证明四边形BE24.【答案】4【解析】解：(1)①当点P与点A重合时，由旋转的性质得：AC=EC，∠ACE=90°，

过点E作BC的垂线交BC的延长线于F，则∠AFE=90°，

∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，

∴∠BCA=∠DCA=45°，∠ABC=∠D=90°，AB=BC=CD=4，

∴∠DCE=∠ACE−∠DCA=45°，

∴∠ECF=∠DCF−∠DCE=45°，

∴∠ECF=∠ACB=45°，

在△ABC和△ECF中，

∠ECF=∠ACB=45°∠F=∠ABC=90°AC=EC，

∴△ABC≌△ECF(AAS)，

∴CF=BC=4，EF=AB=4，

∴BF=BC+CF=8，

在Rt△BEF中，BF=8，EF=4，

由勾股定理得：BE=BF2+EF2=45．

②∵点P在直线AD上运动，

∴有以下两种情况：

(i)当点P在DA的延长线上时，设AP=a，

过点E作BC的垂线交BC的延长线于F，由旋转的性质得：EC=CP，∠PCE=90°，