计算方法引论课后答案5777

精品文档第一章误差1.试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.A4r2计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生解:例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到,我们利用无穷乘积公式计算的值:222...qq12其中q2,1q2q,n2,3,...n1n我们取前9项的乘积作为的近似值,得3.141587725...这个去掉的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2.按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.95676.00001517.322501.23565193.182130.01523623解:816.966.000017.3231.235793.1820.0152363.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字?81.8970.008136.320050.1800解:五位三位六位四位4.若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字?解:两位a5.若1.1062,b0.947,是经过舍入后得到的近似值,问:ab,ab各有几位有效数字?解:已知da110,db1103,422又ab0.2053210,随意编辑精品文档dabdadbdadb110411030.551031102,222所以ab有三位有效数字;因为ab0.1047571410,dabbdaadb0.94711041.106211030.600451031102222所以ab有三位有效数字.1,1的计算值与真yy6.设y0.9863,y0.0062xx,是经过舍入后作为,的近似值.求121212值的相对误差限及yy与真值的相对误差限.12xydx,xydx,dx=110-4,dx2110-4,解:已知22111221211041dxdxdrx20.98630.50104;dr11y1x1x1111041dxdxdrx20.00620.81102;dr22y2x2x22drxxdrxdrx0.501040.811020.82102.12127.正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm2.解:设正方形面积为S,边长为a,则S=a.所以要使:dsda22ada1,则要求2da110.5102.所以边长的误差不能超过0.5102cm.2a2008.用观测恒星的方法求得某地维度为4502(读到秒),试问:计算sin将有多大误差?解:dsin1cosdcos4502.219.真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式s2gt2确定,g是重力加速度.现在假设g是准确的,而对t的测量有0.1的误差,证明t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差s随意编辑精品文档却减小.1gtdt;dsgtdtgtdtdtds证明:因为:dsdgt2.ds与t成正比,与t成反比,212ssts2gt2所以当dt固定的时候,t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.x0,的相对误差为,求lnx的绝对误差.10.设x解:已知dxxdxx,所以lnx的绝对误差dlnx.11.设的相对误差为%,求xxn的相对误差.解:dxnnxn1dxndxn%.xnxnx12.计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何?解:已知V4drRdRaRR3,设,则要使得3drVdVVdlnVdlnR33dlnR3dlnR3drR3a1%,则a11%.3随意编辑精品文档第二章插值法与数值微分yx100,121,144三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立yx的1.设x,在二次插值多项式,并用此多项式计算115的近似值,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,计算115的近似值,并分析其结果不同的原因.解:已知x100,x121,x144;y10,y11,y12,012012建立二次Lagrange插值函数可得:x121x144x100x144Lx11100121100144101211001211442x121x10012144121144100115L11510.7228.所以误差2f,所以xxxxxx,x,x,x,012012Rx23!0.0006555R1150.0016312利用前两个节点建立线性插值函数可得:x121x100Lx10121100111001211随意编辑精品文档115L11510.7143.所以所以所以1利用后两个节点建立线性插值可得:x144x12112144121Lx111211441115L11510.7391.1利用前后两个节点建立线性插值可得:x144x10012144100Lx101001442115L11510.6818.1与115的真实值比较,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.2.利用(2.9)式证明2xxRxmaxfx,xxx01108xxx01证明:由(2.9)式Rxfxxxx,xx01012!当xxx时,01f12maxfxmaxxxxxxx10,401xxxxxx0101所以2xxRxmaxfx,xxx01108xxx010,1,...,3.若证明n为互异节点,且有xjxx...xxj1xx...xxlx0j1nxx...xxj1xx...xxjj0jj1jjn随意编辑精品文档nxlxxk,k0,1,...,nkjjj0证明:由于1ij;0ij.lxjiijnk0,1,...,n,所以且xlx和xk都为k次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同jjkj0马上有nxlxxk,k0,1,...,n.kjjj04.设给出sinx在,上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于105,问函数表的步长最大能取多少?解:记插值函数为p(x),则sinsinxpxxxxxxxi1i13!imaxsinxpcosxxxxxx所以3!i1ii1xcos1;令gxxxxxxx,设xxth,得i1ii1i1gxthhtt1t2,t0,23i13ttt1t2,t0,2的最大值为10.3849,所以有又30.38496maxsinxph3105xh0.0538.所以5.用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点3,1,0,2,3,2,6,10的三次插值公式.随意编辑精品文档解:Lagrange插值函数:xxxxxxxxxxxx3Lxyy1123xxxxxx02xxxxxx13300102031012xxxxxxxxxxxx012yy3013xxxxxxxxxxxx2220212330313xx3x10x3x3x1016227x3xx3.x3xx102781/5牛顿插值:首先计算差商31021321.3330.388961040.88890.1420Nx1x30.3889x3x1.1420x3xx3.3也可以利用等距节点构造,首先计算差分310233247610121623可得前插公式723Nxth13ttt1tt1t2;2630和后插公式162326Nxth1012ttt1tt1t2.33,使6.确定一次数不高于4的多项式x00,00,111,21.解:利用重节点计算差商0000011111110121011/21/4随意编辑精品文档则可构造Hermite插值函数满足题设条件:Hx00x01x0x01x0x0x141x0x0x1x1414x4x394x2.321个点x,满足条件:H2n17.寻找过n,,...,的2n1次多项式xxx01nxfx,Hxfx,Hxfx,...,H2n1002n1112n1nnfx.Hx0fx,Hxfx,..,Hx2n102n1112n1nn解:和Lagrange插值函数的构造类似,可将插值函数写成hxyhxyn,in,ixnH2n1iii0其中,基函数满足条件(1)hx,hxP2n1;,n,ini(2)hx,hx0;hx,hx0,ni,nin,ijijn,ijjijj则可由已知条件,可得2hx12lxxxlx;n,in,iiin,ihxxxlx2.n,iin,i所以可得xniH12lxxxlxyxxlxy222n1n,iiin,iiin,ii08.过0,1两点构造一个三次Hermite插值多项式,满足条件:11f01,f0,f12,f122解:计算重节点的差商01011/21211/2121/2-1/21随意编辑精品文档马上可得11Hx1x0x0x01x0x0x1223x332x212x19.过给定数组757677787980x2.7682.8332.9032.9793.062y3.153(1)作一分段线性插值函数.(2)取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.(3)用两种插值函数分别计算x75.5,x78.3的函数值.解:(1)做分段线性插值函数可得:Ix2.768lx2.833lx2.903lx2.979lx3.062lx3.153lx5012345x75x75,7675,76;xx76lx0lx77xx76,77;其中,0x75,76.10x75,77.x76x76,77x77x77,78xx78,79;lx78xx77,78;lx79230x77,79.0x76,78.x78x78,7979,80;xx80lx80xx79,80;lx0x79,80.450x78,80.(2)把已知节点值带入M关系式可得:随意编辑精品文档1M2M12M0.015201212M2M12M0.01812312M2M12M0.014234112M2MM0.0165234MM0,所以上面方程组变为可求解方程组由边界条件可得052M12M0.0151212M2M12M0.01812312M2M12M0.01423412M2M0.01634解得M0.0058,M0.0067,M0.0036,M0.0071.1234所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式:xxyMMMMxxyxxj133sxj16xxj16jj66j1j1jjj(3)当x75.5时,I75.52.768l75.52.833l75.52.8005;501s75.50.00580.005875.5752.799675.5762.7687675.52.83336当x78.3时,I75.52.979l78.33.062l78.33.0039;534s78.30.00367978.330.007178.3783660.00360.007178.3783.0034.2.9797978.33.0626610.若给出sinx,cosx,tanx的函数表:cosxsinxtanxx随意编辑精品文档0.9999920.00379683263.411251.5671.5681.5691.5700.9999960.002796357.61106556.690981255.76559130.9999980.001796430.9999990.00079673用表上的数据和任一插值公式求:(1)用tanx表格直接计算tan1.5695.(2)用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因.解:利用Lagrange插值直接用tan表计算得tan1.5695819.0342874999274;利用Lagrange插值计算sin得sin1.56950.99999917500000;利用Lagrange插值计算cos得cos1.56950.00129630000000;最后利用sin/cos计算tan得tan1.5695771.4257309264500.出现小除数,误差被放大.11.求三次样条函数sx,已知0.250.500000.300.390.450.53xi0.54770.62450.67080.728yi和边界条件随意编辑精品文档s0.251.0000,s0.530.6868解:把表中数据带入M关系式可得59M2MM4.314314140