知识讲解随机抽样基础

随机抽样【学习目标】1、了解简洁随机抽样的概念，把握实施简洁随机抽样的常用方法：抽签法和随机数表法；2、了解系统抽样的意义，并会用系统抽样的方法从总体中抽取样本；3【要点梳理】要点一、简洁随机抽样抽样调查中用的是不放回抽取.1、简洁随机抽样的概念：N的总体中不放回地抽取容量为n2、简洁随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数N是有限的；简洁随机样本数n小于等于样本总体的个数N；从总体中逐个进展抽取，使抽样便于在实践中操作；(4)它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性；(5)3、实施抽样的方法：(1)抽签法：抽签法的优点是简洁易行，缺点是当总体的容量格外大时，费时、费力又不便利，假设标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公正.抽签法的一般步骤：①将总体中的N②把这N③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从箱中每次抽取一个号签，连续抽取n⑤将总体中与抽到的号签的编号全都的n个个体取出.(2)随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能消灭0，1，2，…，9这十个数字的数表.随机数表中各个随机数表法的步骤：①将总体的个体编号(每个号码的位数全都)；②在随机数表中任选一个数字作为开头；面已经取出，则跳过，如此连续下去，直到取满为止.留意：①选定开头数字，要保证所选数字的随机性；要点诠释：1、简洁随机抽样是一种最简洁、最根本的抽样方法，简洁随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不2、抽签法的优点是简洁易行，缺点是当总体的容量格外大时，费时、费力，又不便利，假设标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公正，随机数表法的优点与抽签法一样，缺点上当总体容量较大时，照旧不n3N

，但是这里确定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种状况区分开来，避开在解题中消灭错误.要点二、系统抽样1、系统抽样的概念：2、系统抽样的特征：当总体容量N较大时，承受系统抽样；将总体分成均衡的假设干局部指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样；预先制定的规章指的是：在第1段内承受简洁随机抽样确定一个起始编号，在此编号的根底上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.3、系统抽样的一般步骤：承受随机的方法将总体中的N个个体编号；将编号按间隔kN是整数时，取kNN不是整数时，从总体中剔除一些个体，使n n nN”剩下的总体中个体的个数N”能被n整除，这时取k n，并将剩下的总体重编号；在第一段用简洁随机抽样确定起始个体的编号l(lN，lk)；依据确定的规章抽取样本，通常是将编号为l，lk，l2k， ，l(n1)k的个体取出.要点诠释：1、从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成假设干局局部块解决，从而把简洁问题简洁化，表达了数学转化思想.2承受的是简洁随机抽样.要点三、分层抽样1、分层抽样的概念：某种特征分成假设干个互不重叠的几局部，每一局部叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进展简洁随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.2、分层抽样的特点：(1)适用于总体是由有明显差异的几局部组成时的状况；(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性一样.3、分层抽样的优点：样本具有较强的代表性；在各层抽样时，可灵敏地选用不同的抽样方法.4、分层抽样的步骤：将总体按确定的标准分层；计算各层的个体数与总体的个体数的比；按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进展抽样(各层可以按简洁随机抽样或系统抽样的方法抽取)要点诠释：1、应用分层抽样应遵循以下要求：分层：将相像的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不穿插，即遵循不重复、不遗漏的原则.分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进展简洁随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.2、分层抽样是当总体有差异明显的几局部组成时承受的抽样方法，进展分层抽样时应留意以下几点：(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体状况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠.(3)在每层抽样时，应承受简洁随机抽样或系统抽样的方法进展抽样.3、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种有用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.要点四、三种抽样方法的比较类别类别简洁随机抽样系统抽样分层抽样共同点抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体均分成几局部按事先确定的规章在各局部抽取将总体分成n层，分层进展抽取相互联系在起始局部抽样时承受简洁随机抽样各层抽样承受简洁随机抽样或系统抽样适用范围总体中个体数较少总体中个体数较多总体由差异明显的几部分组成【典型例题】类型一：简洁随机抽样1.下面的抽样方法是简洁随机抽样吗？为什么？50个个体作为样本；仓库中有l100支火炬进展质量检查；20050名最优秀的官兵赶赴四川参与抗震救灾工作；36个大小、外形都一样的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．〔1〕不是简洁随机抽样．由于简洁随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．不是简洁随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简洁随机抽样要求的是“逐个抽取不是简洁随机抽样．由于这50名官兵是从中选择出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简洁随机抽样中“等可能抽样”的要求．是简洁随机抽样．由于总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进展抽取的，是不放回、等可能的抽样．【总结升华】要推断所给的抽样方法是否是简洁随机抽样．关键是看它们是否符合简洁随机抽样的定义，〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕每个个体被抽到的可能性必需是一样的．举一反三：【变式1】下面的抽样方法是简洁随机抽样吗？为什么？455名同学参与学校组织的某项活动．203个进展质量检验．20件玩具中任凭拿出一件来玩．玩后放回再拿下一件，连续玩了5件．〔1〕不是简洁随机抽样．由于这不是等可能抽样．不是简洁随机抽样．由于这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．不是简洁随机抽样．由于这是有放回抽样．例2．某大学为了支援西部教育事业，现从报名的186人组成志愿小组．请用抽签法设计抽样方案．【解析】方案如下：1801，02，…，18；其次步：将号码分别写在外形、大小一样的纸条上，揉成团，制成号签；第三步：将得到的号签放入一个不透亮的袋子中，并充分搅匀；6个号签，并记录上面的编号：第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．【总结升华】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否便利；二是号签是否简洁被搅匀．一般地，当样本容量和总体容量较小时可用抽签法．举一反三：1】一个学生在一次竞赛中要答复的8道题是这样产生的：从153道；从203道；从122道．使用适宜的方法确定这个学生所要答复的三门学科问题的序号〔物理题的编号为0～1，化学题的编号为1～3，生物题的编号为3～4．【解析】第一步：将试题的编号01～47分别写在外形、大小一样的纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透亮的袋子中，充分搅匀．33个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号．这便是所要答复的三门学科问题的序号．例〔2023福建泉州模拟从30个足球中抽取10的步骤及公正性．【思路点拨】首先将30个足球编号，在随机数表中随机的选一个数作为开头．从选定的数字向右读，得到二29次下去，就得到一个具有10个数据的样本，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽取的时机是等可能的．【解析】第一步：首先将30个足球编号：00，01，02，…29，其次步：在随机数表中随机的选一个数作为开头．第三步：从选定的数字向右读，得到二位数字，将它取出，把大于29的去掉，依据这种方法连续向右读，取出的二位数假设与前面一样，则去掉，依次下去，就得到一个具有10个数据的样本．其公正性在于：第一随机表中第一个位置上消灭的哪一个数都是等可能的，30个个体中抽到哪一个个体的号码也是时机均等的，基于以上两点，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的时机是等可取的．【总结升华】抽样方法，随机数表的使用，考生不要无视，在随机数表中每个数消灭在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．举一反三：1】某校有学生1200人，为了调查某种状况，打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本假设承受简洁随机抽样将如何进展？【解析】首先将该校学生都编上号码：0001，0002，0003，…，1200，如用随机数表法，则先在随机数59664个数为一组，遇到右边线时向下错一行向左连续读取，所得数字如下：6438，5482，4622，3162，4309，9006，1844，3253，2383，0130，3046，1943，6248，3469，0253，7887，3239，737l，2845，3445，9493，4977，2261，8442，…，所抽取的数字假设小于或等于1200，则对应此号的学生就是被抽取的个体；假设所抽取的数字大于1200，2400，则减去12002400，而小于或等于3600，则减去2400；依此类推．假设遇到一样的号码，则只留取第一次读取的数字，其余的舍去，0646，0743．0248，1069，0253，0687，0839，0171，0445，1045，1093，0177，1061，0042，…，始终50人为止．2104架进展质量检验，请你设计抽样方案．〔随机数表法〕100，1，…，9．3行第6向右读．第三步，从数“21位，重复数字只记录一次，依次可得到2，7，6，5．4架钢琴就是要抽取的对象．〔抽签法〕100，1，…，9．其次步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签第三步，将得到的号签放入一个不透亮的袋子中，并充分搅匀．4个号签，并记录上面的编号．4架钢琴就是要抽取的对象．【总结升华〔1〕0开头，100—9就可表示，这样总体中的全部个体可用一位数表示，便于使用随机数表．〔2〕用抽签法抽样关键是将号签搅匀．类型二：系统抽样例4．以下抽样中不是系统抽样的是〔 ．1～151531～5号球中用抽签法抽出i0i0+5，i0+10的球也抽出工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5min抽取一件产品进展检验止D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排〔每排人数相等〕座位号为14的观众留下来座谈【答案】C【解析】此题的判定依据是系统抽样方法的特征：系统抽样适用于个体数目较多但均衡的总体．推断一种抽样是不是系统抽样，首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体按事先规定的条件等可能入样，再看抽样过程中是否将总体分成了几个均衡的局部，是否在每个局部中进展简单随机抽样．此题C明显不是系统抽样，由于事先不知道总体，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几局部，故C不是系统抽样．【总结升华】系统抽样的特点：①适用于总体容量较大的状况；②剔除多余个体及第一段抽样都用简洁随机抽样，因而与简洁随机抽样有亲热联系；③是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n／N．举一反三：【变式1】以下抽样中，最适宜用系统抽样法的是〔 〕某市的42023名学生，且43∶8∶8∶2，从中抽取200名学生做样本20235个做样本2023200个做样本205个做样本【答案】C【解析】A中各区学生有区分，不好分成均衡的几局部，不适宜，B中抽取样本容量太小，不适宜．D中总体个数较少，不适宜．应选C【总结升华】系统抽样适合总体容量较大且个体间差异较小的状况．550350名作为样本，如何承受系统抽样方法完成这一抽样？【思路点拨】由题设条件可知总体的个数为503，样本容量为50，不能整除，可承受随机抽样的方法从350050整除，然后再承受系统抽样方法进展抽样．【解析】5031，2，3，…，503．3500500名学生重编号1，2，3，…，500．第三步，确定分段间隔k50个局部，每一局部包括10个个体，这时，第l局部的个体编250500．第四步：在第1局部用简洁随机抽样的方法确定起始的个体编号，例如5．第五步：依次在第23局部，…，第5015，25，…，495的个体，这样就得50的样本．【总结升华】总体中的每个个体都必需等可能的入样，为了实现“等距”入样且又等概率，应先剔举一反三：1】为了了解某年级学习状况，打算从该年级50450系统抽样的方法完成这一抽样？【解析】5041，2，3，…，503，504；其次步：用抽签法或者随机数表法，剔除45005001，2，3，…，500；50：500=1：1050局部，其中每一1020；50491，492，493，…，500；1105；235015，25，35，…，495.这样就502322名，为了了解学生的某种状况，按1∶8的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进展抽取，并写出抽样过程．322÷8=4022名学生，把剩下的3201，2，3，…，320．把40个局部，每一个局部都有8个个体，例如第一局部的个体编号为：1，2，3，…，8．然后在第6681310，31840的样本．类型三：分层抽样6．在以下问题中，各承受什么抽样方法抽取样本?204台进展质量检验；科学会堂有32排座位，每排有40个座位〔座号为41832名听众进展座谈；光远中学有180名教职工，其中教师13620名，后勤效劳人员24名，为征求某项15的样本．1〕〔〕〕分层抽样．〔1〕〔2〕〔3〕3个层次，因此适宜用分层抽样法．【总结升华】总体容量较小宜用抽签法；总体容量较大，而样本容量较小宜用随机数表法；总体容量较大，样本容量也较大的宜用系统抽样法；总体是由差异明显的几个层次组成，宜用分层抽样法．举一反三：1160964024人，为了了解职工的收入状况，要从中抽取一个容量为20的样本，如何去抽取？1601160编上号，然后将用白纸做成的有1～160160个号签放入箱内搅匀，2020个人被选出．16011602081～8号为第一组，9～1615160号为第20组．从第一组中用抽签方式抽到一个为k号≤≤8〔k+8〕号n=，，31，以此抽取20人．20∶160=1∶8125人，从后勤效劳人员3人，都用简洁随机抽样法从各类人员中抽取所需人数，他们合在一起恰好抽到20人．以上的抽样方法，依次是简洁随机抽样、分层抽样、系统抽样的挨次是〔 A．方法一、方法二、方法三 B．方法二、方法一、方法三C．方法一、方法三、方法二 D．方法三、方法一、方法二【答案】C7500人，其中不到35125人，3549280人，5050岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应当怎样抽取？【思路点拨】总体由不到35岁、35495050用分层抽样法．【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤是：分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；3549岁的职工；5050岁以上的职工．100 1 1确定每层抽取个体的个数．抽样比为 ，则在不到35岁的职工中抽12×=2〔人；500 5 51在35岁至49岁的职工中抽28×5=56〔人；1在50岁及