材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩

§8-1引言§8-2轴力与轴力图§8-3拉压杆的应力与圣维南原理§8-4材料在拉伸与压缩时的力学性能§8-5应力集中的概念§8-6失效、许用应力与强度条件§8-7胡克定律与拉压杆的变形§8-8简单拉压静不定问题§8-9连接部分的强度计算第八章轴向拉伸与压缩一、

轴向拉伸与压缩的概念及实例1．工程实例§8-1引言简易吊车中：AC杆受拉、BC杆受压、

钢丝绳受拉。结构中二力杆：受拉或受压。ABCP千斤顶中：顶杆受压。内燃机中：连杆AB有时受压、有时受拉。轴向压缩，两端受压力作用，杆的变形是轴向缩短，横向增大。轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。力学简图：FFFF2．特点受力特点：两端受大小相等、方向相反的外力作用，外力(或

其合力)的作用线与杆件的轴线重合。变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横

向尺寸的变化(减小或增大)。一、轴向拉伸与压缩时杆的内力——轴力§8-2轴力与轴力图杆受拉如图示，求横截面

m–m上的内力。FFmmFNFmm截面法：用一平面假想地沿

m–m截面切开杆件，将其分为左右两段，任取一段分析。设取左段分析。左段受力：外力

F，内力内力为一分布力系，将其向截面形心简化，合力为

FN。在外力

F、内力FN作用下保持平衡，有SFx=0FN

–F

=0得FN=FFN为拉力内力FN

的作用线与F重合，即与杆件轴线重合，并垂直于横截面，称FN为轴力。FFmmFNFmm取右段分析时，结果相同：F'N=F可知

FN

与

F'N为作用和反作用的关系。FmF'N可知

FN

只与外力有关，而与杆件横截面形状、尺寸、材料无关。规定：杆受拉伸长时，FN

为正；

杆受压缩短时，FN为负。若在杆件中间部分还有外力作用，则杆件不同段上的轴力有所不同，可分段用截面法计算。二、轴力的计算例1杆受力如图示，F1=5kN，F2=20kN，F3=25kN，

F4=10kN。试求各段轴力。解：AB段轴力FN1：取截面1–1SFx=0FN1–F1=0得FN1=F1=5kN

(拉)ABCDF2F1F3F41111AF1FN1例1杆受力如图示，F1=5kN，F2=20kN，F3=25kN，

F4=10kN。试求各段轴力。BC段轴力FN2：取截面2–2SFx=0FN2+F2–F1=0得FN2=F1

–F2=–15kN

(压)ABCDF2F1F3F41111AF1FN1FN1=5kN22ABF2F122FN2CD段轴力FN3：取截面3–333FN3DF433SFx=0F4–FN3=0得FN4=F4=10kN

(拉)ABCDF2F1F3F411FN1=5kN2233FN2=–15kN

FN3=10kN三、轴力图在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。横轴x：杆横截面位置；纵轴FN：杆横截面上的轴力。正值轴力(拉)绘在横轴上方，负值轴力(压)绘在横轴下方。FNx5kN–15kN10kN++-BACDABCDF2F1F3F411FN1=5kN2233FN2=–15kN

FN3=10kNFNx5kN–15kN10kNABCD轴力图作用：1.显示出杆件各横截面上轴力的大小，并可确定出最大轴

力的数值及其所在横截面的位置；2.表示出杆件各段的变形是拉伸还是压缩；3.表示出杆件轴力沿轴线的变化情况。㊉㊀㊉ABCDF2F1F3F411FN1=5kN2233FN2=–15kN

FN3=10kNFNx5kN–15kN10kN++-ABCD可知：1.杆件AB段、CD段受拉，产生伸长变形；BC段受压，产生

缩短变形；2.杆件|FN|max=|FN2|=15kN，位于BC段。轴力图的特点：在集中力作用处，图中有突变，

突变值=集中载荷数值问题提出：FFFF拉压杆强度不仅与轴力大小有关，而且与杆横截面面积有关，须用应力来度量杆件的受力程度。§8-3拉压杆的应力与圣维南原理一、拉压杆横截面上的应力等直杆受拉力作用，求横截面

m–m上的应力。mm横截面FFmm横截面FFmmFFNs横截面

m–m上有轴力

FN，FN分布在整个横截面上。轴力

FN⊥横截面应力也

⊥横截面∴横截面上存在正应力

s，其合力即为轴力FN，即：FN=∫A

s

dA(a)仅由(a)式不能确定s

与FN之间的关系。应研究杆件受拉后的变形，以确定s

在横截面上的分布规律。abcdld'

a'c'

b'观察实验：在杆侧表面作横向直线

ab、cd，ab∥cd，间距

l。FF现象：1.杆伸长变细；2.横向直线

ab、cd各平移至

a'b'、c'd'，a'b'∥c'd'；两端加拉力F，使杆发生变形。3.

间距：

l

l+Dll+Dlabcdld'

a'c'

b'平面截面假设：轴向拉伸过程中，原为平面的横截面在变形后

仍保持为平面。FF由此推断：l+Dl两横截面间各纵向纤维变形相同性质相同受力相等。∴轴力FN在横截面上均匀分布，各点正应力相等。即s

=常量abcdld'

a'c'

b'FFl+Dl代入(a)式：得FN=∫AsdA=s

∫AdA=sA∴即为受拉杆横截面上正应力的计算公式，式中A为杆横截面面积。杆受压时同样分析，可得同样结果。由式可知：1.FN

s

，A

s

；2.s

与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际

情况。注意：1.公式仅适用于轴向拉压情况；2.公式不适用于外力作用区域附近部分。讨论：1.当杆受几个外力作用时，各段轴力不相等，先求各段轴力

FNi

，找出最大轴力FNnax，则最大正应力2.当杆由几段不等截面组成时，应分段求si在外力作用区域附近，s并不均布，而是由外力的作用情况而定。FF为杆件最大工作应力，smax所在截面称为危险截面。其中最大正应力即为杆的最大工作应力smax。s例2例1中杆横截面A=3cm2。试求其最大正应力。FN1=5kN，FN2=–15kN，FN3=10kNFN1=5kNBC段轴力为|FN|maxABCDF2F1F3F4112233为压应力。FN2=–15kN

FN3=10kN解：由例1得各段轴力为∴例3已知正方形截面杆受力如图示，a=24mm，b=37mm，

F=50kN。试求其最大正应力。AB段：截面1-1解：1)计算各段轴力2)确定smaxCABFFF11BC段：截面2-2SFx=0–FN1–F

=0FN1=–F

=–50kN

(压)SFx=0–FN2–3F

=0FN2=–3F

=–150kN

(压)11FFN1FN222FFFAB段：BC段：∴smax=s2=–110MPa(压应力)22例4已知支架如图示，F=10kN，A1=A2=100mm2。

试求两杆应力。截面法：取销B和杆1、2的一部分分析解：1)计算两杆轴力2)计算两杆应力受力：F、轴力FN1、FN2SFx=0–FN2–FN1cos45º

=0∴FN1=1.414

F

=14.14kN

(拉)SFy=0FN1sin45º

–F

=0FN2=–F

=–10kN

(压)AB杆：BC段：ACBF45º12BFFN2FN1FFkkaa二、拉(压)杆斜截面上的应力设有一等截面直杆受拉力F作用。求：斜截面k-k上的应力。采用截面法得斜截面上内力：Fa=F斜截面面积Aa：且Aa

=A/cosa。由平面假设同样可得斜截面上应力均布，即：拉(压)杆的破坏有时沿斜截面发生，应讨论斜截面上的应力。

n斜截面k-k的位置：由其外法线n与杆轴线的夹角a确定：由杆轴线至外法线n为逆时针时，夹角a为正，反之为负。FaaFkkpa代入面积关系：s0为横截面上的应力。∴斜截面k-k上的全应力为FFkka

nakFakpa可知：sa

、ta的大小和方向随a

的改变而改变。tasaa

pa=s0

cosa

将pa

沿斜截面的垂直方向和平行方向分解：papaF即过杆内同一点的不同斜截面上的应力不同。sa

=s(a)ta=t(a)讨论：当

=45º时，s45º

=s0/2t

45º

=s0/2当

=0º时(横截面)，s0º

=s0=smaxt0º

=0可知在

=±45º时，有即在45º的斜截面上剪应力达到最大值。当

=90º时(纵截面)，s90º

=0t90º

=0当

=–45º时，s–45º

=s0/2t–45º

=–

s0/2符号规定：当ta绕杆内任一点顺时针方向时为正，当sa

与斜截面的外法线n同向时为正，反之为负。由

=45º和

=–45º时可知：相互垂直的截面上的切应力大小

相等，方向相反。

nFta(+)sa(+)

nFta(–)sa(–)设相互垂直的截面为：

，

1=

+90º即

与

1=

+90º的截面上的切应力大小相等，方向相反。即

与

1=

+90º的截面上的切应力大小相等，方向相反。切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切

应力必成对存在，且数值相等，方向相反。

naa1

n1tata1例5

直径为

d=1cm杆受拉力F=10kN的作用。

试求与横截面夹角

30º的斜截面上的正应力和切应力，

并求最大切应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：F11h/433Fh22Fh/2三、圣维南(Saint-Venant)原理在外力作用区域附近，s并不均布，而是由外力的作用情况而定。FFdh11h/4h/222圣维南原理：外力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离

不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。33h截面1-1截面2-2截面3-3由圣维南原理可知：在离开载荷作用处一定距离外，应力的分

布不受外载荷作用方式的影响。因此，对静力等效的杆件，在外力作用区域外的应力分布是相同的。FFFFFF§8-4材料在拉伸与压缩时的力学性能一、拉伸试验与应力—应变图截面尺寸相同、拉力相同、但材料不同的杆件的承载能力不同，即构件的承载能力与其材料的力学性能有关。力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中所呈现的在

变形和破坏方面所具有的特性和规律。力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。静拉伸试验：常温(室温)、静载(加载缓慢平稳)。GB228-1987标准试件：圆试件：长试件l=5d短试件l=5d平板试件：长试件l=11.3

短试件l=5.65试验设备仪器：万能材料试验机、变形仪(引伸仪、传感器、x-y记录仪)。试验时对试件加力、测力，测量变形。记录试验数据：由试验数据绘制F-

Dl曲线，称为拉伸图。载荷

F(kN)伸长变形量

Dl(mm)例：低碳钢(含C≤0.25%)

的F-

Dl曲线。因试件尺寸不同，所得

F-

Dl曲线不同，不能直接反映材料的力学性能。载荷

F(kN)伸长变形量

Dl(mm)将F

s=F/A

Dl

e=Dl

/A

s

–

e曲线的形状、大小与试件尺寸无关。得s

–

e曲线，称为应力-应变图。材料相同，s

–

e曲线即相同。分析s

–

e曲线即可得材料拉伸时的力学性能。应力s=F/A应变e=Dl

/l二、低碳钢拉伸时的力学性能以Q235钢为代表，其

s

–

e曲线可分为四个阶段：1.弹性阶段：OA段特点：1)变形为弹性变形：去除拉力后，变形沿OA消失。2)OA'为直线：表示正应力与正应变成正比，即有：s

e直线OA'

段最高点A'点的正应力称为材料的比例极限：spQ235钢：sp≈200MPaA点的正应力称为材料的弹性极限：se1.弹性阶段：OA段特点：1)s

不增加，

e却迅速增加，

表明材料失去抵抗继续变

形的能力，称为屈服或流

动。此时在光滑试件的表面可出现滑移线。2)卸载后，试件产生较大塑性变形。Q235钢：ss≈235MPa2.屈服阶段：AC段3)B点正应力称为材料的屈服极限：ss当构件工作应力达到屈服极限ss时，构件产生显著塑性变形，改变其原有尺寸，将不能正常工作，所以应将工作应力限制在ss以下。设计中常取ss作为低碳钢材料的一个重要强度指标。1.弹性阶段：OA段特点：1)材料恢复了抵抗变形的能

力，即要使e

，则必须

s

，称为材料的硬(强)化。Q235钢：sb≈380MPa2.屈服阶段：AC段2)曲线最高点D点的正应力称为材料的强度极限：sbsb

为材料所能承受的最大应力，也是低碳钢材料的重要强度指标。3.硬(强)化阶段：CD段1.线弹性阶段：OA段特点：1)从D点开始，试件局部显

著变细，称为“颈缩”。2.屈服阶段：AC段低碳钢拉伸过程的四个阶段为：弹性阶段、屈服阶段、硬

(强)化阶段、颈缩阶段。3.硬(强)化阶段：CD段4.颈缩阶段：DE段2)出现颈缩后，使试件继续变形所需的拉力减小，曲线下降，

至E点试件在颈缩处被拉断裂。5.卸载与再加载规律试验表明：若在强化阶段某点C卸载，

曲线沿平行于OA的直线CO1

回到O1。变形OO1消失，为弹性变形。变形O1O2保留下来，为塑性变形(残余变形)。重新加载时，曲线沿O1C

上升至C，再沿原曲线CDE变化。可见：此时材料的比例极限提高，而断裂后的塑性变形减小，

称为材料的冷作硬化。应用：冷轧钢板、冷拔钢筋、钢丝绳、齿轮喷丸、滚子碾压。消除：冷作硬化使工件表面变硬变脆，进一步加工困难，可采

用退火处理消除。6.材料的塑性断裂后量l1、断口处d1(A1)则试件的残余变形为：∆l0=l1–l

伸长率：δ、Ψ

，材料塑性变形

δ≥5%时，称为塑性材料，如钢、铜、铝等；低碳钢：δ=20~30%、Ψ=60~70%

。断面收缩率：δ<5%时，称为脆性材料，如铸铁、玻璃、石材等。由试验可得：强度指标：sp、se、ss、sb塑性指标：δ、Ψ弹性指标：E、ml1三、其他材料拉伸时的力学性能1.其他塑性材料(d≥5%)与低碳钢s

–

e曲线比较：50钢的曲线与低碳钢相似，但sp、ss、sb均较高；硬铝无屈服阶段和颈缩阶段。取残余应变e=0.2%

时所对应的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限：s0.265弹簧钢：s0.2=800MPa，δ=90%30铬锰硅钢无明显屈服阶段；对无屈服阶段的材料，GB规定：2.脆性材料(δ<5%)以灰铸铁为代表：由试验及s

–

e曲线可知：无屈服、颈缩现象；∴脆性材料的抗拉能力较低，一般不用作受拉构件。无明显直线部分；拉断时e很小(0.4~0.5%)

，s较低。拉断时应力为其抗拉强度极限：sb。断口垂直试件轴线，断面无收缩现象。四、材料在压缩时的力学性能压缩试验：试件：金属材料：短圆柱体，直径d，高度h，且d=(1.5~3)h；非金属材料：立方体。1.塑性材料(δ≥5%)可知：压缩时sp、se、ss与拉伸大致相同；屈服后，试件被压扁，不破裂，无抗压强度极限。低碳钢：其曲线至屈服阶段与拉伸时基本重合。

由拉伸试验可了解其压缩时的力学性能，

∴对塑性材料一般不需作压缩试验。2.脆性材料(δ<5%)试件变形呈鼓状，最后沿45º~55º斜截面破裂。压坏时应力称为抗压强度，为抗拉强度的3~5倍。灰铸铁：其压缩时曲线形状与拉伸时相似，但应力、变形显著

增大。∴脆性材料的抗压能力远高于其拉能力，常用作受压构件。常用材料的力学性能见附录A(P345)。等截面直杆轴向拉(压)时其横截面上正应力均布。§8-5应力集中的概念一、应力集中的概念实验表明：在直杆的截面尺寸突变处，正应力不再均布，而是出现应力集中现象。应力集中：构件受载时，由于截面尺寸的突变而引起的局部

应力急剧增大的现象。理论应力集中因数

K：sn为名义应力，smax为局部最大应力；A0为圆孔处横截面面积。由于实际需要，有些零件必须制成切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以致在这些部位上杆的截面尺寸发生突然变化。可知：

K>1一般孔愈小，角愈尖，K

，

应力集中情况愈严重。二、应力集中对构件强度的影响静载荷下：塑性材料：可不考虑应力集中的影响。脆性材料：应考虑应力集中的影响。灰铸铁：可不考虑应力集中的影响。变载荷下：无论是塑性材料或是脆性材料，应力集中将大大降低其强度。∴应采取措施，尽量减小构件的应力集中。减小应力集中的措施：采用圆孔、椭圆形孔，避免用方孔及带尖角的孔、槽；阶梯轴采用圆角过渡，且圆角半径尽量大些；在截面改变处采用光滑连接；铸件连接采用圆角过渡等。§8-6失效、许用应力与强度条件一、失效与许用应力试验表明：在试件的正应力达到强度极限sb时，试件断裂；当正应力达到屈服极限ss时，试件屈服，产生显著的塑性变形。发生断裂或屈服时，构件已不能正常工作，称为失效。要使构件正常工作，应使其工作应力低于其材料的极限应力，su由材料拉伸或压缩时的力学性能确定：塑性材料：su=ss(s0.2)

脆性材料：su=sb(sb压)

即有s

<susu为材料的极限应力。此外，因为实际材料未必均匀，载荷估计难以精确等不利因素的影响，为确保构件工作安全，并给予适当的强度储备，设计时将

su适当降低使用，作为构件工作应力的最大限度，称为许用应力，记作[s]。许用应力：n

>1，称为安全因数。塑性材料：脆性材料：ns

为屈服安全因数。nb

为断裂安全因数。一般取：ns=1.5~2.2，nb=3.0~5.0或更高。可知：n

，[s]

偏于安全，但构件尺寸大，经济性

；n

，[s]

强度储备

，安全性

。∴应合理确定n。确定安全因数

n考虑的因素：1.材料的素质：组成的均匀程度、材质的好坏、塑性性能；基本原则：既安全，又经济。一般可查阅有关规范标准或设计手册确定。2.受载情况：载荷估计的准确性、有否超载、静载或动载；3.计算方法的精确性：力学计算模型的近似性；4.构件的重要性：若破坏后造成后果的严重程度、加工制造与

维护保养的难易程度等；5.构件自重的要求等。二、强度条件构件正常工作条件：最大工作应力不超过材料的许用应力。对等截面直杆：即：smax≤[s]上式称为强度条件，可用来解决三种类型的强度计算问题：1.校核强度已知构件的材料、截面尺寸及受载情况([s]、A、FN)，判断构件强度是否足够。若smax≤[s]，则构件安全。工程实际中一般规定：smax不超过[s]的5%时即满足强度要求。2.截面设计已知构件所受载荷、所用材料([s]和FN)，需确定其截面尺寸。由：得：由A

截面尺寸。若选用标准件时，可根据此A值查标准选取。3.确定许可载荷已知构件材料、截面尺寸及受载形式([s]、A、F作用方式)，要求确定构件所能承受的最大载荷。由：得：由FNmax

[F]

。例6例8-4(P139)已知一空心圆截面杆，外径D=20mm，内径

d=15mm，受轴向拉力F=20kN作用，材料屈服极限为

s

=235MPa，安全因数ns=1.5。试校核此杆的强度。FN

=F=20kN解：(1)杆轴力(2)杆应力(3)许用应力(4)结论∵

=145.5MPa<[

]

=156MPa∴此杆满足强度要求。例7已知结构如图示，梁AB为刚性，钢杆CD直径d=20mm，

许用应力[

]=160MPa，F=25kN。

求：(1)校核CD杆的强度；

(2)确定结构的许可载荷[F]

；

(3)若F=50kN，设计CD杆的直径。解：(1)校核CD杆的强度CDABF2aadCD杆轴力FNCD：11FNCDSMA=0FNCD×2a–F×3a

=0∴FNCD=1.5FCD杆应力

CD：∵

CD<[

]∴CD杆强度足够。(2)确定结构的许可载荷[F]∵∴∴[F]=33.5kN(3)若F=50kN，设计CD杆的直径。∵∴圆整，取直径d=25mm。xyFNBC例8图示结构，BC杆[

]BC=160MPa，AC杆[

]AC=100MPa，

两杆横截面面积均为A=2cm2。

求：结构的许可载荷[F]

。解：(1)各杆轴力∴FNAC=0.518FFNBC=0.732F∴F≤3.86×104N=38.6kNCABF45º30ºFNACFCSFx=0FNBCsin30º

–FNACsin45º

=0SFy=0FNBCcos30º

–FNACcos45º–F

=0(2)由AC杆强度条件：0.518F≤A[

]AC

=2×10–4×100×106∴F≤4.37×104N=43.7kN(3)由BC杆强度条件：0.732F≤A[

]BC

=2×10–4×160×106(4)需两杆同时满足强度条件：应取较小值，[F]=38.6kN

§8-7胡克定律与拉压杆的变形一、拉压杆的轴向变形与胡克定律轴向拉伸和压缩试验表明：取比例系数

E：s=Ee称为胡克定律。比例系数

E称为材料的弹性摸量，单位：GPa1GPa=109Pa由s

–

e曲线可知：E为图中直线

OA'段的斜率，即E

，材料受力后越不易变形，是用来衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。碳钢：

E=196~210GPa

。在比例极限sp内，正应力与正应变成正比，即s

e轴向拉伸试验中：在

F作用下：杆的轴向伸长变形量为：得：lFFl1b1b∆l=

l1–

l

此时：

杆沿轴向的正应变为：代入胡克定律s=Ee整理：为胡克定律的另一表达形式，可用来计算杆沿轴向的弹性变形。l

l

1

，b

b1杆长l、横向尺寸b可知：∆l与FN、l成正比，与A成反比。另外：∆l与FN符号相同，轴向拉伸时，杆伸长，∆l为正；

轴向压缩时，杆缩短，∆l为负。lFFl1b1b当

FN、l一定时，EA

，∆l

，∴称EA为杆横截面的拉压刚度，表示轴向拉压时杆抵抗弹性

变形的能力。当杆为几段不同截面组成，或各段轴力不同时，杆的变形为：轴向拉伸时，杆横向尺寸减小：b

b1

∆b=

b1–

b

lFFl1b1b试验表明：在

s≤sp

时，材料的横向正应变与轴向正应变之

比的绝对值为一常数。即：横向正应变：可知：轴向拉伸时

e'为负，轴向压缩时e'为正。称m为泊松比(横向变形系数)，无量纲。m也反映了材料所固有的弹性性能。低碳钢：m=0.25~0.33几种常用材料的弹性模量E与泊松比m的数值见表8-1，P143。表8-1

材料的弹性模量与泊松比

钢与合金钢铝合金铜铸铁木(顺纹)E(GPa)200~22070~72100~12080~1608~12m0.25~0.330.26~0.340.33~0.350.23~0.27例9变截面杆受力如图示。已知F1=50kN，F2=20kN，l1=120mm，l2

=l3

=100mm，A1

=A2

=500mm2，A3=250mm2，E=200Pa。试求各段杆的变形及杆的总变形。AC段：FN1=–30kN

(压)解：1)计算各段轴力2)计算各段变形CD段：FN2=20kN

(拉)AB段：CD段：CABDF2F1l1l2l3DB段：FN3=20kN

(拉)DB段：例9变截面杆受力如图示。已知F1=50kN，F2=20kN，l1=120mm，l2

=l3

=100mm，A1

=A2

=500mm2，A3=250mm2，E=200Pa。试求各段杆的变形及杆的总变形。3)杆的总变形∴杆的总变形为CABDF2F1l1l2l3例10结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。

求：图中节点C的位移。FACBlAClBCaDlACC1解：1)计算各杆轴力AC杆：FNAC(拉力)BC杆：FNBC(压力)2)计算各杆变形C2DlBC2)计算节点C的位移：过C1作AC1的垂线，过C2作BC2的垂线，交点即为变形后C点的位置C4(近似)。实际位置为C'

，小变形条件下误差很小。C'C4F例10结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。

求：图中节点C的位移。ACBlAClBCaDlACC1C3C4OC的水平位移：C2DlBCC的垂直位移：∴节点C的位移：解题方法：考虑三个方面静力平衡条件；物理关系：胡克定律(变形公式)；变形几何关系：小变形条件。概括为：平衡求内力；沿杆绘变形，垂线代圆弧，交点得位移。注意：各杆变形应与其受力情况相对应。静不定问题的处理方法：§8-8简单拉压静不定问题静定问题：未知力数

≤

静力平衡方程数静不定问题(超静定问题)：未知力数

>

静力平衡方程数此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量，必须建立补充方程，与静力平衡方程联立求解。一、静定与静不定问题未知力数

–静力平衡方程数

=静不定问题的次数(阶数)由数学知识可知：n次静不定问题必须建立

n个补充方程。二、简单静不定问题分析举例除静力平衡方程外须寻求其他条件。材料力学中从研究变形固体的变形出发，找出变形与约束的关系(变形协调方程)、变形与受力的关系(物理方程)，建立变形补充方程，与静力平衡方程联立求解。例11设横梁为刚性梁，杆

1、2长度相同为

l，横截面面积分别

为A1、A2，弹性模量分别为

E1、E2，F、a已知。

试求：杆

1、2的轴力。CABF12aaFCABFAyFAxFN1FN2解：1)计算各杆轴力SMA=0

FN1×a+FN2×

2a

–F

×2a

=0FN1+

2FN2–2F

=0(a)2)变形几何关系C'B'Dl1Dl2Dl2=2Dl1(b)

3)物理关系代入(b)

例11设横梁为刚性梁，杆

1、2长度相同为

l，横截面面积分别

为A1、A2，弹性模量分别为