13等腰三角形教学

第一章三角形的证明§1.3等腰三角形

（1）定义：能够完全

的三角形是全等三角形。

（2）性质：全等三角形的

、

相等。

（3）判定：“SAS”、

、

、

、

。1、全等三角形温故知新重合对应边相等对应角SSSASAAASHL2、等腰三角形（1）定义：有两条

的三角形是等腰三角形。（2）性质：①等腰三角形的

相等。（等边对等角）②等腰三角形顶角的平分线、

、

互相重合。（等腰三角形的三线合一）③等腰三角形两底角的

相等④等腰三角形两腰上的

相等⑤等腰三角形两腰上的

相等

两底角边相等底边上的中线底边上的高线中线高平分线（3）判定：①定义（两边相等）②判定定理（两角相等）3、等边三角形

（1）定义：

的三角形是等边三角形。（2）性质：①三个内角都

，每个角都等于

。②具有等腰三角形的一切性质。60°三边相等相等

（3）判定：①定义：三条边都相等②三个

都相等的三角形是等边三角形③有一个角

是等边三角形。证明的步骤1、画图2、根据条件写已知3、根据结论写求证4、探索证明思路5、写证明过程等边对等角的证明（3）判定：

①定义②有两个角

的三角形是等腰三角形问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？想一想等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：取BC的中点D,连接AD.

在△ABD和△ACD中

∵AB=AC,BD=CD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）CBAD证法一:等腰三角形的性质定理:证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.

在△ABD和△ACD中∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）证法二:CBAD证明：过点作AD⊥BC于点D.

在△ABD和△ACD中由勾股定理可得

BD2=AB2－AD2，

CD2=AC2－AD2

又∵AB=AC∴BD2=CD2

∴BD=CDCBAD证法三:

点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。

前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?议一议已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．

分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．CBA如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．[师]你是如何想到的?[生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边.)等腰三角形的判定定理：在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.ACB几何语言想一想

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?CBA

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.

假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．上面的证法有什么共同的特点呢?

在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．反证法步骤1、2、3、总结例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立,原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.

隋堂练习11.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．活动与探究1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.

.

分析：要求△AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口．NMCBAD已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，

AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．随堂练习2.现有等腰三