数学建模基本教程

数学建模

MathematicalModeling

王新茂

中国科学技术大学数学系1教学安排2月20日讲课2月27日讨论3月6日讲课3月13日讨论3月20日讲课3月27日讨论4月3日讲课4月10日讨论4月17日讲课4月24日讨论5月1日劳动节5月8日讲课5月15日讨论5月22日讲课5月29日讨论6月5日讲课6月12日讨论6月19日讲课6月26日讨论6月29日考试开始2参考书目数学建模，F.R.Giordano、M.D.Weir、W.P.Fox著，叶其孝、姜启源等译，机械工业出版社，2005。问题解决的数学模型方法，刘来福、曾文艺编著，北京师范大学出版社，1999。数学建模精品案例，朱道元编著，东南大学出版社，1999。数学模型，谭永基、俞文

编著，复旦大学出版社，1995。中国大学生数学建模竞赛（一、二、三），李大潜主编，高等教育出版社。全国大学生数学建模竞赛网，http://3什么是数学建模？使用数学方法解决实际问题的过程实际现象实际问题数学模型数学问题数学解答解决方案基于合理的假设

通过数学语言来

“描述实际现象”

“近似实际问题”建模求解建模的目的是

“解决实际问题”

实践是检验模型

好坏的唯一标准应用检验注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解。4数学建模的一般过程针对实际问题，明确建模目的。抓住主要因素，简化实际问题。使用数学方法，导出数学模型。定义变量参数，量化主要因素。找出主要因素之间的相互联系。假设合理、推理严密、数据精确、有说服力。使用数学工具，求解数学问题。检验修改模型，实施数学结果。检验模型的解释是否符合客观规律。检验计算结果是否与实际数据吻合。检验模型的精度、稳定性和灵敏度。5数学建模的常用方法以客观规律的普遍性为基础，考虑局部规律的特殊性，从简单到复杂，逐步建立模型。根据量纲、比例关系、相似性、平衡原理、变化机理等确立变量之间的相互制约的关系。收集整理数据，从中归纳出合理的假设。用微分方程描述连续变量的变化和相互影响。用随机变量描述模型中因素的不确定性。用图论语言描述模型的研究对象及其之间的关系，如工作顺序、状态转移等。将复杂的系统分解成若干子系统，分而治之。6数学模型的分类按实际问题分类

人口模型、生态模型、经济模型、交通流模型、投入产出问题、邮路问题、选址问题、排队服务问题...按数学方法分类

数值计算问题、微分方程问题、优化问题、规划问题、图论问题、概率统计问题、系统决策问题...按建模目的分类

机理模型、仿真模型、预测模型、优化模型、决策模型按问题的确定性分类

白箱问题、灰箱问题、黑箱问题7问题1.1：商品的价格与供求数量的关系。

问题：产量的增加能否带来收入的增加？一、初等模型8问题1.2：求猪的长L、宽w、高h、重m之间的关系。

模型1：假设猪的形状是几何相似的，

密度为常值，则m~L3。若将猪看成

椭圆柱，忽略四蹄，则m~whL。

模型2：将猪看作支撑在四蹄上的弹性

梁，在重力作用下，下垂高度d，

弹性模量为常值，则m~wdh3/L3。

问题：以上结论是否合理？两个模型是否一致？两个模型的优缺点是什么？哪个模型比较准确？一、初等模型9一、初等模型问题1.3：求人的身高h、体重m、力量f、灵活性a之间的关系。

模型1：假设人体具有几何相似性，密度为常值，

则m~h3。将肌肉看成弹性杆，横截面积s、

相对伸长量为常值，弹性模量为常值，则

f~s~h2，a=f/m~1/h。问题：以上假设是否合理？如何修改模型？

模型2：测量一定人群的身高、体重、力量、灵活性，然后进行数据拟合。问题：如何定量测量灵活性？如何拟合？10一、初等模型问题1.4：如何提高铅球运动员的成绩。

模型1：投掷距离s与出手高度h、出手速度

v、仰角a有关。若不考虑空气阻力，则

s随h、v的增大而增大。给定h、v，最佳 投掷角度 。模型2：设臂长L、出手时的肩高H为常数， 。模型3：设铅球重m，可获得的总能量 为常值。问题：投掷距离还与哪些因素有关？空气阻力对成绩的影响有多大？以上假设是否合理？以上模型是否适用于标枪、链球等其它投掷项目？11一、初等模型问题1.5（CMCM92A）：为了研究氮、磷、钾三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别作了三组实验，结果如下。在考察一种肥料的施用量与产量关系时，另两种肥料的施用量固定在第7个水平上。问：如何施肥效果最好？(施肥量：公斤/公顷，产量：吨/公顷)12建模思路：确定产量与施肥量的关系。

多项式拟合、指数函数拟合、

实验数据的原始误差、

多种肥料的复合效果优化农产品的投入产出。

考虑化肥对土壤破坏、

生态农业、绿色食品模型的检验与改进。

改进实验方式、正交设计一、初等模型13以下问题任选一题：1. 利用下表数据，检验并修改问题1.3的模型。作业一级别抓举挺举总成绩级别抓举挺举总成绩56138.5168305489812021762153182.532553102.512922669165197.5357.55811114125177173210377.563116142257851872203956912815828694188232.5417.57513115928610520023643675+139182.5318105+213263.5472.5男子举重世界纪录女子举重世界纪录142. 利用下表数据，检验问题1.4的模型。

3. 利用互联网上的真实数据，对从事某种体育项目的专业运动员的身高、体重、力量、灵活性建模。作业一#出手速度出手高度仰角成绩114.081.9535.1321.76213.952.0439.0021.70313.952.0439.0021.66413.972.0038.2021.52513.582.0237.7520.76613.512.0038.6920.30713.432.0238.5020.26813.162.0240.2719.4015二、微分方程模型问题2.1：根据以下数据对酵母培养物的生物量建模。

模型1：画出p~t图像、Δp~t图像、Δp~p图像。

猜测dp/dt=ap-bp2，拟合(pn+1-pn-1)/2=apn-bpn2，得a、b。时间t012345678酵母p9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3350.79101112131415161718441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.816二、微分方程模型由微分方程解出的p(t)函数图像与原始数据非常吻合。

问题：对模型dp/dt=ap-bp2给以生物学上的解释。

若假设dp/dt=c0+c1p+c2p2+c3p3，结果是否会更好?17二、微分方程模型问题2.2：人口的预测和控制。

模型1(Malthus)：假设出生率死亡率为常数，dx/dt=ax。模型2(logistic)：dx/dt=ax-bx2。模型3(Leslie)：考虑各年龄段的人口数。18二、微分方程模型问题2.3：传染病的传播。

模型1：假设总人数n，感染人数x，未采取防病措施，经常与他人接触。dx/dt=kx(n-x)，k:接触率。

结论：一段时间之后，所有人都会被感染。19二、微分方程模型模型2：假设总人数n，无症状感染人数x（经常与他人接触），有症状感染人数y（被隔离治疗，治愈后仍可能被感染），已免疫或死亡人数z。

dx/dt=k1x(n-x-y-z)-k2x，dy/dt=k2x-k3y，dz/dt=k4y，k1:感染率，k2:发病率，k3:治愈率，k4:免疫率+死亡率。

结论：当k4>0时，所有人都会免疫或死亡。

当k2>k1n时，疫情被迅速扑灭。

当k2<k1n时，带菌人数和发病人数趋于定值。20二、微分方程模型问题2.4：渔场捕鱼问题。

模型1：假设自然条件下可捕鱼的数量满足dx/dt=ax-bx2，单位时间捕捞强度k。假设每条鱼大小相同，价格固定。建模目的是选择k使捕捞量最大。

模型2：假设自然条件下可捕鱼的数量满足dx/dt=ax-bx2，单位时间捕捞强度k。假设捕捞成本c与k成正比，每条鱼大小相同，价格与总捕捞量成反比。建模目的是选择k使捕捞收益最大。21问题2.5：两种生物种群间的生存竞争和弱肉强食。

模型：

结论：当方程组 有正数解时，x(t),y(t)趋于

平衡；否则必有一个种群灭绝。二、微分方程模型22以下问题任选一题：1. 对于实数a,b,c的各种取值，求常微分方程 dx/dt=ax2+bx+c的准确解并绘图。2.（CMCM1996A）最优捕鱼策略。3.（CMCM2003A）SARS的传播。作业二23三、连续优化模型问题3.1：汽车在A点，需要到B点，问如何行驶路程最短？

模型1：假设A、B距离很远。在地图上找出连接A、B的距离最短的路。

模型2：假设A、B距离很近，需要考虑车的转弯半径R、

以及车身与AB的夹角θ。于是原问题可化为数学问题

“求连接A、B的最短曲线Γ，使得初始方向θ并且各点的曲率半径不小于R”。24三、连续优化模型模型2的求解：过A作半径R的圆，使得A点切线与AB的夹角θ，并且B在圆外。过B做直线与圆相切于点C，则圆弧AC长度＋直线BC长度＝最短行驶路程。

问题：如果车身在A、B两点处的方向都给定，如何行驶路程最短？25三、连续优化模型问题3.2：假设在帆板比赛中，运动员需要利用自然风力从A点驶向B点。问如何行驶时间最短？

模型1：帆板由带有稳向板的板体、带有

万向节的桅杆、帆和帆杆组成。帆板

的运动速度v主要受风力、水流阻力、

空气阻力的影响。阻力f随v的增大

而增大。

一段时间之后，船速v会趋于定值，即f(v)=w的解。

假设f(v)=cv，则稳定速度v与动力w成正比。26三、连续优化模型模型2：假设风力、风向不变，帆板的前进方向与风向所成的角θ，帆面的法向与风向的夹角α。 帆板前进的动力 。 当时，最大船速 。

原问题可化为数学问题

“求以A,B为端点的曲线Γ使得 最小”。

由变分法可得θ为分段常值函数。

当B位于阴影区域时采取折线行驶，否则直线行驶。27变分法问题：求y(x)使得y(x1)=y1，y(x2)=y2，并且 达到极值，其中f(x,y,y’)可微。

解：

F(y)达到极值的必要条件是Euler方程 。28三、连续优化模型问题3.3：（最速下降线问题）求连接定点A、B的曲线Γ使得质点在重力作用下沿Γ运动所需时间最短。

模型：原问题可化为数学问题

“求y(x)使得y(0)=0，y(x1)=y1，

并且 最小”。

由变分法可得微分方程

设 ，解得29三、连续优化模型问题3.4：（悬链线问题）求连接定点A、B的长度为L的质地均匀的柔软曲线在重力作用下的形状。

模型：原问题可化为数学问题 “求y(x)使得y(0)=0，y(x1)=y1，

由变分法和Lagrange乘子法可得微分方程

解得 即30三、连续优化模型问题3.5：径赛中如何分配体力成绩最好？

模型：奔跑速度v主要受运动员的体能E、

爆发力F、空气阻力f的影响。体能在

消耗之后会获得补充。E≤E0，F≤F0，

f随v的增大而增大，假设f=λv。

成绩31三、连续优化模型原问题可化为数学问题“求函数F(x)使得 最小，并且满