高考数学二轮复习 专题03 导数及其应用(含解析)

专题03导数及其应用1．【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则A．−1 B．−12 C．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知f1=−2，f'1=0【详解】因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f'1=0，而f'x=ax−bx2，所以故选：B.2．【2022年全国甲卷】已知a=3132,b=A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b【答案】A【解析】【分析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b【详解】因为cb=4所以tan14>14设f(x)=cosf'(x)=−sinx+x>0，所以则f14>f(0)所以b>a,所以c>b>a，故选：A3．【2022年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b=A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【答案】C【解析】【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)−x，导数判断其单调性，由此确定【详解】设f(x)=ln(1+x)−x(x>−1)，因为当x∈(−1,0)时，f'(x)>0，当x∈(0,+∞所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞所以f(19)<f(0)=0，所以ln109所以f(−110)<f(0)=0，所以ln910故a<b，设g(x)=xex+令ℎ(x)=ex(当0<x<2−1时，ℎ'当2−1<x<1时，ℎ'(x)>0又ℎ(0)=0，所以当0<x<2−1时，所以当0<x<2−1时，g'所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1故选：C.4．【2022年新高考1卷】(多选)已知函数f(x)=x3−x+1A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，f'x=3x2−1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(−33,33所以x=±3因f(−33)=1+23所以，函数fx在−当x≥33时，fx≥f3综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令f'x=3x2当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.5．【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−【答案】1【解析】【分析】由x1,x2分别是函数fx=2ax−ex2的极小值点和极大值点，可得x∈−∞,x1∪x2,+∞时，【详解】解：f'因为x1,x所以函数fx在−∞,x1所以当x∈−∞,x1∪x若a>1时，当x<0时，2lna⋅a故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅a即方程lna⋅ax即函数y=lna⋅a∵0<a<1,∴函数y=a又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x则切线的斜率为g'故切线方程为y−ln则有−lna⋅a则切线的斜率为ln2因为函数y=lna⋅a所以eln2a<又0<a<1，所以1e综上所述，a的范围为1e【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.6．【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则【答案】(−【解析】【分析】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得【详解】∵y=(x+a)ex，∴设切点为(x0,y0切线方程为：y−x∵切线过原点，∴−x整理得：x0∵切线有两条，∴∆=a2+4a>0,解得a<−4∴a的取值范围是(−∞故答案为：(−7．【2022年新高考2卷】曲线y=ln【答案】

y=1e【解析】【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0【详解】解：因为y=ln当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x故答案为：y=1e8．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线(1)若x1=−1，求(2)求a的取值范围．【答案】(1)3(2)−1,+【解析】【分析】(1)先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.(1)由题意知，f(−1)=−1−(−1)=0，f'(x)=3x2−1，f'(−1)=3−1=2即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g(2)f'(x)=3x2−1，则y=f(x)在点x设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x则3x12令ℎ(x)=94x4−2x3−3令ℎ'(x)<0，解得x<−13或0<x<1，则x−−−00,111,+ℎ−0+0−0+ℎ(x)↘5↗1↘−1↗则ℎ(x)的值域为−1,+∞，故a的取值范围为−1,+9．【2022年全国甲卷】已知函数fx(1)若fx≥0，求(2)证明：若fx有两个零点x1,【答案】(1)(−(2)证明见的解析【解析】【分析】(1)由导数确定函数单调性及最值，即可得解；(2)利用分析法，转化要证明条件为ex(1)f(x)的定义域为(0,+∞f'(x)=(令f(x)=0,得x=1当x∈(0,1),f当x∈(1,+∞),f若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即所以a的取值范围为(−(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x要证x1x因为x1,因为f(x1即证e即证e下面证明x>1时，e设g(x)=e则g=(1−设φ(x)=所以φ(x)>φ(1)=e,而所以exx所以g(x)在(1,+∞即g(x)>g(1)=0,所以e令ℎ(x)=ℎ所以ℎ(x)在(1,+∞即ℎ(x)<ℎ(1)=0,所以lnx−综上,exx−x【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式ℎ(x)=ln10．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax−1(1)当a=0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)−1(2)(0,+【解析】【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；(2)求导得f'(x)=(ax−1)(x−1)x2，按照a≤0(1)当a=0时，f(x)=−1x−当x∈(0,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f'所以f(x)(2)f(x)=ax−1x−(a+1)当a≤0时，ax−1≤0，所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f'所以f(x)当0<a<1时，1a>1，在(0,1),(1a,+在(1,1a)上，f又f(1)=a−1<0，当x趋近正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，所以f(x)仅在(1当a=1时，f'(x)=(x−1)2x所以f(x)有唯一零点，符合题意；当a>1时，1a<1，在(0,1a),(1,+在(1a,1)上，f'(x)<0又f(1an)=1所以f(x)在(0,1a)所以f(x)有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为(0,+∞【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.11．【2022年全国乙卷】已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)若fx在区间−1,0,0,+【答案】(1)y=2x(2)(−【解析】【分析】(1)先算出切点,再求导算出斜率即可(2)求导,对a分类讨论,对x分(−1,0),(0,+∞(1)f(x)的定义域为(−1,+当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xex所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x(2)f(x)=f设g(x)=1°若a>0,当x∈(−1,0),g(x)=e所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(−1,0)上没有零点,不合题意2°若−1⩽a⩽0,当x∈(0,+∞所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a⩾0所以f(x)在(0,+∞)故f(x)在(0,+∞3°若(1)当x∈(0,+∞),则g'(x)=eg(0)=1+a<0,g(1)=所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f当x∈(0,m),f当x∈(m,+∞所以当x∈(0,m),f(x)<f(0)=0当x→+所以f(x)在(m,+∞又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞(2)当x∈(−1,0),g(x)=设ℎ(x)=ℎ所以g'(x)在g所以存在n∈(−1,0),使得g当x∈(−1,n),g当x∈(n,0),g'又g(−1)=所以存在t∈(−1,n),使得g(t)=0,即f当x∈(−1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减有x→−1,f(x)→−而f(0)=0,所以当x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(−1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(−1,0)上有唯一零点所以a<−1,符合题意所以若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a【点睛】方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.12．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=ex−ax(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)a=1(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.(2)根据(1)可得当b>1时，ex−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数均为2，构建新函数ℎ(x)=ex+lnx−2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f(x),g(x)(1)f(x)=ex−ax的定义域为R若a≤0，则f'(x)>0，此时f(x)无最小值，故g(x)=ax−lnx的定义域为(0,+∞当x<lna时，f'(x)<0，故当x>lna时，f'(x)>0，故故f(x)当0<x<1a时，g'(x)<0，故当x>1a时，g'(x)>0，故故g(x)因为f(x)=ex−ax故1−ln1a=a−aln设g(a)=a−11+a−故g(a)为(0,+∞)上的减函数，而故g(a)=0的唯一解为a=1，故1−a1+a=ln综上，a=1.(2)由(1)可得f(x)=ex−x和g(x)=x−当b>1时，考虑ex−x=b的解的个数、设S(x)=ex−x−b当x<0时，S'(x)<0，当x>0时，故S(x)在(−∞,0)上为减函数，在所以S(x)而S(−b)=e−b>0设u(b)=eb−2b，其中b>1故u(b)在(1,+∞)上为增函数，故故S(b)>0，故S(x)=ex−x−b设T(x)=x−lnx−b，当0<x<1时，T'(x)<0，当x>1时，故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞所以T(x)而T(e−b)=T(x)=x−lnx−b有两个不同的零点即当b=1，由(1)讨论可得x−lnx=b、当b<1时，由(1)讨论可得x−lnx=b、故若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点，则b>1.设ℎ(x)=ex+lnx−2x设s(x)=ex−x−1，x>0故s(x)在(0,+∞)上为增函数，故s(x)>s(0)=0即所以ℎ'(x)>x+1x−1≥2−1>0而ℎ(1)=e−2>0，故ℎ(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x0当0<x<x0时，ℎ(x)<0即ex当x>x0时，ℎ(x)>0即ex因此若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故b=f(x此时ex−x=b有两个不同的零点此时x−lnx=b有两个不同的零点故ex1−x1=b所以x4−b=lnx4故x4−b为方程ex−x=b的解，同理又ex1−x1=b可化为故x1+b为方程x−lnx=b的解，同理所以{x1,故{x0=【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.13．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=xe(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：【答案】(1)f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为(2)a≤(3)见解析【解析】【分析】(1)求出f'(x)，讨论其符号后可得(2)设ℎ(x)=xeax−ex+1，求出ℎ″(x)，先讨论a>1(3)由(2)可得2lnt<t−1t对任意的t>1恒成立，从而可得(1)当a=1时，f(x)=(x−1)ex，则当x<0时，f'(x)<0，当x>0时，故f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为(2)设ℎ(x)=xeax−又ℎ'(x)=(1+ax)e则g'若a>12，则因为g'故存在x0∈(0,+∞)，使得故g(x)在(0,x0)故ℎ(x)在(0,x0)若0<a≤12，则下证：对任意x>0，总有ln(1+x)<x证明：设S(x)=ln(1+x)−x，故故S(x)在(0,+∞)上为减函数，故S(x)<S(0)=0即由上述不等式有eax+故ℎ'(x)≤0总成立，即ℎ(x)在所以ℎ(x)<ℎ(0)=−1.当a≤0时，有ℎ'(x)=所以ℎ(x)在(0,+∞)上为减函数，所以综上，a≤1(3)取a=12，则∀x>0，总有令t=e12故2tlnt<t2−1所以对任意的n∈N∗，有整理得到：ln(n+1)−故1=ln故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.14．【2022年北京】已知函数f(x)=e(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有【答案】(1)y=x(2)g(x)在[0,+∞(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)令m(x)=f(x+t)−f(x)，(x,t>0)，即证m(x)>m(0)，由第二问结论可知m(x)在[0,+∞)上单调递增，即得证.(1)解：因为f(x)=exln即切点坐标为(0,0)，又f'∴切线斜率k=∴切线方程为：y=x(2)解：因为g(x)=f'(x)=所以g'令ℎ(x)=ln则ℎ'∴ℎ(x)在[0,+∞∴ℎ(x)≥ℎ(0)=1>0∴g'(x)>0在∴g(x)在[0,+∞(3)解：原不等式等价于f(s+t)−f(s)>f(t)−f(0)，令m(x)=f(x+t)−f(x)，(x,t>0)，即证m(x)>m(0)，∵m(x)=f(x+t)−f(x)=em'由(2)知g(x)=f'(x)=∴g(x+t)>g(x)，∴m∴m(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为∴m(x)>m(0)，所以命题得证.15．【2022年浙江】设函数f(x)=e(1)求f(x)的单调区间；(2)已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点x1,fx(ⅰ)若a>e，则0<b−f(a)<(ⅱ)若0<a<e,x(注：e=2.71828⋯【答案】(1)f(x)的减区间为(0,e2)(2)(ⅰ)见解析；(ⅱ)见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)(ⅰ)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(ⅱ)k=x3x1，m=a(1)f'当0<x<e2，f'(x)<0；当故f(x)的减区间为(0,e2)，f(x)(2)(ⅰ)因为过(a,b)有三条不同的切线，设切点为(x故f(x故方程f(x)−b=f该方程可整理为(1设g(x)=(1则g=−1当0<x<e或x>a时，g'(x)<0；当e故g(x)在(0,e),(a,+∞因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)<0且故(1e−整理得到：b<a2e+1此时b−f(a)−1设u(a)=32−故u(a)为(e,+∞故0<b−f(a)<1(ⅱ)当0<a<e时，同(ⅰ故g(x)在(0,a),(e,+∞不妨设x1<x因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)<0且g(e故(1e−整理得到：a2e因为x1<x又g(x)=1−a+设t=ex，ae−a+ee记t则t1,t设k=t1t要证：2e+e即证：13−m即证：(t即证：t1而−(m+1)t1+故lnt故t1故即证：−2即证：(即证：(k+1)ln记φ(k)=(k+1)lnk设u(k)=k−1k−2lnk故φ(k)在(1,+∞)上为增函数，故所以(k+1)ln记ω(m)=ln则ω'所以ω(m)在(0,1)为增函数，故ω(m)<ω(1)=0，故lnm+(m−1)(m−13)(m故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.1．(2022·全国·南京外国语学校模拟预测)设函数SKIPIF1<0在R上存在导数SKIPIF1<0，对于任意的实数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】构造函数SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况，利用奇偶性和单调性解不等式，求出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】构造函数，研究出构造的函数的奇偶性和单调性，进而解不等式，是经常考查的一类题目，结合题干信息，构造出函数是关键.2．(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(理))已知函数SKIPIF1<0，若对任意实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0总成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】将所求不等式变形为SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，可知该函数在SKIPIF1<0上为增函数，由此可得出SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，利用导数求出SKIPIF1<0的最大值，即可求得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是将所求不等式进行转化，通过不等式的结构构造新函数，结合新函数的单调性来求解.3．(2022·江苏无锡·模拟预测)已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，构造函数SKIPIF1<0，利用函数的单调性比较大小作答.【详解】令函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求导得：SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【点睛】思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.4．(2022·福建·三明一中模拟预测)己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若SKIPIF1<0，则(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由题意化简得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，结合题意和函数SKIPIF1<0的单调性，即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为单调递增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.5．(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(文))已知函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义及点斜式方程即可求解.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率为SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.6．(2022·湖北·模拟预测)若过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0三条切线，则(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】设切点为SKIPIF1<0，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点SKIPIF1<0，转化为方程有3个根，构造函数SKIPIF1<0，利用导数可知函数的极值，根据题意列出不等式组求解即可.【详解】设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在切线上，所以代入切线方程得SKIPIF1<0，则关于t的方程有三个不同的实数根，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：A7．(2022·全国·模拟预测(理))若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】首先判断SKIPIF1<0不是方程的根，再方程两边同除以SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的图象，令SKIPIF1<0，设方程SKIPIF1<0的两根分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0分类讨论，结合函数图象即可得解；【详解】解：当SKIPIF1<0时等式显然不成立，故SKIPIF1<0不是方程的根，当SKIPIF1<0时，将SKIPIF1<0的两边同除以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象如下所示：令SKIPIF1<0，设方程SKIPIF1<0的两根分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，方程无解，舍去；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图可得SKIPIF1<0有且仅有一个解，故舍去，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图可得SKIPIF1<0有且仅有一个解，故舍去，③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由图可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0各有一个解，符合题意，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由图可得SKIPIF1<0无解，SKIPIF1<0有两个解，符合题意，综上可得SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；故选：A8．(2022·河南安阳·模拟预测(理))已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值，则实数a的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据题意SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立，整理得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0图像的下方，结合图像分析处理．【详解】根据题意得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0图像的下方SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：B．9．(2022·河南开封·模拟预测(理))若关于x的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由题设有SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，再构造SKIPIF1<0结合导数求参数范围.【详解】由题设可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，由SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增；在SKIPIF1<0上递减，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以，只需SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，故SKIPIF1<0.故a的取值范围为SKIPIF1<0.故选：B【点睛】关键点点睛：不等式化为SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0研究单调性，进一步将问题转化为研究SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.10．(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知a，b为正实数，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．8 B．9 C．10 D．13【答案】B【解析】【分析】设切点为SKIPIF1<0,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得SKIPIF1<0,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，由切线的方程SKIPIF1<0可得切线的斜率为1，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故切点为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为正实数，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值9，故选：B11．(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)对函数进行求导，分为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情形，根据导数与0的关系可得单调性；(2)函数有两个零点即SKIPIF1<0有两个零点，根据(1)中的单调性结合零点存在定理即可得结果.(1)由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．(2)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有两个零点，即SKIPIF1<0有两个零点．若SKIPIF1<0，由(1)知，SKIPIF1<0至多有一个零点．若SKIPIF1<0，由(1)知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0只有一个零点：②当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0没有零点；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点．存在SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点．综上，实数a的取值范围为SKIPIF1<0．12．(2022·山东·德州市教育科学研究院三模)已知函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直.(1)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)单调增区间为SKIPIF1<0，单调减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根据题意结合导数的几何意义可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0求导，利用导数判断单调性，注意函数的定义域；(2)整理得SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0求导，分类讨论理解处理．(1)∵SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，单调减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减且SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增且SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，与题设矛盾.当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增且SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，与题设矛盾.综上所述：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.13．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(理))已知函数SKIPIF1<0(e为自然对数的底数)有两个零点．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0的两个零点分别为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义切线的斜率为SKIPIF1<0，利用点斜式求切线方程；(2)分析可得对SKIPIF1<0的零点即SKIPIF1<0的零点，对SKIPIF1<0分析可得SKIPIF1<0，利用零点整理可得SKIPIF1<0，构建函数利用导数证明．(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以切点坐标为SKIPIF1<0，切线的斜率为SKIPIF1<0．所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(2)由已知得SKIPIF1<0有两个不等的正实跟．所以方程SKIPIF1<0有两个不等的正实根，即SKIPIF1<0有两个不等的正实根，SKIPIF1<0①要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以只需证SKIPIF1<0，由①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去a得SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0构建SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，证毕．【点睛】利用同构处理可得SKIPIF1<0，结合零点代换整理可得SKIPIF1<0．14．(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)对于SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，结合点斜式可得出所求切线的方程；(2)由参变量分离法可得SKIPIF1<0，利用导数求出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值，即可得出实数SKIPIF1<0的取值范围.(1)解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，此时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.(2)解：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.15．(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0